广东省2012届高三数学全真文科模拟试卷(2)及答案

广东省2012届高三数学全真文科模拟试卷(2)及答案
广东省2012届高三全真模拟卷数学文科2
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．设集合,,则（）C
A．B．C．D．
2．设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为B
A．B．C．D．
3．已知为虚数单位，且，则的值为（）B
A．4B．C．D．
4.已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（）D
A.B.
C.D.与平面M成等角
5.函数的图象的大致形状是（）.D
6．长方体中，为的中点，，，，则A
A．B．C．D．
7．如果实数满足:，则目标函数的最大值为C
A.2
B.3
C.
D.4
8．函数是（）A
A．最小正周期是π的偶函数B．最小正周期是π的奇函数
C．最小正周期是2π的偶函数D．最小正周期是2π的奇函数
9．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.B
A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时
10．对于任意实数，符号]表示的整数部分，即]是不超过的最大整数，例如2]=2；]=2；]=,这个函数]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么的值为()C
A．21B．76C．264D．642
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11．阅读右下图所示的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果是
12．中，，，，
为中最大角，为上一点，，
则
12．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到
下面的数据表：
晚上白天
雄性
雌性
从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99% 参考公式：，其中
14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则______
15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程是
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函的部分图象如图所示：
(1)求的值;
(2)设，当时，求函数的值域。

解：(1)由图象知：，则：，……………2分
由得：，即：，…………………4分
∵∴。

………………………………………6分
(2)由(1)知：，……………………………7分
∴
，………………………………………10分
当时，，则，
∴的值域为。

………………………………………………12分
17．(本小题满分12分)
已知，，
(1)若，求事件A：的概率；
(2)求的概率。

解：(1)以表示的取值组合，则由列举法知：满足，且的所有不同组合共有：种；…………………………2分
其中事件A：包含其中的，共9种；…………………………………………………………………………4分则：。

…………………………………………………………5分
(2)设，则；……………………6分
设事件，则B表示的区域为图中阴影部分；………………………………………8分
由得：，即；……………………………9分
由：令得：；令得：；
∴；……………………………11分
∴。

……………………………12分。

18．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点、，已知，的垂直平分线交于，当点为动点时，点的轨迹图形设为．
（1）求的标准方程；
（2）点为上一动点，点为坐标原点，曲线的右焦点为，求的最小值．解：（Ⅰ）．设
是的垂直平分线，
点的轨迹图形是为焦点的椭圆（3分）
其中，，
，（4分）
点的轨迹图形：（6分）
（Ⅱ）解法一：由题设知，
在上
设，（8分）
则
（9分）
（10分）
（12分）
，当时，的最小值为2．（14分）
解法二：设，（7分）
则，（8分）
（9分）
（10分）
点满足，，（11分）
=（12分）
，当时，的最小值为2．（14分）
19．（本小题满分14分）如图（1），是直径的圆上一点，为圆O的切线，为切点，为等边三角形，连接交于，以为折痕将翻折到图（2）所示的位置，点P为平面ABC外的点．
（1）求证：异面直线和互相垂直；
（2）若为上一点，且，，求三棱锥的体积．
（1）证明：等边三角形中，为的切线，为切点，
且为中点（2分）
以为折痕将翻折到图（２）的位置时，
仍有，
平面（4分）
（5分）
（2）解：，
图（1）中，为的直径，为的切线，为切点，
中，，
，（8分）
，
平面（10分）
三棱锥的体积
（12分）
为上一点，且，
三棱锥的体积
（14分）
20．（本小题满分14分）
设数列{an}为前n项和为Sn，，数列{Sn+2}是以2为公比的等比数列．
(1)求；
(2)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：125＜Tn+1Tn≤113
解：(1)由题意得：，，(1分)
已知数列{Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列
所以有：，(4分)
当时，，又(6分)
所以：(7分)
(２)由(１)知:，
∴数列{cn}为22，23，25，26，28，29，……，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；(8分)
∴当n=2k-1(k∈N*)时，
Tn=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k-2)
=(22+25+…+23k-1)+(23+26+…+23k-3)
=4(1-8k)1-8+=57×8k-127，(11分)
Tn+1=Tn+cn+1=57×8k-127+23k=127×8k-127，(10分)
Tn+1Tn=12×8k-125×8k-12=125+845(5×8k-12)，
∵5×8k-12≥28，∴125＜Tn+1Tn≤3。

(11分)
∴当n=2k(k∈N*)时，
Tn=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)
=(22+25+…+23k-1)+(23+26+…+23k)
=4(1-8k)1-8+8(1-8k)1-8=127×8k-127，(12分)
Tn+1=Tn+cn+1=127×8k-127+23k+2=407×8k-127，(13分)
∴Tn+1Tn=40×8k-1212×8k-12=103+73(8k-1)，∵8k-1≥7，∴103＜Tn+1Tn ＜113，
∴125＜Tn+1Tn≤113。

(14分)
21．（本小题满分14分）
函数，
（1）当时，求的单调区间；
（2），当，时，恒有解，求的取值范围．
解：（1）的定义域为，（2分）
（3分）
当时，即，则在和上单增，在上单减（6分）
（2）由（1）知，，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以当时得到最小值为（8分）
时，恒有解，需在时有解（9分）即有解，
令，，（10分）
在上单增（11分）
需，即或（13分）
的范围是（14分）。