立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结

一、几种角的范围
1、二面角平面角的范围：
2、线面角的范围：
3、直线倾斜角范围：
4、异面直线夹角范围：
5、向量夹角范围：
二、立体几何中的向量方法
1．三个重要向量
(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有_______个．
(2)平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有_____个，它们是共线向量．
(3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=0的正法向量为n=(A,B).
2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用
(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．
如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔______________________________；
如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔_____________________.
(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．
若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔______________________.
若l⊥α，则u∥n⇔u＝k n⇔__________________________.
(3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．
若α∥β，u1∥u2⇔u1＝k u2⇔(a1，b1，c1)＝______________；
若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________________.
3．利用空间向量求空间角
(1)求两条异面直线所成的角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
(2)求直线与平面所成的角：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·b |
|a ||b |.
(3)求二面角的大小：
(Ⅰ)若AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB →，CD →
的夹角(如图①所示)．
(Ⅱ)设n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③)．
①
②
③
4．求点面距：平面a 外一点P 到平面a 的距离为：
d= 其中n 为平面a 的法向量，PQ 为平面a 的斜线，Q 为斜足。

5.平面法向量的求法
设出平面的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标．注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一． 6．射影面积公式：二面角的平面角为a ，则cos a= 7．利用空间向量求角要注意的问题
(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求． (2)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，π2.
(3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况
．
三、二面角的平面角的求法
1、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的
棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD
，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。

练习1已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正
E —A
F —C 的余弦值.
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

(1)证明：直线EE 1//平面FCC 1； (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

E A B C
F E 1
A 1
B 1 C
1
D 1 D
练习2如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．
3、补棱法（补形法）
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠
BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;
（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.
练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

（1）求证：AC 1⊥BC ；
（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。

A
B C
E
D
P
4、射影面积法（cos s S
q =
射影）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜
射S S =
θ
）求出二面角的大小。

例4．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；
练习4： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.
A B
P
A 1
D 1 B 1 C 1
E D B
C
A
图5
5、向量法
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例5（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，
M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=1
2
AD
(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ；
求二面角A-CD-E 的余弦值。

练习5、（2008湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；
（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.
二面角大小的求法的归类练习（请在小括号内填写所用方法）
（）例1 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC—-D的大小。

（）例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

（）例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。

（）例4 在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

（）例5、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

（补形化为定义法）
二面角大小的求法答案
定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1（2009全国卷Ⅰ理）证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B 作
BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点，∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角.. ∵
2=SM ，则2
2=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ,
∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF , 在△GAB 中，2
6
=
AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴2
11423=+=BG 366
23
2
2221132
12cos 2
2
2
-=-=⨯⨯-
+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ,∴二面角S AM B --的大小为)3
6
arccos(-
练习1（2008山东）分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，
进而计算二面角的余弦值。

（答案：二面角的余弦值为5
15
）
二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。

如（例2）过二面角B-FC 1-C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面FC 1C 的垂线，得垂足O ；再过该垂足O 作棱FC 1的垂线，得垂足P ，连结起点与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）。

再解直角三角形求二面角的度数。

例2．(2009山东卷理) 证（1）略解（2）因为AB=4,
BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为
正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所
以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中
,OB =在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△
CC 1F,∵1
1OP OF CC C F
=
∴2OP
在Rt △OPF 中
,BP =
cos OP OPB BP ∠=所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为
F
G
E A B
C F E 1 A 1
B 1
C 1
D 1 D F 1 O P
. 练习2（2008天津）分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD ⊥平面PAB 后，容易发现平面PAB ⊥平面ABCD ，点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P 作棱BD 的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而
可得本解法。

（答案：二面角A BD P --的大小为4
39
arctan
） 三．补棱法
例3（2008湖南）分析：本题的平面P AD 和平面PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .）再在完整图形中的PF .上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。

（Ⅰ）证略解: （Ⅱ）延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .
过点A 作AH ⊥PB 于H ，由（Ⅰ）知,平面PBE ⊥平面P AB ,所以AH ⊥平面PBE .
在Rt △ABF 中，因为∠BAF ＝60°，所以，AF =2AB =2=AP . 在等腰Rt △P AF 中，取PF 的中点G ，连接AG .
则AG ⊥PF .连结HG ，由三垂线定理的逆定理得，PF ⊥HG .所以∠AGH 是平面P AD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt △P AF 中，
2
AG PA ==在Rt △P AB 中，
AP AB AH PB ====
所以，在Rt △AHG 中，
sin AH AGH AG ∠===故平面P AD 和平面PBE
所成二面角（锐角）的大小是arcsin
练习3提示：本题需要补棱，可过A 点作CB 的平行线L （答案：所成的二面角为45O ）
四、射影面积法（cos s S
q =
射影）
例4．（2008北京理）分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与S 射 于是得到下面解法。

