专题训练1_归纳猜想型专题
专题一---归纳猜想问题
专题一归纳猜想问题一．考点扫描：专题概述：归纳猜想问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．考查学生的归纳、概括、类比能力．有利于培养学生思维的深刻性和创造性.思路分析：解决这类题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：1.认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；2.根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；3.结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.二．典例精析：考点一：数式归纳猜想题：【例1】．（2013•淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是﹣2．﹣4 a b c 6 b ﹣2 …考点：规律型：数字的变化类．分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是﹣2可得b=﹣2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2013除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．解答：解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴﹣4+a+b=a+b+c，解得c=﹣4，a+b+c=b+c+6，解得a=6，所以，数据从左到右依次为﹣4、6、b、﹣4、6、b，第9个数与第三个数相同，即b=﹣2，所以，每3个数“﹣4、6、﹣2”为一个循环组依次循环，∵2013÷3=671，∴第2013个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为﹣2．故答案为：﹣2．考点二：图形归纳猜想题：【例2】. （2012宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由。
考点三：数形结合归纳猜想题：【例3】．（2012益阳）观察图形，解答问题：考点四：类比归纳猜想题：【例4】．（2013江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 ①②③④ （填序号即可） ①AF =AG =21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB =∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置yx关系？请给出证明过程； ●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状． 答： ．三．专题精练：1．（2013东营）如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为 .2．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计） 3．（2012•珠海）观察下列等式： 12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32，6030A CB D A B34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×= ×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．解：（1）①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25，②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×369=693×36；故答案为：①275，572；②63，36．（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a）右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），左边=右边，所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．。
7.6 归纳-猜想-论证(含答案)
【课堂例题】例1.计算并归纳出下列求和的一般公式，并证明.114=⨯ 111447+=⨯⨯ 1111447710++=⨯⨯⨯ 111114477101013+++=⨯⨯⨯⨯11111447710(32)(31)n n ++++=⨯⨯⨯-+例2.尝试推导正整数立方和公式3333123?n ++++=例3.在平面上画n 条直线，任何两条都相交，任意3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成多少部分？【基础训练】1.观察下列数字：12343456745678910……猜想第n 行的各数之和n S =________________. 2= . 3任取一个正整数，反复进行下述两种运算：(1)若是奇数，就将该数乘3再加上1；(2)若是偶数，就将该数除以2.你能据此作出什么猜想？.4.已知数列{}n a 满足11a =，且*11429,n n n n a a a a n N ++-+=∈，通过计算若干项n a 后，可以猜想通项公式n a = .5.已知数列1111,,,,,,122334(1)n n ⨯⨯⨯+ 前n 项和为n S . (1)计算123,,S S S 的值； (2)推测计算n S 的公式并证明.6.在数列{}n a 中，*1121,2,2,(1)n n n a a a n n N n n -+==+≥∈+. (1)求234,,a a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法证明你的猜想.7.已知数列{}n a 满足：*2,n n S n a n N =-∈（*0,n a n N ≠∈）(1)求1234,,,a a a a .(2)猜想{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法加以证明.【巩固提高】8.是否存在常数,,a b c 使等式:222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-++⋅-=++对于一切正整数n 都成立？证明你的结论.提示:先利用1,2,3n =求出一组,,a b c ，再…….9.是否存在大于1的正整数m 使得()(27)39n f n n =+⋅+对于任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出m 的最大值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(选做)10.下面两题，任选1题完成：(1)如图，在圆内画2条相交弦，彼此分割成4条线段；画3条弦，彼此最多分割成9条线段；画4条弦，彼此最多分割成16条弦，那么①在圆内画5条弦，它们彼此最多分割成多少条线段？②在圆内画n 条弦，两两相交，彼此最多分割成多少条线段？用数学归纳法证明你的猜想.(2)证明：平面上的n 个圆，最多把平面分成22n n -+个区域.【温故知新】 11.已知函数()f x ，若(4)2f =，且对于任意*12,n n N ∈都有1212()()()f n n f n f n =+成立，猜想()f x 的表达式可以是 .【课堂例题答案】例1.1234,,,,47101331n n + 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即11111447710(32)(31)31k k k k ++++=⨯⨯⨯-++ 当1n k =+时，111111447710(32)(31)(31)(34)1(34)1(31)(1)131(31)(34)(31)(34)(31)(34)34k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++⨯⨯⨯-++++++++=+===++++++++等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕 例2.猜想：2233332(1)123(12)4n n n n +++++=+++= 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即223333(1)1234k k k +++++= 当1n k =+时， 2222333333(1)(1)(44)123(1)(1)44k k k k k k k k ++++++++++=++= 22(1)(2)4k k ++= 等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕例3.记n 条直线把平面分成n a 个部分.猜想：1(12)n a n =++++证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即 1(12)k a k =++++当1n k =+时，第1k +条直线与前面k 条直线都相交，有k 个交点，这k 个交点将这条直线分成1k +段，每段都将原有平面部分分成两个部分，因此1(1)1(12)11[12(1)]k k a a k k k k k +=++=++++++=++++++结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕【习题答案】1.2(21)n -2.333n个 3.最终变为1(或者最终在1，2，4之间循环，这个就是著名的Collatz 猜想，尚未被证明)4.*65,21n n N n -∈- 5.(1)123123,,234S S S === (2)猜想:1n n S n =+. 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即1k k S k =+ 当1n k =+时， 2111211(1)(2)1(1)(2)(1)(2)2k k k k k k S S k k k k k k k k ++++=+=+==++++++++ 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 6.(1)234812315913,6,12334455a a a ==-==-==- (2)猜想：2*132,1n n a n N n -=⋅-∈+ 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即21321k k a k -=⋅-+ 当1n k =+时，2111131322(32)(1)(2)1(1)(2)323(24)1323232(1)(2)1(1)(2)2k k k k k k k k a a k k k k k k k k k k k k k k -+---++=+=⋅-++++++++-+=⋅+-=⋅+=⋅-++++++ 结论也成立； 根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 7.(1)123437151,,,248a a a a ==== (2)猜想：*112,2n n a n N -=-∈ 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即*112,2k k a n N -=-∈ 当1n k =+时，1112(1)2(1)k k k k a k S k S a +++=+-=+--，则112111(1)(1)1(2)222222k k k k k S k a a k k +--=+-=+-=+-=- 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 8.存在11,,044a b c ==-= 提示：代入1,2,3n =得： 0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：11,,044a b c ==-=，下面证明对于一切*n N ∈成立. 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k ⋅-+⋅-++⋅-=- 当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k ⋅+-+⋅+-++⋅+-++⋅+-+ 2222221(121)2(221)(21)0k k k k k k k k =⋅-+++⋅-++++⋅-+++222222[1(1)2(2)()][1(21)2(21)(21)]k k k k k k k k k =⋅-+⋅-++⋅-+⋅++⋅+++⋅+ 4222111(1)(21)(21)(12)(1)4442k k k k k k k k k ++=-++⋅+++=-+ 22(1)(1)(1)(2)[(1)2(21)](32)444k k k k k k k k k k k k ++++=-++=++= 242(1)[(1)1][(1)1](1)(1)444k k k k k ++-++++==- 等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕9.max 36m =提示：(1)36,(2)108,(3)360f f f ===，因此猜测max 36m =证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即 ()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；当1n k =+时，1111(1)[2(1)7]39(27)39233[(27)39]63183()18(31)k k k k k k f k k k k f k +++-+=++⋅+=+⋅++⋅=+⋅++⋅-=+-显然131k --是偶数，因此118(31)k --也能被36整除，所以(1)f k +能被36整除；结论成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕10.(1)①如图,彼此最多分割成25条线段；②猜想：分割成2n 线段.证：①当2n =时，结论显然成立；②假设当(2)n k k =≥时，结论成立，即 k 条弦两两相交，彼此最多分割成2k 条弦当1n k =+时，第1k +条弦与原来k 条弦最多有k 个交点，因此第1k +条弦最多被分割成1k +段， 每一个交点又把原来的弦的某一段分割成两部分，因此总共比原来多了1k k ++条线段. 即1k +条弦两两相交，彼此最多分割成221(1)k k k k +++=+条弦结论也成立；根据①②，对于任意*,2n N n ∈≥，结论都成立. 证毕(2)①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即平面上的k 个圆，最多把平面分成22k k -+个区域；当1n k =+时，第1k +个圆与原来的每一个圆都交于2点，因此第1k +个圆上最多有2k 个交点， 第1k +个圆最多被分成2k 段，每一段都把原来平面区域分成两部分， 因此平面上的1k +个圆，最多把平面分成2222(1)(1)2k k k k k -++=+-++个区域， 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕11.2()log f x x =。
