2021年广东省中考数学仿真试卷(四)(附答案详解)

2021年广东省中考数学仿真试卷（四）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. −7的相反数是( )
A. 7
B. −7
C. 17
D. −17 2. 佛山市下辖5个区，
2020年最新常住人口815.86万人，815.86万用科学记数法可表示为( )
A. 815.86×104
B. 81.586×105
C. 8.1586×106
D. 0.81586×107
3. 下列计算正确的是( )
A. (4a 2)3=12a 6
B. a 2⋅a 3=a 5
C. 3a +3a =3a 2
D. 9a 6÷3a 2=3a 3 4. 将不等式组{4−2x <213x ≤1的解集在数轴上表示出来应是( )
A.
B. C. D.
5. 国家中小学网络云平台和中国教育电视台在疫情期间提供优质学习资源，服务学生
居家学习．下面是平台中防疫教育、品德教育、课程学习、心理健康教育的标识，其中是轴对称图形的个数为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
6. 对于一组统计数据2，3，5，3，7，下列说法错误的是( )
A. 众数是3
B. 平均数是4
C. 方差是3.2
D. 中位数是5
7. 一元二次方程x 2−6x +1=0配方后变形正确的是( )
A. (x −3)2=35
B. (x −3)2=8
C. (x +3)2=8
D. (x +3)2=35
8. 将一副三角板(∠A =30°)按如图所示方式摆放，使得
AB//EF ，则∠CPE 等于( )
A. 75°
B. 90°
C. 105°
D. 115°
9.如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20m，已知B在
C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点
C到公路l的距离为()
A. 10m
B. 40√3
m C. 10√3m D. (10+10√3)m
3
10.快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同
时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息
1.5小时．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路
程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米，图中折线
OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系，下列说法正确的是()
①快车的速度为90km/ℎ；②慢车的速度60km/ℎ；③E点坐标为(3.5,180)；④线
段EC的函数关系式为y=90x−135．
A. ①②
B. ②③
C. ①②③
D. ①②③④
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.分解因式：ab2−a=____________．
12.如果一个正多边形每一个内角都等于135°，那么这个正多边形的边数是______．
13.若点A(m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，则m+n的值是______．
14.如图，点D是等边三角形ABC内一点，AD=2，△ABD绕点
A逆时针旋转到△ACE的位置，则E，D两点间的距离为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与
y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是(4,5)，则弦BC
的长度为______．
16.已知菱形ABCD的对角线交于点O，且AB=2，
∠BAD=60°，现将菱形绕着点O顺时针旋转90°至
A1B1C1D1，则两个菱形重合部分的面积为______．
17.如图，已知△OA1B1，∠A1B1O=90°，∠A1OB1=60°，顶点A1在双曲线y=√3
(x>0)
x 上，点B1的坐标为(1,0)，延长A1B1至C1使B1C1=A1B1，过点C1作C1A2//OA1交双曲线于点A2，过点A2作A2C2⊥x轴于点B2，且B2C2=A2B2，过点C2作C2A3//C1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3C3⊥x轴于点B3，且B3C3=A3B3，…，以此类推，则点B6的坐标为______．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
)−1+(π−2020)0−2sin60°+√12．
18.计算：(1
2
19.对于实数m，n，定义一种运算“※”为：m※n=mn+n．
(1)求4※6的值；
(2)如果关于x的方程(a※x)※x=1
有两个相等的实数根，求实数a的值．
2
20.校园安全受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，
采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
(1)接受问卷调查的学生共有______人；
(2)若该中学共有学生600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安
全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A，B，C和2个男生M，N
中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．
21.如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF//DB，且CF=DE，
连接AE，BF，EF．
(1)求证：∠AED=∠BFC；
(2)若∠ABE+∠BFC=180°，四边形ABFE是什么特殊四边形？请说明理由．
22.某公司计划购买普通医用口罩和N95专业口罩捐赠给湖北，已知N95专业口罩的
