数值传热学第九章

∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
＝0
＝0
速度的时均值与脉动值的时均值分别满足连续性方程。
2. 动量方程
以x方向为例：
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∂(u + u') + ∂(u + u')2 + ∂(u + u')(v + v' ) + ∂(u + u' )(w + w') = − 1 ∂( p + p' ) +
= − ∂peff ∂xi
+
∂ ∂xk
[(ηl
eff
+ ηt
)
∂ui ∂xk
]
+
Si
∂φ
∂t
+
∂(ρukφ )
∂xk
=
∂ ∂xk
[(Γl + Γt )
Γ eff
∂φ
∂xk
]+
Sφ
; peff = p + pt
2. 采用湍流黏性系数时，与层流控制方程的差别在于：
(1) ui , p,φ 为时均值; (2) 用 Γeff = Γ + Γt 代替 Γ
(
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂x2
)
∂u + ∂(u2 ) + ∂uv + ∂uw = ∂t ∂x ∂y ∂z
移到等号后面
− 1 ∂p + ∂ [ν ∂u − (u')2 ] + ∂ [ν ∂u − (u'v')] + ∂ [ν ∂u − (u'w')]
ρ ∂x ∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
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写成直角坐标中张量的形式：
∂(ρu)
∂t
+
∂( ρ ui u
∂x j
j)
=
−
∂p ∂xi
+
∂ ∂x j
(η
∂ui ∂x j
−
ρ
ui'u
' j
)
(i
= 1,2,3)
3. 其它标量
∂( ρφ )
∂t
+
∂(ρu jφ)
∂x j
=
∂ ∂x j
(Γ
∂φ
∂x j
−
ρu'jφ ' ) +
S
4.关于时均值的讨论
1. 时均值的定义
φ =φ +φ'
∫ φ
=
1
t + Δt
φ (t)dt
Δt t
Δt 为时间步长，相对于湍流脉动周期足够大，相对于
时均量的变化周期则足够小。
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非
准
稳
稳
态
态
湍
湍
流
流
时均值特性如下：
1. φ ' ≡ 0; 2.φ = φ; 3. φ + φ ' = φ; 4. φφ ' = φφ ' = 0
1877年Boussinesq 模拟层流的本构方程， 引入：
(τ i, j )t
=
−
ρ
ui'u
' j
=
(−
ptδ
i
,
j
)
+
ηt
(
∂ui ∂x j
+
∂u j ∂xi
)−
2 3
ηtδ
i
,
j
divV
pt
=
1 3
ρ[(u ' )2
+
(v' )2
+
(w')2 ]
=
2 3
ρk
k = 1 [(u')2 + (v')2 + (w')2 ] 2
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9.3 零方程模型与一方程模型
9.3.1 零方程模型(zero equation model)
1.零方程模型的湍流附加应力计算式
所谓零方程模型是指确定湍流黏性系数不需要微方
程的模型。该类模型中将湍流附加应力表示为：
湍流运动黏性系数
τt
=
−
ρ
ui'u
' j
=
ρ u 'v'
=
ρν t
( du dy
(
c
λ pηl
)ηl
=
ηl ( cpηl )
=
ηl
Prl
相应地：
λ
Γt
=
ηt
Prt
因此：采用湍流黏性系数模型时，计算的任务在于确
定 ηt , Prt 。
9.2.3 采用湍流黏性的控制方程
1. 控制方程－以下时均量均略去时均符号：
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∂uk = 0
η ∂xk
∂ui ∂t
+ ∂(ρukui )
∂xk
= 1,2,3)
要使上述方程组封闭必须补充用以确定这9个附加量 的关系式，即湍流模型(turbulence model）又称 封闭模型(closure model )。
9.2.2 确定附加项的两类方法
1.Reynolds应力方程法 对9个附加量分别导出确定它们的控制方程；在导出
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过程中又引进了更高阶的附加量；需要进一步导出确 定更高阶附加量的控制方程，但是最终必须终止在近似 的模型上；如此处理已经导出了多达20余个偏微分方 程的模型。
9.2.2 确定附加项的两类方法
9.2.3 采用湍流黏性的控制方程
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9.2 不可压缩流体对流换热湍流时均方程
9.2.1 时均形式的控制方程
1. 连续性方程
∂(u + u') + ∂(v + v') + ∂(w + w') = ∂u + ∂v + ∂w + ∂u' + ∂v' + ∂w' = 0
其中对两个脉动量乘积的时均值导出微分方程， 对三个脉动量乘积时均值建立模型的方法称为二阶矩 模型(second moment model)，已经得到工程应用， 清华大学周力行教授研究组贡献甚多。