高考数学复习点拨 归纳——猜想——证明 试题
归纳——猜测——证明制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日数学归纳法可以用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题等。
在学习合情推理时所猜得的结论，其可靠性的证明，常常也需要数学归纳法来解决。
这就形成了数学中的一类典型题目，即：“归纳——猜测——证明〞。
例1 数列{}n a 满足()2*n n S n a n N =-∈。
〔1〕计算1a ，2a ，3a ，4a ，并由此猜测数列{}n a 的通项公式；〔2〕用数学归纳法证明〔1〕中的猜测。
分析：在用数学归纳法对〔1〕中的猜测证明时，关键是利用k a 求得1k a +，在此要注意条件中等式的应用，由于它适用于所有自然数，因此可将其中的k 换做1k +，然后两式相减，合并同类项即得到表达式。
解析：〔1〕11a =，232a =，374a =，4158a =， 由此可猜测1212n n n a --=。
〔2〕下面用数学归纳法证明：①当1n =时，左边11a ==，右边1112112--==，猜测成立。
②假设n k =时猜测成立，即1212k k k a --=， 那么据2k k S k a =-， ①()1121k k S k a ++=+-， ②由②- ①可得112k k k a a a ++=-+，∴()11111212121112222k k k k k k k k a a ++++----=+=+==，即当1n k =+时猜测也成立。
根据①②可知，猜测对任何*n N ∈都成立。
评注：高考对数学归纳法的考察时隐时现，有时隐蔽在递推数列中考察，应深入理解与把握“归纳——猜测——证明〞的根本方法，注重其应用。
例 2 11123n a =+++…()1*n N n+∈，是否存在n 的整式()q n ，使得等式12a a ++…()()11n n a q n a -+=-，对于大于1的一切自然数n 都成立，并证明你的结论。
最新2020届中考数学专题复习-归纳猜想型问题
2020届中考数学专题复习：归纳猜想型问题（一）一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。
这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2019•沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．考点：多项式。
810360专题：规律型。
分析：首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．解答：解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，第2个多项式为：a2﹣b2×2，第3个多项式为：a3+b2×3，第4个多项式为：a4﹣b2×4，…∴第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，∴第10个多项式为：a10﹣b20．故答案为：a10﹣b20．点评：此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．例2 （2019•珠海）观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．考点：规律型：数字的变化类。
专题：归纳与猜想
专题：归纳与猜想（一）归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】1． 【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 2． 〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23③3×34＝3－34④4×45＝4－45……⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次；⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解，∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到： a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
九下专题(3)《归纳猜想与分类讨论综合训练》
2016---2017学年度九下数学专题（3）----------《归纳猜想与分类讨论综合训练》 2017. 3. 3.中学 班 号 姓名一. 题型特点：1. 考查知识分为两类：①是数字或字母规律的探索型的问题；②是几何图形中规律探索型的问题.2. 通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数字猜想，并能对所做出的猜想进行验证； 能进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明.3. 在观察、分析、研究问题时，当被研究的问题、图形出现多种可能的情形时，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准分类并进行讨论。
用分类讨论解决问题的方法涉及知识点较多，所有要根据不同的对象进行分类，或者对涉及的范围进行划分，然后对各种情况逐一讨论。
分类讨论时，一般可分三个步骤：①确定分类对象；②实施分类讨论；③归纳综合结论。
在实施分类讨论时，要认真审题，全面考虑，做到不重、不漏、条理清晰。
二. 命题趋势：主要通过观察、实验、分析、归纳、类比、分类讨论等活动，探索事物的内在规律，考查学生逻辑推理能力.三. 突破方法：根据已有的图象与文字提供的信息或解题模式，进行适当的正向迁移和归纳推理以及分类讨论，并通过计算或证明解决有关实际问题.四. 经典范例与练习： （一）填空题：1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于45°，则其顶角的度数为 .2. 我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定： 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ， i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可 以得到i4n+1=i 4n•i=（i 4）n •i=i ，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i ，i 4n=1．那么123420162017i i i i i i ++++++的值为 .3．若⊙O 的半径OA=1，弦AB 、AC 的长分别为2、3，则∠BAC 的度数为 . 4. 若抛物线过点A （－1 ，0）和B （3， 0），与y 轴交于点C ，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 .5．若函数231y ax ax x =-++的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值是 . 6. 有一组等式：22222222222222221223,2367,341213,452021++=++=++=++=，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为________ _.7. 古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100 个三角形数与第99个三角形数的差为；第2017个三角形数与第2015个三角形数的差为.8．在△ABC中，OA=OB=13，OA边上的高为5，若将△ABO放在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，则点B的坐标是. 9．两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么8条直线最多有个交点，n条直线最多有个交点.10．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°，AD=14，BD=20，则四边形ABCD的面积为.11．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……，∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，则∠A2017=度.12．如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块；图(2)、(3)是由同样的小正方体木块叠放而成的，按照此规律继续放下去，则第n个叠放图中，小正方体木块的总数是个．13．按一定规律排列的一列数依次为：111111,,,,,2310152635……按此规律列下去，这列数中的第9个数是，第2017个数是．14. 如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；……依此类推，则第n个正方形的边长为________．15. 已知直线1122ny xn n+=-+++（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+……+S2017=．16.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个，……,第n个大三角形中白色三角形有个.（第12题图）BA A1A2C D（第11题图）（第14题图）（二）选择题：17. 如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需火柴个数是（）．18. 观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，……，解答下列问题：3+32+33+34+……+32017的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．719.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，……，.由此可判断72017的个位数字是（）．A．7 B．9 C．3 D．120. 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20O，再前进5米后又向右转20O，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B．100米C．90米D．120米21．把编号为1，2，3，4，5，6，7，8，……，的若干个圆按右图所示摆放，圆中的编号是按红、黄、绿、蓝四种不同颜色的顺序依次循环排列，则第40行从左边数到第8个圆的颜色是（）．A．红B．黄C．绿D．蓝22.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……，这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．13 = 3+10 B．25 = 9+16C．36 = 15+21 D．49 = 18+314=1+3 9=3+6 16=6+10（第24题图）…A．156根B．157根C．158根D．159根（第17题图）12 34 5 67 8 9 10……………………（第21题图）O 20o20o(第20题图)（第22题图）（第23题图）23. 如图，已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1是x 轴上的点， 且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=……=A n A n+1=1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1作x 轴的垂线交直线y=2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n+1，连接A 1B 2、B 1A 2、B 2A 3、……、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、……、P n ．△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、S 3、……、S n ，则S n 为（ ）A ．121n n ++ B ．31nn - C ．221n n - D ．221n n +24. 对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220172017A B A B A B +++的值是（ ）A ．20142015B ．20152016C ．20162017D ．20172018（三）解答题：25. 