单价是普通医用口罩的单价的4倍，用1200元购买普通医用口罩可比购买N95专业口罩多600只．
(1)请问普通医用口罩和N95专业口罩的单价各为多少？
(2)如果该公司计划购买普通医用口罩和N95专业口罩共5万只，总费用不超过12
万元，通过计算说明最多可以购买N95专业口罩多少万只？
23.若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为60°，则称该三角形为“完美三角
形”．
(1)______直角三角形是“完美三角形(填“存在”或“不存在”)；
(2)如图1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=2，则△ABC______“完美
三角形”(填“是”或“不是”)；
(3)如图2，在“完美三角形”△ABC中，∠B=60°，BC=4，S△ABC=4√3，求证：
△ABC是等边三角形．
24.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一
点，CD平分∠ACB与⊙O交于点D，连接AD，BD，
BC=6，cos∠ABC=3
，AB与CD相交于点E，过点
5
D作DP//AB交CA的延长线交于点P．
(1)求线段AD的长；
(2)求证：DP是⊙O的切线；
(3)求证：DP2=AP⋅CP；
(4)求线段PA的长度．
25.如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC=90°，B(4,0)，C(8,0)，
tan∠ACB=2，抛物线y=ax2+bx经过A，C两点．
(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？
②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−7的相反数是7，
故选：A．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】C
【解析】解：815.86万=8158600，
将815.86万用科学记数法表示为：8.1586×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A、原式=84a6，故A不符合题意．
B、原式=a5，故B符合题意．
C、原式=6a，故C不符合题意．
D、原式=3a4，故D不符合题意．
故选：B．
根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：解不等式4−2x<2，得：x>1，
x≤1，得：x≤3，
解不等式1
3
∴不等式组的解集为1<x≤3，
∴不等式组的解集在数轴上表示出来是：．
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：第一个图和第四个图是轴对称图形，第二个图与第三个图不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形，
共有两个轴对称图形，
故选：C．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
6.【答案】D
【解析】解：A、这组数据中3都出现了2次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确，不符合题意；
×(2+3+5+3+7)=4，故此选项正确，不符合题意；
B、这组数据的平均数是：1
5
×[(2−4)2+(3−4)2+(5−4)2+(3−4)2+(7−4)2]=3.2，此选项正确，C、S2=1
5
不符合题意；
D、将这组数据按从小到大的顺序排列2，3，3，5，7，中位数为3，此选项错误，符合题意；
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，利用平均数和方差的定义可分别求出．
本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与方差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．
7.【答案】B
【解析】解：∵x2−6x+1=0，
∴x2−6x=−1，
⇒x2−6x+9=−1+9，
∴(x−3)2=8．
故选：B．
首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
此题考查配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB//EF，∠E=45°，
∴∠E=∠EDB=45°，
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
在△BDP中，∠DPB=180°−∠EDB−∠B=75°，
∴∠CPE=∠DPB=75°，
故选：A．
直接利用三角形板的性质结合平行线的性质分析得到∠EDB =45°，根据三角形的内角和得到∠DPB =180°−∠EDB −∠B =75°，再根据对顶角相等得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠EDB 的度数是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，
∴∠ADC =90°，
∵∠BCD =30°，∠ACD =60°，AB =20m ，
∴∠ACB =∠ACD −∠BCD =60°−30°=30°，∠CAD =90°−∠ACD =90°−60°=30°，∠CBD =90°−∠BCD =90°−30°=60°，
∴∠ACB =∠CAD ，
∴AB =BC =20m ，
在Rt △BCD 中，
∵sin∠CBD =CD BC ，
∴CD =BC ⋅sin∠CBD =20×
√32=10√3(m)，
故选：C ．
作CD ⊥直线l 于点D ，由已知证得∠ACB =∠CAB =30°，∠CBD =60°，由等腰三角形的判定得到AB =BC =20m ，在Rt △BCD 中，根据CD =BCsin∠CBD 计算可求得CD ． 本题主要考查解直角三角形的应用，作出高线把实际问题转化为解直角三角形的问题是解决问题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：快车的速度为：180÷2=90千米/小时，故①说法正确；
