辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学 1.2极坐标系教学案

1.2极坐标系
【教学目标】
1、理解极坐标的概念；
2、能在极坐标系中刻画极坐标的位置，体会极坐标与平面直角坐标刻画点位置的区别。

3．理解极坐标和直角坐标的互化；会实现极坐标和直角坐标之间的互化
【教学重点】
理解极坐标的概念，理解极坐标和直角坐标的互化。

【教学难点】
能在极坐标中找到点的位置，互化公式的掌握。

一、课前预习
1.极坐标系
①极坐标系的建立过程：
在平面内取一个定点O为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位及
正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个极坐标系。

②极坐标系内一点的极坐标的规定：
对于极坐标系内任意一点M，用
ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,)
ρθ就叫做M的.
注意：(1)由极径的意义可知
ρ≥；当极角θ的取值范围是时平面上的点(除去极点)就
与极坐标(,)
ρθ建立的关系.我们约定，极点的极坐标是:极径，极角为.
负极径的规定：在极坐标系中，极径
ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角，
当
ρ<时，点(,)
Mρθ位于极角终边的反向延长线上，且.(,)
Mρθ也可以
表示为-------------------.
(4)在通常情况下总认为
ρ≥，只有在事先说明的条件下才允许取0
ρ<
2.极坐标和直角坐标互化公式
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角
坐标与极坐标分别为
)
,
(y
x和)
,
(θ
ρ，则由三角函数的定义可以得到两组公式：
（1）（2）
二、课上学习
例1、 写出下图中各点的极坐标
A （ ），
B （ ），
C （ ），
D （ ），
E （ ）
F （ ），
G （ ）
思考：（1）平面上一点的极坐标是否唯一？
（2）若不唯一，那有多少种表示方法？
坐标不唯一是由谁引起的？
（4）同一点的极坐标是否可以写出统一的表达式？
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P （5，45π），Q )
4,1(π，求线段PQ 的长度；
（2）已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=3π
，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的位置。

例3、 已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。

P 是点Q 关于极点O 的对称点；
P 是点Q 关于直线2πθ=
的对称点；
P 是点Q 关于极轴的对称
例4将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标；将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标。

若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.
已知A 的极坐标),35,
4(π求它的直角坐标,
（2）已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和，求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)
例6、在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A ，求A,B 中点的极坐标. 三．课后练习
1．已知5,3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列所给出的能表示该点的坐标的是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．55,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭
2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )
A 、),(θρ
B 、),(θρ-
C 、),(πθρ+
D 、),(θπρ-
3、设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）
A.(23，π43)
B. (32，π45)
C. (3，π45)
D. (3，π43)
4.点()
3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π
5．点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为（ ）
A ．(2,)3π
B ．(2,)3π-
C ．2(2,)3π
D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈
6.求极坐标系中,与点)6,8(π
-关于极点对称的点的一坐标？ 7.在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是 ),45,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标。

8.把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2)
)4
,3
(
),
4,3(
),
2
,0(
),1,1
(-
-
-
-D
C
B
A
9.在极坐标系中,已知三点
)
6
,3
2(
),
0,2(
),
3
,2(
π
π
P
N
M-
.判断
P
N
M,
,三点是否在一条
直线上.。