如图，在直角坐标平面内，函数my x =（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ． （1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．26. 已知抛物线24343y kx k x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若△ABC 是等腰三角形，求该抛物线的解析式.(第25题图)xCO D BA y五．综合拓展： 27.如图27，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位 长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以 每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运 动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从 点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .① 请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ， 若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .28. 两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △按图29-1所示的位置放置A 与C 重合，O 与E 重合． （1）求图28-1中，A B D ，，三点的坐标．（2）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt CED △和Rt AOB △重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当Rt CED △以（2）中的速度和方向运动，运动时间4x =秒时Rt CED △运动到如图28-2所示的位置，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式．（4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P 在运动过程中是否存在⊙P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由．.CAMyBOx（图27）()E OB xy A ()C D图28-1EOBxyAC D 图28-2G专题（3）《归纳猜想与分类讨论综合训练》部分试题参考答案：25.解：（1）函数(0my x x=>，m 是常数）图象经过(14)A ，，4m ∴=． 设BD AC ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D 点的坐标为40a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，E 点的坐标为41a ⎛⎫⎪⎝⎭，，1a >，DB a ∴=，44AE a =-．由ABD △的面积为4，即14442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3a =，∴点B 的坐标为433⎛⎫⎪⎝⎭，． （2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)，，1DE =，1a >，易得4EC a=，1BE a =-， 111BE a a DE -∴==-，4414AEa a CEa-==-．BE AE DE CE ∴=．DC AB ∴∥． （3）解：DC AB ∥，∴当AD BC =时，有两种情况：①当AD BC ∥时，四边形ADCB 是平行四边形， 由（2）得，1BE AEa DE CE==-，11a ∴-=，得2a =．∴点B 的坐标是（2，2）． 设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． ②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则BD AC =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．（第25题图）xCO DBA y E26．解：∵24343y kx k x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴当x =0时，y =4 ∴C 点坐标为(0,4) 当243403kx k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，且k ≠0时, 解得13x =，243x k= ∴不妨设A 点坐标为(3,0)，B 点坐标为4,03k ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）当AC=BC 时，如图26-1，433k=-， ∴149k =- ∴2449y x =-+（2）当AC=AB 时，如图26-2，∵OA=3，OC=4，∴AC=5∴4353k -= ∴216k =时，323k =- ① 当216k =时，2111466y x x =-+② 当323k =-，222433y x x =-++（3）当AB=BC 时，如图26-3，22443433k k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,2241631639k k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ∴487k =-，∴28444721y x x =-++ ， 综上所述，所求抛物线的解析式为： ∴2449y x =-+或2111466y x x =-+或222433y x x =-++或28444721y x x =-++ 27.解：（1）令0=x ，则4=y ；令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ，∵二次函数的图象过点()04C ，，∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y 又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -，∴093404a b a b =++⎧⎨=-+⎩，．解之，得34-=a ，38=b ．∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x yB 1xyOAC （图26-1）xyOACB 3 （图26-2）B 2xy OACB 4 （图26-3）ECA yOBF xMD（2）∵438342++-=x x y =()3161342+--x ∴顶点M 的坐标为1613⎛⎫⎪⎝⎭，, 过点M 作MF x ⊥轴于F∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10（3）①不存在DE ∥OC ,∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =．设点E 的坐标为()11x y ，∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵D E O C ∥，∴t t 2351212=- ∴38=t ∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥． ②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒）,现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，2134322S t t t =⨯=；ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ，, ∴()544542--=t y ，∴516362t y -=,∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯= ⅲ）当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33x y ，，类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x , ∴532344-=t y ， ∴51264-=t y ,∴AOE AOD S S S =-△△512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ③802430=S 28.解：（1）(06)A ，，(60)B ， . （2）当03x <≤时，位置如图28-A 所示，作GH DB ⊥，垂足为H ，可知：2OE x =，EH x =，62DO x =-，6DH x =-，∴22()GHD IOD IOHG y S S S ==-△△梯形EC A y O B xM DyxBE HOD J G C AI22112(6)(62)22x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦223263122x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当36x ≤≤时，位置如图28-B 所示．可知：122DB x =- ∴21222DGBy S DB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭△2212(122)123622x x x ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦∴y 与x 的函数关系式为：22312(03)1236(36)x x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨-+⎪⎩≤≤≤（3）图28-2中，作GH OE ⊥，垂足为H ，当4x =时，28OE x ==，1224DB x =-=∴122GH DH DB ===，1666242OH HB DB =-=-=-= ∴可知：(06)A ，，(42)G ，，(86)C ， ∴经过A G C ，，三点的抛物线的解析式为：221(4)22644x y x x =-+=-+（4）当⊙P 在运动过程中，存在⊙P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为00()x y ，当⊙P 与y 轴相切时，有02x =，02x =±，由02x =-得：011y =，∴1(211)P -， 由02x =，得03y =，∴2(23)P ，， 当⊙P 与x 轴相切时，有02y = 21(4)204y x =-+>，∴02y =，得：04x =，∴3(42)P ，综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：1(211)P -，，2(23)P ，，3(42)P ，DHB Ex OGCy A（图28-B ）。
专题复习 归纳与猜想(含答案)-
①1×12＝1－12 ②2×23＝2－23 ③3×34＝3－34④4×45＝4－45 ……专题复习 归纳与猜想归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。
其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。
一、知识网络图二、基础知识整理猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。
其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。
相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。
★ 范例精讲【归纳与猜想】例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。
解：⑴5×56＝5－56⑵11+-=+⨯n nn n n n 。
例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；⑵A n ＝3n ＋1；⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；⑸a n ＝12n ；⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝78＜1，……从而猜想到：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。
归纳猜想型专题