解：（Ⅰ）证略（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．
又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即A C B C ⊥，且A
C P C C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥．
∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影，于是可求得：2222=+===CB AC AP BP AB ，
622=-=AE AB BE ，2==EC AE 则1222
1
21=∙=
∙==∆CE AE S S ACE 射， 3622
1
21=∙=∙==∆EB AE S S ABE 原, A
B
C
E
D P
F
G H
A C
B
B 1
C 1
A 1
L A
B
E
P
设二面角B AP C --的大小为ϑ，则3
33
1cos =
=
=原
射S S ϑ ∴二面角B AP C --的大小为3
3arccos
=ϑ 练习4：分析 平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，
则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。

考虑到三角形AB 1E 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影是三角形A 1B 1C 1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。

（答案：所求二面角的余弦值为cos θ=
3
2
）. 五、向量法 例4：（2009天津卷理）现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A 为坐标
原点。

设，
1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .
2112
1M ⎪⎭
⎫ ⎝⎛，， （I ）()，
，，解：101B -= ()，
，，110-
=.
2
1221
00=∙++=
于是所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为060.
（II ）证明：，，，
由⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2112
1 ()，，，101-= ()0020=∙=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=∙
.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥⊂
（III ）⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙=.
0D 0)(CDE u u z y x u ，，则，，的法向量为解：设平面.
111(1.
00），，，可得令，于是==⎩⎨⎧=+-=+-u x z y z x 又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，
=v 练习5、（2008湖北）分析：由已知条件可知：平面ABB 1 A 1⊥平面BC C 1 B 1⊥平面ABC 于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

（答案：22arcsin c
a a
+=φ
） 总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。

1.、 AB=AD=a PA AB PA AD PB PD AB AD a ⊥⎫⎪⊥⇒=⎬⎪==⎭，PB PD BC DC PBD PDC PC PC =⎫
⎪
=⇒∆≅∆⎬⎪=⎭
,
过B 作BH ⊥PC
于H ，连结DH
DH ⊥PC
故∠BHD 为二面角B-PC-D
的平面角 因
a,BC=a,PC=12PB·BC=S △PBC=1
2
PC·BH
则
BH=3
=DH 又, 在△BHD 中由余弦定理，得：
cos ∠BHD
＝)
22
2
2
2
2
1
22
BH
DH BD BH BD ⎫⎫
+-⎪⎪+--
, 又0＜∠BHD ＜π 则∠BHD=23
π
，二面角B-PC-D 的大小是
23
π。

2解：（三垂线法）如图 PA⊥平面BD ，过A 作AH⊥BC 于H ，连结PH ，则PH⊥BC 又AH⊥BC，故
∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角，在Rt△ABH 中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=2
a
, 在Rt△PHA 中，
tan∠PHA=PA/AH=22a
a =，则∠PHA =arctan2.
3解（垂面法）如图 PA⊥平面BD BD⊥AC
BD⊥BC
过BD 作平面BDH⊥PC 于
H PC⊥DH、
BH ∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角，因
12PB·BC=S△PBC=1
2
PC·BH,
则
=DH ， 又
在△BHD
中由余弦定理，得：cos∠BHD＝
)
22
2
222122
BH DH BD BH BD ⎫⎫
+-⎪⎪+-=-
又0＜∠BHD＜π 则
∠BHD=
23
π
，二面角B-PC-D 的大小是
23
π。

4 解（面积法）如图AD PA AD AB AD PBA A PA AB A ⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪=⎭
于, 同时，BC⊥平面BPA 于B ，
故△PBA 是△PCD
在平面PBA 上的射影, 设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为
θ，则cos θ=PBA PCD s S ∆∆=
θ=45°
5解（补形化为定义法）如图 将四棱锥P-ABCD 补形得正方体ABCD-PQMN ，
则PQ ⊥PA 、PD ，于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。

在Rt △PAD
中，PA=AD ，则∠APD=45°。

即平面BAP 与平面PDC 所成二面角的大小
为45°。