闵行区高二第二学期期末考试数学试卷

2015年闵行区高二第二学期期末考试数学试卷
一．填空题
1.抛物线2
4y x =-的准线方程是_____________________.
2.若z C ∈，且(3)1z i +=（i 为虚数单位），则z =_______________________.
3.空间3条直线两两相交且不共点，则这3条直线可以确定平面的个数是___________.
4.若复数22(4)(68)m m m i -+-+()m R ∈为纯虚数，则m =______________.
5.华裔建筑师贝律铭为卢浮宫设计的玻璃金字塔是一个底面边长为30米、高为20米的正四棱锥，则该正四棱锥的侧棱与地面所称的角为___________________（用反三角表示）.
6.若双曲线2
2
1y x k -=的一个焦点是（3,0），则实数k =________________. 7.若复数z 是方程2290x x -+=的一个根，则z 所对应的点到原点的距离是_____________.
8.如果复数z 满足1z z i -++=i 为虚数单位），则z 的最大值为_____________. 9.平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为____________.
10.设P 是椭圆2
214
x y +=上的一个动点，O 为坐标原点，M 是线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是____________________.
11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，将该正方体沿对
角面11BB D D 分割成两块，再将这两块重新拼接成一个不是正方
体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________.
12.已知O 为坐标原点，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，以线段FO 为直径的圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若()0A F A O F O +⋅=，则其两渐近线的方程为_______________________.
13.如图，正三棱锥A BCD -的各条棱长均为1，P 、Q 依次是棱AB 、BC 上的点，且
14AP =，12
BQ =，R 是棱CD 上的动点，过P 、Q 、R 三点的平面截三棱锥的截面为Ω，则下列命题正确的是_________________(写出所有正确命题的编号). ①当102
CR <<
时，Ω为四边形； ②当12CR =时，Ω为等腰梯形； ③当34CR =时，Ω与AD 的交点M 满足12
AM =； ④当1CR =时，BC 垂直于Ω所在平面。

14.若点P 、A 、B 依次是满足112Re 2z z -=-、11z +=、114
z -=的复数z 在复平面上对应的点，则PA PB -的最大值是________________.
二．选择题
15.若(5,1)OA =-，(3,2)OB =，则AB 在复平面上所对应的复数是（ ）
.23A i -+ .23B i - .32C i + .5D i -
16.若方程22
44x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）
A
B
C
D
17.对应互不相同的3条直线l 、m 、n 和两个平面α、β，下列命题中的假命题是（ ）
.A 若,,m l A A m αα⊆⋂=∉，则l 与m 不共面
.B 若,m l 是异面直线，,l m αα且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥
.C 若,,l m αβαβ⊥⊆，则l m ⊥
.D 若,,l m αβαβ，则l m
18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，PE ⊥A 1C ，H 为垂足，且PA=PE ，则点P 的轨迹是（ ）
.A 线段 .B 圆弧 .C 椭圆的一部分 .D 抛物线的一部分
B
D C
三．解答题
19.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距是短轴长的3倍，椭圆上的点到一焦点的最近距
3，求此椭圆的方程.
20.某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）。

现把半径为9cm 的圆形蛋皮分成3个扇形，用一个扇形蛋皮卷成一个冰淇淋圆锥的侧面，如果蛋皮的厚度忽略不计，求该蛋筒冰淇淋的体积（精确到0.013cm ）
21.已知复数cos sin ()z i R ααα=+∈，复数w 是虚数，2
2w w R +∈，且w 在复平面上的对应点在直线y x =上。

（1）求w 的值；（2）求z w -的取值范围.
22.已知三棱锥P ABC -，PA ABC ⊥底面，2PA AB BC ===，直线PC 与平面ABC
所成的角为arctan . （1）求证：BC PAB ⊥平面
（2）设E 为线段PC 中点，求异面直线AE 与BC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（3）设M 是三棱锥P ABC -内的动点（包括边界），满足AM ≤M 所形成的几何体的全面积。

23.设抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线l 交抛物线C 于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且124y y =-.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设抛物线C 的准线m 与x 相交于点D ，过点B 且平行于x 轴的直线与准线m 相交于点E ，求证：直线AE 平分线段FD ；
（3）设FB AF λ=，若[]2,4λ∈，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.。