归纳猜想型专题第1题：将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形． 按上述分割方法进行下去……（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a ，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的面积填入下表：（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积与分割次数 有何关系？（S 用含a 和n 的代数式表示，不需要写出推理过程）．答案：解：（1）如图：（3）4nS =． 第2题. ：观察下列等式：22(12)4114+-⨯=+ 22(22)4224+-⨯=+ 22(32)4334+-⨯=+…则第n 个等式可以表示为 ． 答案：22(2)44n n n +-=+第3题.：观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形．第5题：按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是．答案：150第4题.：如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…．已知正方形ABCD的面积1S为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23nS S S，，，（n为正整数），那么第8个正方形的面积8S=．答案：128)第7题：如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆根火柴棒．答案：6039063第5题：观察由等腰梯形组成的下图和所给表中数据的规律后回答问题：当等腰梯形个数为2006时，图形的周长为（）Ａ．2007Ｂ．8026Ｃ．6017Ｄ．6020答案：Ｄ第9题. ：如图，已知1(10)A，，2(11)A，，3(11)A-，，4(11)A--，，5(21)A-，，，则点2007A的坐标为______________．答案：(502502)-，2 21 1第6题. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张； （2）第n 个图案中有白色纸片 张． 答案：（1）13；（2）31n +．第15题：如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面．．．涂色的小立方体共有 ．答案：84n -或4(21)n -第7题.：用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需____________根火柴棒．答案：()66n +第8题.：如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律是 ． 答案：2(1)(1)22n n n n n -++=或212(1)12n n n +++-++++=…… 第9题：2006年世界杯足球赛在德国举行，本次比赛共32支球队平均分成8个小组首先进行小组赛，每小组内举行单循环比赛（每个球队都与本小组的其它队比赛一场），选出两个球队进入16强．本次足球赛的小组赛共进行 场比赛． 答案：48第10题.：1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集．从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段．无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集．上图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段第1个 第2个 第3个 … （第一个图形） （第二个图形） （第三个图形）时，余下的所有线段的长度之和为 ．答案：823⎛⎫⎪⎝⎭（或0.039）第11题.：观察下列顺序排列的等式：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…．试猜想第n 个等式（n 为正整数）：n a = ． 答案：112n n -+ 第12题：将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割：将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中的一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形． 按上述分割方法进行下去……（1）请你在下图中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a ，请你通过操作和观察，将第1次，第2次，第3次分割后所得的正六边形的（3）观察所填表格，并结合操作，请你猜想：分割后所得的正六边形的面积与分割次数 有何关系？（S 用含a 和n 的代数式表示，不需要写出推理过程）．答案：解：（1）如图：（3）4n a S =． 第13题. ：下列是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第4个化合物的分子式为 ．答案：410C H第14题.：用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．答案：10，31n +第15题. ：如右图，已知ABC △的周长为1，连结ABC △三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形， ，依此类推，则第10个三角形的周长为（ ）Ａ．19Ｂ．110Ｃ．912⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：Ｃ第16题. ：仔细观察著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，则它的第12个数应该是 ． 答案：144第17题. ：用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律，拼成若干地板图案，则第10个图案中白色的地板砖有__________块．答案：42第18题.：观察算式：211=；21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++==；……用代数式表示这个规律（n 为正整数）：13579(21)n ++++++-= ． 答案：2n第19题.：探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ） 答案：Ａ第20题. ：碳氢化合物的化学式为：4CH ，26C H ，38C H ，410C H ，…，观察其化学式的变化规律，则第（1） （2） （3）A BC第1个 第2个 第3个1 2 3 0 4 7 8 5 6 9 10 …… A ． B ． C ． D ．n个碳氢化合物的化学式为．答案：22C Hn n+第21题.：用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色．下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是___________________．答案：()341n+-或41n-或()()()1412n n n++---或()()121n n n+++-知识点：归纳猜想型专题试题类型：填空题试题难度：0.0 考查目标：基础知识录入时间：2006-8-8当输入数据是时，输出的数是（）Ａ．861Ｂ．865Ｃ．867Ｄ．869答案：Ｂ知识点：归纳猜想型专题试题类型：选择题试题难度：0.0 考查目标：基础知识录入时间：2006-8-8第23题. ：请你认真观察和分析图中数字变化的规律，由此得到图中所缺的数字应为（）Ａ．32 Ｂ．29Ｃ．25 Ｄ．23答案：Ｂ第24题. ：用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片张；（2）第n个图案中有白色纸片张．答案：（1）13；（2）31n+第25题. ：科学家发现：植物的花瓣，萼片，果实的数目以及其它方面的特征，都非常吻合一个奇待的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是．答案：89第26题. （2006湘潭课改）1n=2n=3n=第1个第2个第3个………上面是用棋子摆成的“Ｈ”字．（1）摆成第一个“Ｈ”字需要 个棋子，第二个“Ｈ”字需要棋子 个； （2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“Ｈ”字需要多少个棋子？第n 个呢？ 答案：解：（1）7，12（2）第10个时，棋子个数为510252⨯+=（个） 第n 个时，棋子个数为()52n +个第27题. ：观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20062的个位数字是 ．答案：4第28题.：老师在黑板上写出三个算式：225382-=⨯，229784-=⨯，22153827-=⨯， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯，…… （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性． 答案：解：（1）写出两个正确的算式．（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数． （3）证明：设m n ，为整数，两个奇数可表示为21m +和21n +， 则22(21)(21)4()(1)m n m n m n +-+=-++．当m n ，同是奇数或偶数时，m n -一定为偶数，所以4()m n -一定是8的倍数． 当m n ，一奇一偶时，则1m n ++一定为偶数，所以4(1)m n ++一定是8的倍数．所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．第29题. ：数字解密：第一个数是321=+，第二个数是532=+，第三个数是954=+，第四个数是1798=+，……，观察并猜想第六个数是 ． 答案：65第30题. ：观察下列各式：21321⨯=- 22431⨯=- 23541⨯=- 24651⨯=-…………请你根据发现的规律，写出第n 个等式： ． 答案：2(2)(1)1n n n +=+-第31题.：按下列规律排列的一列数对：(21)，，(54)，，(87)，， ，则第5个数对中的两个数之和是． 答案：27第32题.：下列图形中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：C第33题.：如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼” ，则搭n 条“金鱼”需要火柴 根．答案：62n +第34题.：如图，用三个边长为a 的等边三角形拼成如图（1）所示的等腰梯形，现将这个等腰梯形截成四个全等的等腰梯形（图中的1，2，3，4部分）．然后将其中的一个等腰梯形按照上述方法再截成四个全等的等腰梯形．如此重复下去……．求第n 次截得的一个等腰梯形的周长和面积．答案：解：周长：05C a =，152C a =，2252C a =，3352C a =， ，52n n C a =面积：204S =，2124S =，2234S =，2344S =，，214n n S += 第35题. ：如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n 个图案中白色瓷砖块数为_________．1条 2条 3条 图（1） 1 2 3 4 第1个图案 第2个图案 第3个图案答案：32n + 第36题. ：如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点12P P ，，342006P P P ，，，…的位置，则2006P 的横坐标2006x = ．答案：2006第37题.根据提供的数据得出第n 排有 个座位．答案：416n +第53题. ：如图，按英语字母表A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ， 的顺序有规律排列而成的鱼状图案中，字母“G ”出现的个数为_______． 答案：13 第38题.：树木生长过程中，新枝生长及树枝数目变化规律如图所示，据此生长规律，可推知第八年有树枝_________枝．答案：34第39题.：如图，依次连结第一个．．．正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个．．．正方形边长为１，则第．n 个．正方形的面积是_________________．答案：112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭第40题.：在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2006时对应的指头是 （填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．答案：无名指第41题：用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：根据规律填空：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n 个图案中有白色地面砖块．xA B B C C CDDDB C C DD DD……第1个 第2个 第3个……答案：①18，②42n +． 第42题. ：已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若299a ab b+=⨯（a b ，为正整数），则ab = ．答案：720第43题. （2006 深圳课改）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1，2，3，5，8，13，21……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有 种不同方法． 答案：55第44题. ：有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，… 它的每一项可用式子2n （n 是正整数）来表示．有规律排列的一列数：12345678----，，，，，，，，… （1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2）它的第100个数是多少？（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？答案：解：（1）它的每一项可用式子1(1)n n +-（n 是正整数）来表示．（2）它的第100个数是100-．（3）2006不是这列数中的数，因为这列数中的偶数全是负数．（或正数全是奇数．） 注：它的每一项也可表示为(1)n n --（n 是正整数）．表示如下照样给分：当n 为奇数时，表示为n ．当n 为偶数时，表示为n -．第45题. ：找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n 幅图中共有 个．答案：21n -第46题. ：观察一列有规律的数：12，16，112，120，它的第n 个数是___________． 答案：1(1)n n +1 2 3 n … …。
中考数学复习专题1-归纳猜想型问题