慢车的速度为：180÷3=60千米/小时，故②说法正确；
点E 的横坐标为：2+1.5=3.5，则点E 的坐标为(3.5,180)，故③说法正确； 快车从点E 到点C 用的时间为：(360−180)÷90=2(小时)，
则点C 的坐标为(5.5,360)，
设线段EC 所表示的y 与x 之间的函数表达式是y =kx +b ，
{3.5k +b =1805.5k +b =360，解得{k =90b =135 
，
即线段EC所表示的y与x之间的函数表达式是y=90x−135(3.5≤x≤5.5)，故④说法正确；
故选：D．
根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度以及E点坐标；设线段EC所表示的y与x之间的函数表达式是y=kx+b，利用待定系数法解答即可求出线段EC的函数关系式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11.【答案】a(b+1)(b−1)
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．首先将原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(b2−1)=a(b+1)(b−1)，
故答案为a(b+1)(b−1)．
12.【答案】8
【解析】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数n=360÷45=8，
∴该正多边形的边数是8．
故答案为：8．
根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的
外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．
13.【答案】2
【解析】解：∵点A(m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，
∴m=3、1−n=2，
解得：m=3、n=−1，
所以m+n=3−1=2，
故答案为：2．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n 的值，代入计算可得．
本题主要考查关于x、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
14.【答案】2
【解析】解：连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴AD=AE=2，旋转角∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=2．
故答案为2．
连接DE，由旋转的性质得出AD=AE=2，旋转角∠DAE=∠BAC=60°，证明△ADE为等边三角形，由等边三角形的性质得出答案．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确的确定旋转角的度数．
15.【答案】6
【解析】解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，
则BH=CH，
∴BC=2BH，
∵⊙M与x轴相切于点A，
∴MA⊥OA，
∵圆心M的坐标是(4,5)，
∴MA=5，MH=4，
∴MB=MA=5，
在Rt△MBH中，
由勾股定理得：BH=√MB2−MH2=√52−42=3，
∴BC=2×3=6，
故答案为：6．
连接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂径定理得到BC=2HB，根据切线的性质及M点的坐标得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的长度．本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
16.【答案】8√3−8
【解析】解：由旋转的性质可得：重叠部分为各边长相等
的八边形，
∴BF=FB1，
∵菱形ABCD的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O
顺时针旋转90°后得到菱形A1B1C1D1，
∴∠B1C1O=∠BAO=30°，C1D1=AB=2，
∴∠ABA1=60°，
∴∠C1FB=∠ABA1−∠B1C1O=30°，
∴C1B=BF=FB1，
∵B1O=OB=1
2C1B1=1，C
1
O=√3B1O=√22−1=√3，
∴C1B=BF=FB1=√3−1，
∴重叠部分图形的周长为：8(√3−1)=8√3−8，故答案为：8√3−8．
】根据已知可得重叠部分是个八边形，求得其一边长即可得到答案．
此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质，关键是根据已知可得重叠部分是个八边形．
17.【答案】(√6+√5,0)
【解析】解：记A2C1、C2A3与x轴的
交点分别为点M、点N，
由∠A1OB1=60°可设：点
A1(a,√3a)(a>0)，
∵点A1在反比例函数y=√3
上，
x
∴a⋅√3a=√3，(a>0)，
∴a=1，
∴A1(1,√3)，B1(1,0)，
∵B1C1=A1B1，C1A2//OA1
∴△OA1B1≌△MC1B1，
∴B1M=OB1=1，
设MB2=b，则：A2B2=√3b，
∴点A2(2+b,√3b)，
∴(2+b)⋅√3b=√3，
解得：b=√2−1，
∴B2(√2+1,0)，
又∵B2C2=A2B2，C2A3//C1A2，
∴△MA2B2≌△NC2B2，
∴B2N=MB2=√2−1，
设NB3=c，则：A3B3=√3c，
∴点A3(2√2+c,√3c)，
∴(2√2+c)⋅√3c=√3，
解得：c=√3−√2，
∴B3(√3+√2,0)，
由B1(1,0)，B2(√2+1,0)，B3(√3+√2,0)，可推，
B6(√6+√5,0)．
故答案为：(√6+√5,0)．
由60°结合函数解析式求出点A1的坐标，得到B1的坐标，再利用C1A2//OA1，得出A2，进而得到B2，以此类推，找出规律得到B6的坐标．
本题以求点B6的坐标为背景，实际考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、三角形全等和30°直角三角形的三边关系，多次重复进行计算，找出系列B点坐标的规律，从而得到结果．
