2017-2018学年高中数学第三章直线与方程章末综合测评2（含解析）

2017-2018学年高中数学第三章直线与方程章末综合测评2
（含解析）
(三) 直线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
【解析】直线的斜率k ＝3，倾斜角为60°. 【答案】 B
2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ? ??
12，m 三点共线，则m 的值为( ) A.12 B ．－12
C ．－2
D ．2
【解析】由－2－33－－＝m ＋212－3，得m ＝1
2
.
【答案】 A
3．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】 Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB <0，BC <0，得－A B >0，－C B
>0，故直线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
【答案】 D
4．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是
( )
B.113
C.126
D.526
【解析】 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d ＝|6－5|
102＋242
＝1
26
. 【答案】 C
5．直线l 1：(3－a )x ＋(2a －1)y ＋7＝0与直线l 2：(2a ＋1)x ＋(a ＋5)y －6＝0互相垂直，
则a 的值是( )
A ．－13
B.17
C.12
D.15
【解析】因为l 1⊥l 2，所以(3－a )(2a ＋1)＋(2a －1)(a ＋5)＝0，解得a ＝1
7.
【答案】 B
6．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1)
D ．(2,1)
【解析】由kx －y ＋1－3k ＝0，得k (x －3)－(y －1)＝0，由{ x ＝3，y ＝1，即过定点(3,1)．【答案】 C
7．已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0
D ．x －y ＋1＝0
【解析】 k AB ＝4－3
＝－1，故直线l 的斜率为1，
AB 的中点为? ??
52，72，
故l 的方程为y －72＝x －5
2，
即x －y ＋1＝0. 【答案】 D
8．已知直线l 过点(1,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为( )
A ．x ＋2y －5＝0
B ．x ＋2y ＋5＝0
C ．2x －y ＝0或x ＋2y －5＝0
D ．2x －y ＝0或x －2y ＋3＝0
【解析】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，把点(1,2)代入方程，得2＝k ，即k ＝2，所以直线的方程为2x －y ＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为
x 2b ＋y b ＝1，把点(1,2)代入方程，得12b ＋2b ＝1，即b ＝5
2
，所以直线的方程为x ＋2y －5＝0.故选C.
【答案】 C
9．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2]
B ．[－1,1] C.
－12，12 D ．[0,2]
【解析】直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2.所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．
【答案】 A
10．经过点(2,1)的直线l 到A (1,1)、B (3,5)两点的距离相等，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＝2
C ．2x －y －3＝0或x ＝2
D ．以上都不对
【解析】满足条件的直线l 有两种情况：①过线段AB 的中点；②与直线AB 平行．由A (1,1)，B (3,5)可知线段AB 的中点坐标为(2,3)，所以直线x ＝2满足条件．由题意知k AB ＝5－13－1＝2.
所以直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0，综上可知，直线l 的方程为x ＝2或2x －y －3＝0，故选C. 【答案】 C 11．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)
D ．(0,2)
【解析】设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知
k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，
∴
3－43－0×y －3x －3＝－1，x －2＋y －
2
＝－
2
＋－
2
，
解之，得
x ＝2，y ＝0，
或
x ＝4，
y ＝6.
【答案】 A
12．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )
A ．3x ＋y －6＝0
B ．x ＋3y －10＝0
C ．3x －y ＝0
D ．x －3y ＋8＝0
【解析】设直线方程为x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)，
由题意有
ab ＝12，1a ＋3
b
＝1，∴
a ＝2，
b ＝6.
∴x 2＋y
6
＝1.
化为一般式为3x ＋y －6＝0. 【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________. 【解析】令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，∴a ＝8
3.
【答案】 8
3
14．已知点(m,3)到直线x ＋y －4＝0的距离等于2，则m 的值为________. 【解析】由点到直线的距离得|m ＋3－4|
2＝ 2.
解得m ＝－1，或m ＝3. 【答案】－1或3
15．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．
【解析】由方程组?
3x ＋4y －2＝0，
2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)，因为所求直线垂直于直线
3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－2
3(x ＋2)，
即2x ＋3y －2＝0.
【答案】 2x ＋3y －2＝0
16．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点
M 到原点的距离的最小值为__________．
【解析】依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得
|m ＋7|2＝|m ＋5|
2
|m ＋7|＝|m ＋5|?m
＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为
|－6|
2＝3 2.
【答案】 3 2
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：x ＋m 2
y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
【解】当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 2
3m ，得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝6
2m ，得m ＝3.
故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．18．(本小题满分12分)(1)已知直线y ＝3
3
x －1的倾斜角为α，另一直线l 的倾斜角β＝2α，且过点M (2，－1)，求l 的方程．
(2)已知直线l 过点P (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．【解】(1)∵已知直线的斜率为
33，即tan α＝3
3
. ∴α＝30°.∴直线l 的斜率k ＝tan 2α＝tan 60°＝ 3.
又l 过点M (2，－1)，∴l 的方程为y －(－1)＝3(x －2)，即3x －y －23－1＝0. (2)由题意知，直线l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l 的斜率为k ，则k ≠0，则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3
k
－2.
于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为 12?
k ＋
－3k －2＝4，即(2k ＋3)? ??
3k ＋2＝±8，
解得k ＝－12或k ＝－9 2
.。