中考数学复习专题一：归纳猜想型问题归纳猜想型问题也是探索规律型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2012•沈阳）有一组多项式：a+b 2，a 2﹣b 4，a 3+b 6，a 4﹣b 8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ．例2 （2012•珠海）观察下列等式：以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． （1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”： ①52× = ×25； ② ×396=693× ． （2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a 、b ），并证明． 考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例3 1．（2012•重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）A ． 50B ． 64C ．68 D ．72 例4 （2012•荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）A ． 8048个B ． 4024个C ． 2012个D ． 1066个考点三：猜想坐标变化例5（2012•德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别12×231=132×21， 13×341=143×31， 23×352=253×32， 34×473=374×43， 62×286=682×26， …为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为．例7 （2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为．考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。
七年级上数学找规律题专题
归纳—猜想---找规律一、数字排列规律题1、观察下列各算式： 1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24…按此规律（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值？（2）推广： 1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少 ？2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 __ __3、请填出下面横线上的数字。
1 1 2 3 5 8 ____ 214、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100个（ ） 5、有一串数字 3 6 10 15 21 ___ 第6个是什么数？6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（ ）.7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 _________个．二、几何图形变化规律题1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个．2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是 （填图形名称）.三、数、式计算规律题 1、已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ； 由此规律知，第⑤个等式是 ． 2、观察下面的几个算式：1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.3、1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝ ？观察下面三个特殊的等式()2103213121⨯⨯-⨯⨯=⨯ ()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯ ()4325433143⨯⨯-⨯⨯=⨯将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝2054331=⨯⨯⨯读完这段材料，请你思考后回答：⑴=⨯++⨯+⨯1011003221 ⑵()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n ⑶()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n4，，，，已知：24552455154415448338333223222222⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+……=+⨯=+b a aba b 则符合前面式子的规律，，若 (21010)1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第(n )个图案中有白色．．地砖 块。
【精品资料】专题(一)归纳猜想题
专题（一）归纳猜想题1.在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为()*a b a a b =-，根据这个规则，方程(2)50*x +=的解为 ．2. 用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1。
例如7☆4=42＋1=17，那么5☆3= ；当m 为实数时，m ☆(m ☆2)= 。
3. 观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为 ．4.有一列数3,7,11,15,…，那么第8个数是 ．5.按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第９个数是 ．6.一组按规律排列的式子：3579234,,,,x x x x y y y y-- （0≠xy ）， 其中第6个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．当输入数据是时，则输出的数据是 ；当输入数据是n 时，则输出的数据是8．一组按规律排列的式子：2b a -，25a b ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．9．小说《达.芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：112358，，，，，，…，则这列数的第8个数是 ．10．一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ， 第n 个数是 （n 为正整数）．11．观察下列等式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，……．通过观察，用你所发现的规律确定20092的个位数字是 ．12. 观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，－6，3，－23，15，－32，…… 那么第10个数据是 ；第n 个数据是 . 13．已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…，若 21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律，则a b +的值为 .14．填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.7532053110975图1 图2 图3 图415．如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.可求得c=_______，第2009个格子中的数为_________16．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，a b c ，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <c d e =+，例如 ．请你在0到2017．自然数按一定规律排成下表，那么第200行的第5个数是 .1 2 3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 … … … … …. …. ….. ……….第1个 第2个 第3个 … 18. 已知一列数：1,-2,3,-4,5,-6,7…将这列数排成下列形式： 第1行 1第2行 -2 3第3行 -4 5 -6第4行 7 -8 9 -10第5行 11 -12 13 -14 15 … …按照上述规律排列下去，那么第10行从左边数第5个数等于( ) A ．50 B ．-50 C ．60 D ．-6019．将正奇数按下表排成5列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25根据上面规律，2007应在( )A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列20. 用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：请问第n 个图案中有白色纸片的张数为( )A ．43n +B ．31n +C ．nD ．22n +21．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★．22. 将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第5个图形中共有 个正六边形．23.如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想：①当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖有____块；②当白色瓷砖为n 2（n 为正整数）块时，黑色瓷砖有____块．(1)(2) (3)24.下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒 根．25.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个①②③第1个 第2个 第4个第3个26.下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第6个图案中小正方形的个数为 .27. 下图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是（ ）（Ａ）25 （Ｂ）66 （Ｃ） 91 （Ｄ）12026. 如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使 ︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使 ︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ． 27. 如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走了3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2点，再向正西方走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东方向走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6，离O 点的距离是_____米.28.已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C .D 1第1个第2个第3个(1)(2)(3)第20题图329.正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则B n 的坐标是______________．(00)A ，，B ，(01)C ，在ABC △内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于 ．31.如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 b a 、的代数式表示为 ． 32．如图，图①，图②，图③，图④……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是 ．… 图①图②图③ 图④。
专题三 归纳猜想型问题
3 ∴△ A1A2A3 的高线为 2× ＝ 3， 2 ∵ A1A2 与 x 轴相距 1 个单位， ∴ A3O＝ 3－ 1， ∴ A3 的坐标是(0， 3－ 1)； ∵ 92÷ 3＝ 30„ 2， ∴ A92 是第 31 个等边三角形的第二个顶点， 第 31 个等边三角形边长为 2× 31＝ 62， 1 ∴点 A92 的横坐标为 × 62＝ 31， 2
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专题三 归纳猜想型问题
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专题解读
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特征类型
归纳猜想型问题也是探究规律型问题，这类问题一般给出 一组具有某种有规律的数、式、图形，或给出与图形有关 的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过观察、分
析、推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳猜想出一般性
别是与序号的规律，猜想得出一般性结论；3.结合题目所
给的材料验证(或证明)结论的正确性.