18.【答案】解：原式=2+1−2×√3
+2√3
2
=2+1−√3+2√3
=3+√3．
【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，考核学生的计算能力，掌握负整数指数幂的法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=4×6+6
=24+6
=30；
(2)原方程可变形为(ax+x)※x=1
，
2
∴(ax+x)x+x=1
，
2
=0，
整理得：(a+1)x2+x−1
2
∵方程有两个相等的实数根，
)
∴△=1−4(a+1)⋅(−1
2
=1+2a+2
=2a+3=0，
∴a=−3
．
2
【解析】(1)根据定义，这种运算等于这两个数的乘积加上第二个数，列式计算即可；
(2)先化简方程，根据方程有两个相等的实数根得到△=0，进而求出a的值．
本题考查了实数的运算，判别式，根据方程有两个相等的实数根得到△=0是解题的关键．
20.【答案】60 200
【解析】解：(1)∵“了解很少”的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60(人)，
故答案为：60；
(2)调查结果中“了解”的人数为：60−15−30−10=5(人)；
估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为：600×5+15
60
=200(人)，
故答案为：200；
(3)画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好抽到女生A的结果有2种，
∴恰好抽到女生A的概率为2
6=1
3
．
(1)由“了解很少”的人除以所占百分比即可；
(2)求得调查结果中“了解”的人数，利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
(3)画出树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到女生A的结果有2种，再由概率公式即可得出结果．
此题考查了树状图法与列表法以及条形统计图和扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵CF//DB，
∴∠BCF=∠DBC，
∴∠ADB=∠BCF
在△ADE与△BCF中
{DE=CF
∠ADE=∠CBF AD=BC
，
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴∠AED=∠BFC；
(2)四边形ABFE是菱形，
理由：∵CF//DB，且CF=DE，
∴四边形CFED是平行四边形，
∴CD=EF，CD//EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴AB=EF，AB//EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEB+∠AED=180°，∠ABE+∠BFC=180°，
∴∠AEB=180°−∠AED，∠ABE=180°−∠BFC，
∵∠AED=∠BFC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质证得AD=BC，AD//BC，根据平行线的性质证得∠ADB=∠BCF，根据全等三角形的判定证得△ADE≌△BCF即可得到∠AED=∠BFC；
(2)先征得四边形CFED是平行四边形，得到CD=EF，CD//EF，进而证得四边形ABFE 是平行四边形，再证得∠ABE=∠AEB，得到AB=AE，根据菱形的判定即可证得结论．此题考查平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的判定证得四边形ABFE是平行四边形是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)设普通医用口罩的单价为x元，则N95专业口罩的单价为4x元，
依题意得：1200
x −1200
4x
=600，
解得：x=1.5，
经检验，x=1.5是原方程的解，且符合题意，∴4x=6．
答：普通医用口罩的单价为1.5元，N95专业口罩的单价为6元．
(2)设可以购买N95专业口罩m万只，则购买普通医用口罩(5−m)万只，
依题意得：6m+1.5(5−m)≤12，
解得：m≤1．
答：最多可以购买N95专业口罩1万只．
【解析】(1)设普通医用口罩的单价为x元，则N95专业口罩的单价为4x元，根据数量=总价÷单价，结合用1200元购买普通医用口罩可比购买N95专业口罩多600只，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设可以购买N95专业口罩m万只，则购买普通医用口罩(5−m)万只，根据总价=单价×数量，结合总价不超过12万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】不存在不是
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则三角形的三边之比=1：√3：2，因此不存在直角三角形是完美三角形．
故答案为：不存在．
(2)如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC=2，∠C=60°，
AC=1，AH=AC⋅sin60°=√3，
∴CH=AC⋅cos60°=1
2
∵∠B=45°，∠AHB=90°，
∴AH=BH=√3，
∴AB=√2AH=√6，BC=√3+1，
∵AB，BC不是整数，
∴△ABC不是完美三角形．
故答案为：不是．
(3)如图2中，过点C作CH⊥AB于H．∵∠CHB=90°，∠B=60°，BC=4，
∴BH=BC⋅cos60°=4×1
2=2，CH=BC⋅sin60°=4×√3
2
=2√3，
∴S△BHC=1
2⋅CH⋅BH=1
2
×2×2√3=2√3，
∵S△ABC=4√3，
∴S△ACH=S△CBH，
∴AH=BH，
∵CH⊥AB，
∴CA=CB，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