2. 湍流黏性系数法（涡黏性系数法）
将两个脉动速度乘积的时均值表示成“湍流黏性系数”
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(1)湍流黏性系数定义
数值传热学
第 九章 湍流流动与换热的数值模拟
主讲
西安交通大学能源与动力工程学院 热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER
2010年11月10日, 西安
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第9章 湍流流动与换热的数值模拟 9.1 湍流现象概述 9.2 不可压缩流体对流换热湍流时均方程 9.3 零方程模型与一方程模型 9.4 两方程模型 9.5 壁面函数法 9.6 低Reynolds数k-epsilon 模型 9.7 强制对流湍流模型的近期发展简述 9.8 有浮升力时湍流的数值模拟
在 y /δ = λ /κ 处 lm = λδ
作者 κ λ
Cebeci 0.41 0.08 P-S 0.435 0.09
lm /δ = κ ( y /δ )
lm = κ y
δ 为边界层厚度
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(2) 圆管内流动与换热 Nikurads公式
lm / R = 0.14 − 0.08(1− y / R)2 − 0.06(1− y / R)4
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9.1 湍流现象概述 9.1.1 现阶段对湍流的认识 9.1.2 湍流数值模拟方法分类 9.1.3 Reynolds时均值的定义及其性质
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9.1 湍流现象概述
9.1.1 现阶段对湍流的认识
1. 湍流是高度复杂的非稳态流动，其中的各物理量都 随时间与空间做随机的变化； 2. Navier-Stokes方程对湍流的瞬时运动仍然适用； 3. 湍流流场可以看成是由各种不同尺度的涡(eddy) 叠加而成。 说明：(1)eddy vs. vorticity：eddy是实际流体湍流
∂t
∂x
∂y
∂z
ρ ∂x
ν
[
∂2
(u + ∂x2
u'
)
+
∂
2
(u + ∂y 2
u
'
)
+
∂2
(u + ∂z 2
u'
)
]
利用上述特性，可得
∂u + ∂(u2 ) + ∂uv + ∂uw + ∂(u')2 + ∂(u'v') + ∂(u'w') =
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x
∂y
∂z
=
−
1
ρ
∂p ∂x
+ν
L
绝热
v
h
x u
T
绝热 w
z
对于L=6.4H的方形截
H
面通道内充分发展混合对流
H 湍流,在Re＝6400，Gr＝
104 ~ 107的情形，直接模拟
采用了256x128x128= 4.194x106个节点，用 8×105
个时间步长做统计平均。
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2. 大涡模拟
基本思想：湍流的脉动主要由大尺度涡所造成， 各向异性而且随情形而异；小尺度涡的主要作用是耗 散能量，几乎各向同性。用N-S方程直接计算大尺度 涡，而小尺度涡的作用则通过引入简化的模型来考虑。
雷诺平均-RANS
谱方法 谱元法 有限差分法
Smagor insky 模型 尺度相似模型和混合模型 动力粘性模型 梯度模型 动力混合模型
二阶应力模型－SMC 代数应力模型－ASM
涡粘模型
Bol tzmann 方程
湍流数值模拟分类
混合长度模型 一方程模型 两方程模型 非线性、多尺度
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1.直接模拟： 需要采用很小的时间步长和空间步长才 能将不同尺度的涡的演化过程(evolution)模拟出来， 因此对计算机资源要求很高，一般需要超级计算机。
(1) 一次项在时均过程中保持形式不变，二次项产生 了脉动值乘积的时均项，代表了由脉动而产生的附加 通量的转移；
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(2) 方程组不封闭：对二维问题有5个方程，14个变量：
5个时均量－ u,v, w, p,φ,
9个脉动值乘积的时均项－
ui'u
' j
(i,
j
= 1,2,3);
ui'φ ' (i
(2) 不能考虑来流湍流情况的影响； (3) 不能考虑到湍流本身特性的影响。
Li ZY, Hung TC, Tao WQ. Numerical simulation of fully developed turbulent flow and heat transfer in annular-sector ducts. Heat Mass Transfer,2002, 38 (4-5): 369-377
5. φ f = (φ + φ ')( f + f ') = φ f + φ ' f '
6. ∂φ = ∂φ ;
∂x ∂x
7.