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一、数字归纳猜想型问题
常考角度：这类题目通常是先给出一组数字，通过观察、 归纳这组数字的变化规律，写出一般性的结论，再用这个 结论，解决问题．
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【例题1】 (2013· 湛江)如图，所有正 三角形的一边平行于x轴，一顶点
1．找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化的部分
与序号的关系是解题的关键； 2．找到规律后一定要用已有的数字进行验证．
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二、图形归纳猜想型问题
常考角度：此类问题通常给出一组图形的排列(或操作得 到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考 查图形所蕴含的数量关系．
A2B2C2D2的周长是________；四边形A2 013B2 013C2 013D2
专题一 规律探索型问题
专题一规律探索型问题考点知识梳理：探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多．1．数列规律数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．2．计算规律计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算(主要以等差数列的计算为主)回答问题．3．图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．动态规律动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．中考典例精析例1、例2、如图，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________．例3、专题训练1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为________.2．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④________；….(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．3．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标：A1(______，______)， A3(______，______)，A12(______，______)； (2)写出点A4n 的坐标(n 是正整数)；(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．4．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x 轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部的整点的个数为_____（第4题） （第10题） （第11题）5、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．6、7、在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i=2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，3=____；表中的25个数中，共有____个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为____9．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次． 在此过程中，甲同学需拍手的次数为____________．10．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1,2,3,4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n ＋1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是________．(用含n 的代数式表示)11．如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…，则S50＝________.(结果保留π)12、如图所示，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5…，过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5…分别作x 轴的垂线与反比例函数的图象交于点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5…，并设△OA 1P 1、△A 1A 2P 2、△A 2A 3P 3…面积分别为S 1、S 2、S 3…，按此作法进行下去，则S n 的值为 ______（n 为正整数）．（第12题） （第13题）13、如图，n ＋1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2的面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn ＋1的面积为Sn ，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn ＝________.14、如图，在平面直角坐标系中，线段OA 1=1，OA 1与x 轴的夹角为30°，线段A 1A 2=1，A 2A 1⊥OA 1，垂足为A 1；线段A 2A 3=1，A 3A 2⊥A1A 2，垂足为A 2；线段A 3A 4=1，A 4A 3⊥A2A 3，垂足为A 3；…按此规律，点A 2012的坐标为________（第14题） （第20题）15、如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是A ．B．C ．D ．16．A ．3B ．9C ．7D ．117、18、如图，将边长为a 的正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为（ ）19、请先观察下列算式，再填空：32-12=8×1，52-32=8×2． ①72-52=8×_____； ②92-（_____）2=8×4； ③（_____）2-92=8×5；④132-（_____）2=8×_____； …（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来． （2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？20、在课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A 8A 9=1，（1）请你先计算图中的线段OA 7，OA 8，OA 9的长，再猜想OA n 的长 （2）若∠A n-1OA n 是第一个小于15°的角，求n 的值．（备选数据：Sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）中考演练1．(2012年广东肇庆)观察下列一组数：23，45，67，89，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是________．2．(2012年湖南株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 2，－8x 2，…，观察其规律，推断第n 个数据应为______． 3．(2011年浙江)如图Z4－2，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”()图Z4－2A ．28个B ．56个C ．60个D ．124个4．(2012年山东)求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S －S ＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为( )A ．52 012－1B ．52 013－1 C.52 013－14 D.52 012－145．(2012年贵州毕节)在图Z4－3中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有______个小正方形．图Z4－3图Z4－46．(2011年湖南常德)先找规律，再填数： 11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156，…… 则12 011＋12 012－________＝12 011×2 012. 7．(2012年河北)某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1，第2位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1……这样得到的20个数的积为________________．8．(2010年浙江嵊州)如图Z4－4，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…，则“17”在射线__________上；“2 007”在射线____________上．9．(2012年云南)观察图Z4－5的图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星)．若第一个图形是三角形，则第18个图形是________________(填图形名称)．▲■★■▲★▲■★■▲★▲……图Z4－510．(2011年广东湛江)已知：A 23＝3×2＝6，A 35＝5×4×3＝60，A 45＝5×4×3×2＝120，A 46＝6×5×4×3＝360，…，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A 37＝_______________(直接写出计算结果)，并比较A 310________A 410(填“>”或“<”或“＝”)． 11．(2012年广东汕头)观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13； 第2个等式：a 2＝13×5＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15；第3个等式：a 3＝15×7＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17； 第4个等式：a 4＝17×9＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19；……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝______＝______(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．12．(2010年浙江宁波)18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数V 、面数F 、棱数E 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图Z4－6中的几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数V 、面数F 、棱数E 之间存在的关系式是______________；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x ＋y 的值．。
专题1归纳与猜想