(1)根据特殊三角形三边之比，可得结论．
(2)如图1中，过点A作AH⊥BC于H.求出AB，BC，可得结论．
(3)如图2中，过点C作CH⊥AB于H.通过计算证明S△ACH=S△CBH，推出AH=BH，即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定等知识，解题的关键是理解“完美三角形的定义”，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24.【答案】(1)解∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵cos∠ABC=3
5
，
∴BC
AB =6
AB
=3
5
，
∴AB=10，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°，
∠BAD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴DA=DB，∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
AB=√DA2+DB2=√2AD，
∴AD=5√2；
证明：(2)如图1，连接OD，
∵∠DBA=45°
∴∠AOD=2∠DBA=90°，
∵AB//DP，
∴∠ODP=180°−∠AOD=90°，∴OD⊥PD，
∵D在⊙O上，
∴DP是⊙O的切线；
(3)如图1，∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=45°，
∴∠ADP=90°−∠ODA=45°，∴∠ADP=∠DCP，
∵∠P=∠P，
∴△ADP∽△CDP，
∴AP
DP =PD
PC
，
∴DP2=AP⋅CP；
解：(4)在Rt△ABC中，AC=√AB2−AC2=8，过A作AN⊥CD于N，如图2，
∵∠ADC=ABC，且cos∠ABC=3
5
，
∴DN
AD =DN
5√2
=3
5
，
∴DN=3√2，
∴AN=√AD2−DN2=4√2，
∴CN=√AC2−AN2=4√2，∴CD=DN+CN=7√2，
由(3)可得，△ADP∽△CDP，
∴AD
DC =AP
PD
=√2
7√2
=5
7
，
设AP=5y，则PD=7y，
由(3)可得，DP2=AP⋅CP，
∴49y2=5y⋅(5y+8)，
∴y=5
3
，
∴PA=5y=25
3
．
【解析】(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD=45°，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠DAB=∠DBA=45°，证得△ABD
是等腰直角三角形，由于BC=6，cos∠ABC=3
5
，可以求得AB的长度，在等腰直角三角形ABD中，利用勾股定理，求出AD的长度；
(2)要证明DP是圆O的切线，连接OD，因为OD是半径，只需要证明OD⊥PD即可，因为DP//AB，所以只需要证明OD⊥AB即可，由∠AOD=2∠DBA=90°即可证明；
(3)要证明DP2=AP⋅CP，只需要证明DP
AP =CP
DP
，又由于∠P公共，所以只需要证明△
ADP∽△CDP，因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA=45°，则∠ADP=90°−∠ODA=45°，所以∠ADP=∠DCP，又∠P公共，所以△ADP∽△CDP，即可解决；
(4)先由勾股定理求出AC的长度，由(1)可得AD的长度，又∠ACD=45°，所以过A作AN⊥CD于N，如图2，利用勾股定理，求出DN和CN，求出CD的长度，因为△ADP∽△
CDP，所以 AD
DC =5
7
，则AP
PD
=5
7
，设AP=5y，则PD=7y，代入到DP2=AP⋅CP，求出
y，即可解决．
本题是一道圆的综合题，考查了对角互为直角的圆内接四边形模型，对于模型常规的辅助线和结论要非常熟悉，此题第四问也可以将△ADC绕D顺时针转90度，来求得CD 的长度，另外，解题中要注意上一问的结论可以应用到下一问，例如本题第三问的结论就为第四问提供了列方程的依据．
25.【答案】解：(1)∵B(4,0)，C(8,0)，
∴BC=4，
∵∠ABC =90°，tan∠ABC =2，
∴AB =BC ⋅tan∠ABC =8，
∴A 的坐标为(4,8)，
将A(4,8)，C(8,0)代入y =ax²+bx ，
得：{16a +4b =864a +8b =0
， 解得：{a =−12b =4
， ∴抛物线得解析式为：y =−12x²+4x ；
(2)①由题得；AP =t ，∠APE =∠ABC =90°，∠EAP =∠CAB ，
∴tan∠EAP =tan∠CAB =
EP AP =BC AB ， ∴PE t =48，即PE =t 2， ∵PB =AB −AP =8−t ，
∴E 的坐标为(4+t 2,8−t)，
将x =4+t 2代入y =−12x²+4x ，
得：y =−18t 2+8，
∴G 的纵的坐标为−18t 2+8，
∴EG =−18t 2+8−(8−t)=−18t 2+t =−18(t −4)2+2， ∵0≤t ≤8，
∴t =4时，线段EG 有最大值且为2；
②∵CQ =t ，PE =t 2，AP =t ，BC =4，AB =8，
∴AE =√AP 2+PE 2=√52t ，AC =√AB 2+BC 2=4√5，
∴CE =AC −AE =4√5−
√52t ， 当△CEQ∽△ACB 时，CE AC =CQ AB ，
∴4√5−√52
t 4√5=t 8，t =4，
当△CEQ∽△ABC 时，CE AB =CQ AC ，
∴4√5−
√52t 8=4√5，t =409，
∴综上，t=4或40
．
9
【解析】(1)由B、C的坐标及tan∠ABC求出AB的长，即得A的坐标，由A、C结合待定系数法即可求出抛物线解析式；
(2)①由tan∠EAP=tan∠CAB，求出PE，PB，即得E的坐标，E横坐标代入抛物线求出G的坐标，G的纵坐标减去E的纵坐标即为EG的长，再配合可求出EG取最大值时的t以及最大值；
②由勾股定理算出AE、AC，分△CEQ∽△ACB或△CEQ∽△ABC两种情况讨论，分别求出t即可．
本题是二次函数综合题，考查了三角函数的定义，待定系数法，线段最值转化成二次函数配方求最大值，相似三角形存在性问题的分类讨论．熟悉相似三角形的判定与性质是关键．。