∂φ '
∂x
=
∂φ '
∂x
=
0
8. ∂(φ f ) = ∂(φ f ) + ∂(φ ' f ')
∂x
∂x
∂x
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9.2 不可压缩流体对流换热湍流时均方程 9.2.1 时均形式的控制方程
(2) 其它湍流脉动附加通量的定义
−ρui'φ '
=
Γt
பைடு நூலகம்
∂φ
∂xi
Γt
=
ηt
Prt
Prt一般取为常数；
于是湍流对流换热的研究归结为确定ηt ！
确定湍流黏性系数所需微分方程的个数成为湍流工程
计算模型的名称。
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当该标量为流体温度时，对应的层流（分子）扩散系数为：
Γl
=
λ
cp
=
λ
cp
ηl ηl
=
试验范围：Re＝ 1.1×105 ~ 3.2×106
(3) 两交界固壁附近的流体
•la
1 lm
=
1 la
+
1; lb
la ,lb
分别按上式计算
lb
(4) 考虑分子粘性的近壁处修正－van Driest 公式
lm
=
κ
y[1 −
exp(−
y(τ m / ρ )1/ 2 Aν
)]
=
κ
y[1 −
exp(−
y+ A
流动的特有运动形式，具有随机特性（随机涡）；
Vorticity－ω = ∇ ×V ，实际流体一定 ω ≠ 0
无论层流还是湍流都具有，它有确定性。
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(2) 上世纪后半叶曾经争论Navier－Stokes方程 是否适用于湍流，直接模拟的成功给予了肯定的回答；
(3) 分岔(bifurcation),混沌(chaos),奇怪吸引子 (strange attractor) 以及湍流(turbulence)被认为 是20世纪四大非线性物理现象。 9.1.2 湍流数值模拟方法分类
)
=
ρ
lm2
du dy
( du ) dy
从量纲考虑的唯一选择 造成动量交换的根本原因
按照牛顿切应 力公式
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这里 lm 称为混合长度(mixing length),确定合适的
混合长度是零方程模型的关键。 2.常用的混合长度计算式
(1) 外掠平板流动与换热 lm /δ 与离开壁面的位置 y /δ 的关系呈斜坡函数分布：
)],
A = 26
考虑分子黏性阻尼作用 的修正因子
当 y+ = 6 时，修正因子＝0.997
A
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3.零方程模型应用范围 (1) 边界层类型流动与换热（机翼上气流脱离前部分）； (2) 平直通道内的流动与换热； (3) 回流较弱接近于边界层类型流动与换热。 零方程模型的缺点：
(1) 在通道中心处速度梯度为零，但实际 ηt 不为零；
(3) 用 peff 代替 p;
(4) ui 的源项 Si 包括了由脉动
值的时均值所引起的附加项。
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直角坐标系中，三个速度的附加源项为：
3. 湍流Prandtl数
在不同形式的流动中其值在一定范围内变化，一般
取为常数，于是湍流对流换热的研究归结为确定 ηt
Γt
=
ηt
Prt
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9.3 零方程模型与一方程模型 9.3.1 零方程模型 1.零方程模型的湍流附加应力计算式 2.常用的混合长度计算式 3.零方程模型应用范围 9.3.2 一方程模型 1.湍流脉动动能作为计算变量 2.Prandtl-Kolmogorov公式 3.湍流脉动动能控制方程 4.湍流脉动动能方程边界条件
基于连续介质假设的、Euler描述方法的湍流数 值模拟方法分为三大类：直接模拟(direct numerical simulation,DNS)，大涡模拟(large eddy simulation,LES)与Reynolds时均方程模拟(RANS)
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湍流数值模拟
直接模拟－DNS
N－S方程
大涡模拟－LES
LES所需的计算机资源虽仍然较大，但比DNS则 有数量级的下降，逐渐成为研究的热点，并初步得到 工程应用。
对于上述同样一个问题，采用LES所需网格可 下降到128x80x80=819200。
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3. Reynolds时均方程法
将瞬时量表示成时均值与脉动值之和，对非稳态 N-S方程进行时间平均，通过模型将时均过程中产生 的各种脉动量的时均值表示成时均值的各类函数形式。 9.1.3 Reynolds时均值的定义及其性质