１专题1归纳与猜想 姓名一、选择题1. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（ ） A ．（4n ﹣1，） B ． （2n ﹣1，） C ． （4n+1，） D ． （2n+1，）2.如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至 图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ） A ． 2015π B ． 3019.5π C ． 3018π D ． 3024π3.观察下列关于x 的单项式，探究其规律：x ，3x 2，5x 3，7x 4，9x 5，11x 6，… 按照上述规律，第2015个单项式是（ ）A ． 2015x 2015B ． 4029x 2014C ． 4029x 2015D ． 4031x 20154. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A m =（i ，j ）表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2015=（ ）A ． （31，50）B ． （32，47）C ． （33，46）D ． （34，42）二、填空题5.如图，在平面直角坐标系中，点A （0，）、B （﹣1，0），过点A 作AB 的垂线交x 轴于点A 1，过点A 1作AA 1的垂线交y 轴于点A 2，过点A 2作A 1A 2的垂线交x 轴于点A 3…按此规律继续作下去，直至得到点A 2015为止，则点A 2015坐标为 ．6.一列数1x ，2x ，3x ，…，其中1x =12，111n n x x -=-（n 为不小于2的整数），则2015x = ． 7.将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n 次操作后，得到正方形的个数是 ． 三、应用题8. 菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON+∠BCD=180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF 的形状是 ； （2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处，∠MO ′N 绕点O ′旋转，仍满足∠MO ′N+∠BCD=180°，射线O ′M 交直线BC 于点E ，射线O ′N 交直线CD 于点F ，当BC=4，且ΔO'EF98ABCDS S 四边形时，直接写出线段CE 的长．２四、猜想、探究题9. 如图3，弹性小球从点P (0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。
归纳猜想专练答案
１一、应用题1. 解：（1）AE BF QE QF =∥，.（2）QE QF =.证明：延长FQ 交AE 于点D .12AE BF ∴∠=∠∥，.34AQ BQ ∠=∠=，，AQD BQF QD QF ∴∴=△≌△，.AE CP QE ⊥∴，为斜边FD 中线，QE QF ∴=.（3）（2）中结论仍然成立.理由：延长EQ 、FB 交于点D ，1AE BF D ∴∠=∠∥，.23AQ BQ ∠=∠=，，AQE BQD QE QD ∴∴=△≌△，.BF CP FQ ⊥∴，为斜边DE 中线.QE QF ∴=.2.解：（1）证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H.BE、CF分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，EN=EM，FH=FG，PP2//EN，PP3//FH，点P为线段EF的中点，PP2=12EN=12EM,PP3=12FH=12FG.PP1//FG//EM,FPPE=1 ,PP1=FG+EM1+1=FG+EM2=12FG+12EM=PP2+PP3.(2)PP1=PP2+PP3.证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H. 令FG=a,EM=b,FPPE=mn,PP1//FG//EM,PP1=bm+anm+n；EM=EN,PP2EN=FPFE=FPFP+PE=mm+n,PP2=mm+n·EN=mm+n·EM=bmm+n；同理可得：PP3=nm+n·FH=nm+n·FG=anm+n；bmm+n+anm+n=bm+anm+n,PP1=PP2+PP3.三、猜想、探究题4. 证明：如图1，连接FE 、FC．点F在线段EC的垂直平分线上，12FE FC∴=∠=∠，．ABD△和CBD△关于直线BD对称，43AB CB BF BF∴=∠=∠=，，．2ABF CBF BAF FA FC∴∴∠=∠=△≌△，，.FE FA∴=,1BAF∠=∠．56∴∠=∠．1180180BEF BAF BEF∠+∠=∴∠+∠=°，°．又561805634AFE∠+∠+∠=∴∠+∠=∠+∠°，．54∴∠=∠, 即EAF ABD∠=∠．（2）72FM FN=．证明：如图2，由（1）可知EAF ABD∠=∠．又AFB GFA∠=∠，AFG BFA∴△∽△．AGF BAF∴∠=∠．又1122MBF BAF MBF AGF∠=∠∴∠=∠，．又AGF MBG BMG∠=∠+∠２３MBG BMG ∴∠=∠．BG MG ∴=．AB AD ADB ABD EAF =∴∠=∠=∠，．又FGA AGD AGF DGA ∠=∠∴，△∽△．GF AG AF AG GD AD ∴==． 2233GF AG AF AD AG GD =∴==，． 设2GF a =，3AB a =，92GD a ∴=． 52FD a ∴=． CBD ABD ABD ADB ∠=∠∠=∠，CBD ADB ∴∠=∠．BE AD ∴∥．BG EG GD AG∴=． 23EG AG BG GD ∴==． 设2EG k =，3BG MG k ∴==． 过点F 作FQ ED ∥交AE 于Q ，2445552GQ GF a GQ QE QE FD a ∴===∴=，． 4899GQ EG k ∴==．108353999QE k MQ k k k ∴==+=，． 72MF MQ FQ ED FN QE ∴==∥，．72FM FN ∴=．5. 解：图2结论：2AF BF OE -=，图3结论：2.BF AFOE -= 对于图2证明：过点B 作BG OE ⊥交OE 延长线于点G ，则四边形EGBF 是矩形，∴.BF GE EF GB ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴.OA OB AC BD ⊥=，４∵BG OG OE MN ⊥⊥，，∴12901390+=+=∠∠°，∠∠°，∴2390OEA OGB ===∠∠，∠∠°.又∵正方形ABCD ， ∴1122OA OB AC BD ===， ∴AOE OBG △≌△，（1分）∴AE OG OE GB ==，，∴.OE EF =∴2AF BF AE FE BF OE EG OE GE OE -=+-=++-=，∴2.AF BF OE -= 若选如图3，其证明方法同上.（还有其他方法：如利用中位线、相似、全等等证明方法，如果正确，可参照给分）6. 解：（1）不成立.（1分）猜想：12FN MF BE -=.（1分） 理由如下：连接AD . M 、N 分别是DE 、AE 的中点, 12MN AD ∴=.(1分) 又,,.AC BC ACB BCE DC CE =∠=∠=ACD BCE ∴△≌△（1分）AD BE ∴=.（1分）MN FN MF =-,12FN MF BE ∴-=.（1分） （2）图3结论：12MF FN BE -=.（５。
专题训练(一) 有理数的大小比较
专题训练(一) 有理数的大小比较► 方法一 利用作差法比较大小1．阅读材料：若a －b ＞0，则a ＞b ；若a －b ＝0，则a ＝b ；若a －b ＜0，则a ＜b ，运用此方法可进行有理数的大小比较，如比较5与3的大小，因为5－3＝2＞0，所以5＞3，我们把这种比较大小的方法叫做“求差法”．请用“求差法”比较大小：－34与－23.► 方法二 利用作商法比较大小2．比较1323与2651的大小► 方法三 利用找中间量法比较大小3．比较10092019与10102018.► 方法四 利用倒数法比较大小4．比较1111111和111111111的大小．► 方法五 利用数轴法比较大小5．已知a<0，b>0，且|a|＜|b|，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小．► 方法六 利用特殊值法比较大小6．若0＜x ＜1，比较x ，1x，x 2的大小．► 方法七 利用分类讨论法比较大小7．试比较有理数a 与1a(a ≠0)的大小．►方法八用归纳法比较大小8．你能比较20182019与20192018的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较n n＋1和(n＋1)n的大小(n为正整数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3…这些简单情形入手，发现规律，经过归纳猜想得出结论．(1)比较下列各组数中两个数的大小，在空格中填写“＞”“＝”或“＜”：①12________21；②23________32；③34________43；④45________54；⑤56________65.(2)从第(1)题结果通过归纳猜想n n＋1和(n＋1)n的大小关系．(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较20182019与20192018的大小．教师详解详析1． 解：因为(－34)－(－23)＝－34＋23＝－912＋812＝－112＜0， 所以－34＜－23. 2． 解：1323÷2651＝1323×5126＝5146＞1， 所以1323>2651. 3．解：10092019＝201822019＝20182×2019<20192×2019＝12， 10102018＝202022018＝20202×2018>20182×2018＝12， 所以10092019<10102018. 4．解：因为1111111＝10＋1111，111111111＝10＋11111， 所以1111111＞111111111， 所以1111111＜111111111. 5．解：因为|a |＜|b |，a ＜0，b ＞0，所以a ，b ，－b ，－a 表示在数轴上如图所示：所以－b ＜a ＜－a ＜b .6．解：因为0＜x ＜1，所以可取x ＝12，则x ＝12，1x ＝2，x 2＝14，所以x 2＜x ＜1x. 7．解：当a ＝1或a ＝－1时，a ＝1a； 当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a； 当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a.8．解：(1)①12＝1＜21＝2； ②23＝8＜32＝9；③34＝81＞43＝64；④45＝1024＞54＝625；⑤56＝15625＞65＝7776； …故答案为＜；＜；＞；＞；＞.(2)当n ＜3时，n n ＋1＜(n ＋1)n ， 当n ≥3时，n n ＋1＞(n ＋1)n .(3)因为2018＞3，所以20182019＞20192018.。
观察、猜想和证明专题专题练习-提高
