2020优化方案高考总复习文科数学学案及第四章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin α

cos α．

[提醒] 基本关系式的变形

sin 2α＝1－cos 2α,cos 2α＝1－sin 2α,sin α＝tan αcos α,cos α＝sin α

tan α

,(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

2．六组诱导公式

“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π

2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名

称的变化．

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意的角α,β,都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ,则tan α＝sin α

cos α

恒成立．( )

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z ),则cos θ＝1

3.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

已知α是第二象限角,sin α＝5

13,则cos α＝( )

A ．－1213

B ．－513

C ．513

D ．213

解析：选A.因为α是第二象限角,所以cos α＜0,可排除选项C,D,又由sin 2α＋cos 2α＝1,可得cos α＝－12

13

.

若sin θcos θ＝1

2,则tan θ＋cos θ

sin θ的值是( )

A ．－2

B ．2

C ．±2

D ．1

2

解析：选B.tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1

cos θsin θ＝2.

(教材习题改编)tan

⎝⎛⎭⎫－23π

3的值为________． 解析：tan ⎝⎛⎭⎫－23π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π

3＝ 3. 答案： 3

化简1－cos 22θ

cos 2θtan 2θ＝________．

解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θ

cos 2θ·

sin 2θ

cos 2θ＝sin 2θ.

答案：sin 2θ

同角三角函数的基本关系式(师生共研)

(1)(2019·北京西城区模拟)已知α∈(0,π),cos α＝－3

5,则tan α＝( )

A ．3

4

B ．－34

C ．43

D ．－43

(2)(一题多解)已知sin α＋3cos α

3cos α－sin α＝5,则sin 2α－sin αcos α＝________．

【解析】 (1)因为cos α＝－3

5且α∈(0,π),

所以sin α＝1－cos 2α＝4

5,

所以tan α＝sin αcos α＝－4

3

.故选D.

(2)法一：由已知可得sin α＋3cos α3cos α－sin α＝sin α＋3cos α

cos α3cos α－sin αcos α＝tan α＋3

3－tan α

＝5,整理得tan α＝2.从而

sin 2

α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos α

cos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α

＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25

.

法二：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α),即6sin α＝12cos α,也就是sin α＝2cos α,

所以tan α＝sin α

cos α

＝2,

从而sin 2

α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos α

sin 2α＋cos 2α

＝

sin 2α－sin αcos α

cos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝2

5.

法三：由法二知sin α＝2cos α,又sin 2α＋cos 2α＝1, 所以cos 2α＝1

5

,

从而sin 2α－sin αcos α＝4cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α＝2

5.

【答案】 (1)D (2)2

5

同角三角函数关系式的应用

(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化,利用sin α

cos α＝tan α可以实现角α

的弦切互化．

(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的角限不明确时,要进行分类讨论．

(3)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α的式子求解．

1．已知3sin α

sin α＋cos α＝2,则sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值为________．

解析：由3sin α

sin α＋cos α＝2得3sin α＝2sin α＋2cos α,

即tan α＝2,