观察、猜想和证明专题一、解答题1．阅读下面的材料：如果函数()y f x =满足：对于自变量x 的取值范围内的任意1x ，2x ， （1）若12x x <，都有12()()f x f x <，则称()f x 是增函数； （2）若12x x <，都有12()()f x f x >，则称()f x 是减函数． 例题：证明函数6()(0)f x x x=>是减函数．证明：设120x x <<，()()()21211212121266666x x x x f x f x x x x x x x ---=-==． ∵120x x <<，∵210x x ->，120x x >．∵()211260x x x x ->．即12())0(f x f x ->． ∵12()()f x f x >．∵函数6()(0)f x x x=>是减函数．根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数21()(0)f x x x x =+<， 21(1)(1)0(1)f -=+-=-，217(2)(2)(2)4f -=+-=-- （1）计算：()3f -= ，()4f -= ； （2）猜想：函数21()(0)f x x x x =+<是 函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想．如果函数()y f x =满足：对于自变量x 的取值范围内的任意1x ，2x ， （1）若12x x <，都有()()12f x f x <，则称()f x 是增函数； （2）若12x x <，都有()()12f x f x >，则称()f x 是减函数． 例题：证明函数()6=f x x是减函数． 证明：设120x x <<，()()()21211212121266666x x x x f x f x x x x x x x ---=-==． ∵120x x <<，∵210x x ->，120x x >．∵()211260x x x x ->．即()()120f x f x ->． ∵()()12f x f x >．∵函数()6f x x-（0x >）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数()1f x x x=-（0x <）， （1）计算：()5f -=_______，()6f -=_______； （2）猜想：函数()1f x x x=-（0x <）是_______函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想．小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程2x 1=-时，突发奇想：2x 1=-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使2i 1=-，那么当2x 1=-时，有x i =±，从而x i =±是方程2x 1=-的两个根． 据此可知：()1i 可以运算，例如：32i i i 1i i =⋅=-⨯=-，则4i =____，2011i =____，2012i =____；() 2方程2x 2x 20-+=的两根为________(根用i 表示)．4．阅读材料：求23410122222++++++的值.解：设23410122222S =++++++∵，将等式两边同时乘2得：23410112222222S =++++++∵，∵-∵得11221S S -=-，即1111212121S -==--，请你仿照此法计算： （1）求2342019133333++++++的值；（2）观察、归纳上述过程并直接写出下列式子的结果2345n a aq aq aq aq aq aq +++++++=________，并证明.5．阅读材料：已知方程p 2﹣p ﹣1＝0，1﹣q ﹣q 2＝0且pq ≠1，求1pq q+的值． 解：由p 2﹣p ﹣1＝0，及1﹣q ﹣q 2＝0可知p ≠0， 又∵pq ≠1， ∵p ≠1q．∵1﹣q ﹣q 2＝0可变形为211()-q q ﹣1＝0，根据p 2﹣p ﹣1＝0和211()-q q ﹣1＝0的特征，∵p 、1q 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p +1q，即11pq q +=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m 2﹣5m ﹣1＝0，21520n n+-=，且m ≠n ，求： （1）mn 的值； （2）2211m n+．6．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x＝log aN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log aM+log aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：log aM＝m，log aN＝n，则M＝am，N＝an ∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）又∵m+n＝log aM+log aN∴log a（M•N）＝log aM+log aN解决以下问题：（1）将指数式53＝125转化为对数式；（2）log24＝，log381＝，log464=．（直接写出结果）（3）证明：证明log a MN＝log aM﹣log aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．（写出证明过程）（4）拓展运用：计算计算log34+log312﹣log316＝．（直接写出结果）7．已知平面直角坐标系中，点P （00,x y ）和直线Ax ＋By ＋C ＝0（其中A ，B 不全为0），则点P 到直线Ax ＋By ＋C＝0的距离d 可用公式d =来计算．例如：求点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离，因为直线y ＝2x ＋1可化为2x －y ＋1＝0，其中A ＝2，B ＝－1，C＝1，所以点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离为：d ===根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M （0，3）到直线9y =+的距离；（2）在（1）的条件下，∵M 的半径r ＝ 4，判断∵M 与直线9y =+的位置关系，若相交，设其弦长为n ，求n 的值；若不相交，说明理由．参考答案：1．（1）269-，6316-；（2）增；（3）函数21()(0)f x x x x =+<是增函数，证明猜想见解析. 【分析】()1根据题目中函数解析式代入自变量值可以解答本题；()2由()1结论可得；()3根据题目中例子的证明方法可以证明()1中的猜想成立．【详解】解：（1）∵21()(0)f x x x x =+<， ∵2126(3)3(3)9f -=-=--，2163(4)4(4)16f -=-=-- 故答案为269-，6316- （2）∵43-<-，()()43f f ->- ∵函数21()(0)f x x x x =+<是增函数 故答案为增 （3）设120x x <<， ∵()()1212221211f x f x x x x x -=+--()121222121x x x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭∵120x x <<，∵120x x -<，120x x +<， ∵12())0(f x f x -< ∵12()()f x f x < ∵函数21()(0)f x x x x=+<是增函数. 【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 2．（1）245-，356-；（2）增；（3）证明见解析【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题； （2）由（1）答案可得结论；（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（2）中的猜想成立．【详解】（1）()()11245-5-=-5+=-555f -=- ()()11356-6-=-6+=-666f -=- （2）增函数（3）()()()12121212121211x x f x f x x x x x x x x x --=--+=-+=()121211x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∵120x x <<，∵120x x -<，120x x >．∵()121211x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＜0．即()()120f x f x -<．∵()()12f x f x < ∵函数()1f x x x=-（0x <）是增函数． 【点睛】本题考查函数的概念，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用函数的性质解答． 3．（1）1；-i ； 1（2）1+i 和1-i【分析】（1）原式各项根据阅读材料中的方法计算即可得到结果； （2）一元二次方程解法--配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可． 【详解】解：（1）由题意可得i 4=1，i 2012=1，i 2013=i ； 故答案为1；1；i ；（2）方程整理得：x 2-2x=-2， 配方得：x 2-2x+1=-1，即（x -1）2=-1， 开方得：x -1=±i ， 解得：x 1=1+i ，x 2=1-i ． 故答案为x 1=1+i ，x 2=1-i4．（1）2020312-；（2）()111n a q q +--，理由见解析；【分析】（1）仿造题中的例子方法进行求解即可；（2）与（1）所用方法大同小异，设234n S a aq aq aq aq aq =++++++，然后将等式两边同时乘q 得：23451n n qS aq aq aq aq aq aq aq +=+++++++，之后两式相减进一步求解即可.【详解】（1）设2342019133333S =++++++∵，将等式两边同时乘3得：234520203333333S =++++++∵，∵-∵得2020331S S -=-，即2020231S =-. 即2020312S -=；∵20202342019311333332-++++++=； （2）()111n a q q +--.证明：设234n S a aq aq aq aq aq =++++++∵，将等式两边同时乘q 得：23451n n qS aq aq aq aq aq aq aq +=+++++++∵，∵-∵得1n qS S aq a +-=-，即()()111n q S a q +-=-.∵()111n a q S q +-=-.即()1234511n na q a aq aq aq aq aq aq q +-+++++++=-.【点睛】本题主要考查了探讨规律方法的化简求值，熟练掌握相关方法是解题关键．错因分析：第1问，对材料中的方法理解不透，不会灵活运用；第2问，计算过程中，运算错误． 5．(1)12-；29．【分析】（1）由题意可知：可以将方程22510m m --=化简为21520m m+-=的形式，根据根与系数的关系直接得：11m n的值； （2）将2211m n +变形为2112m n mn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．【详解】解：由22m 5m 10--=知m≠0， ∵21520m m+-=， ∵21520n n+-=，m ≠n ， ∵11m n≠， ∵1m 和1n是方程2520x x +-=的两个根，（1）由1m和1n是方程2520x x+-=的两个根得112m n⋅=-，∵12 mn=-；经检验：12mn=-是原方程的根，且符合题意．（2）由1m和1n是方程2520x x+-=的两个根得115m n+=-，112m n⋅=-，∵2221111225429 m n m n mn⎛⎫+=+-=+=⎪⎝⎭．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．6．（1）3＝log5125；（2）2，4，3；（3）见解析；（4）1.【分析】（1）根据题意可以把指数式53=125写成对数式；（2）运用对数的定义进行解答便可；（3）先设log a M=m，log a N=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m，N=a n，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（4）根据公式：log a（M•N）＝log aM+log aN以及log a MN＝log aM﹣log aN的逆运用求解即可得到答案；【详解】解：（1）∵一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：记作：x＝log aN．∵3＝log5125，故答案为：3＝log5125；（2）∵22＝4，34＝81，43＝64，∵log24＝2，log381＝4，log464＝3，故答案为：2；4；3；（3）设log aM＝m，log aN＝n，则M＝am，N＝an，∵MN＝mnaa＝am﹣n，∵由对数的定义得m﹣n＝log a MN，又∵m﹣n＝log aM﹣log aN，∵log a MN＝log aM﹣log aN；（4）根据公式：log a（M•N）＝log aM+log aN以及log a MN＝log aM﹣log aN得到：答案第5页，共5页 log 34+log 312﹣log 316＝log 3（4×12÷16）＝log 33＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系7．（1）3；（2）直线与圆相交，n =【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据垂径定理求弦长．【详解】解：（1）∵y＋9－y ＋9＝0，则其中AB ＝－1，C ＝9，由公式可得3d ==∵点M 到直线y ＋9的距离为3，（2）由（1）可知：圆心到直线的距离d ＝3，圆的半径r ＝4，∵d ＜r∵直线与圆相交，则弦长2n ==，【点睛】本题考查了阅读理解和圆与直线的位置关系，垂径定理，解题关键是熟练运用公式求解和熟练运用圆的相关性质进行推理和计算．。