线性系统理论全PPT课件

17550机电系统状态空间描述的列写示例dtdi上式可表为形如ducxbuax27650连续时间线性系统的状态空间描述动态系统的结构动力学部件输出部件连续时间线性系统的状态空间描述线性时不变系统ducxbuax37750连续时间线性系统的方块图47850人口分布问题状态空间描述的列写示例假设某个国家城市人口为102的乡村人口迁移去城市整个国家的人口的自然增长率为1设k为离散时间变量城市人口迁移乡村而一个单位负控制措施会导致5x1010051005亦可表为57950离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统671050离散系统状态空间描述的特点
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的 线性函数,该系统称为线性系统
A(t ) X B(t )u X 对于线性系统 Y C (t ) X D(t )u
1/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,12/50
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元素为x、u的非线性函数,该系 统称为非线性系统 。 非线性系统可以用泰勒展 开方法化为线性系统。
线性系统理论
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1、线性系统理论的研究对象 • 系统是系统理论研究的对象； • 系统是由相互关联和相互作用的若干组 成部分按一定规律组合而成的具有特定 功能的整体； • 系统模型，是对系统或其简化形式的一 种描述；
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• 动态系统---动力学系统 • 动力学系统--可用一组微分方程或差分方程 来描述； • 系统的线性性和非线性性; • 当数学方程具有线性属性时，相应的系统
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• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
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• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
以上方程可表为形如
AX Bu X Y CX Du
1/7,5/50
机电系统状态空间描述的列写示例
di R a i a La a c e e dt d c M i a f J dt ce Ra a L ia 1 i L a a La e f cM 0 J J ia 0 1
(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关 系的数学表达式： y(t ) Cx(t ) Du(t ) (7)状态空间表达式： (5) + (6).
状态变量的特点：
(1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实 际上存在无穷多种方案. (3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异 变换.
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离散时间线性系统的状态空间描述
状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统
X (k 1) Gx(k ) Hu(k ) Y (k ) Cx(k ) Du(k )
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )
该系统称为时不变系统
f f ( x, u, t ) 若向量f,g显含时间变量t,即 g g ( x, u, t )
该系统称为时变系统
连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统. 确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入 和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性, 或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
x1 (k 1) 1.01 (1 0.04) x1 (k ) 1.01 0.02x2 (k ) 1.01 5 104 u(k ) x2 (k 1) 1.01 (1 0.02) x2 (k ) 1.01 0.04x1 (k ) 1.01 5 104 u(k )
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u1
yq
2.1 基本概念
2.1.1 定义
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
(1)状态： 系统过去、现在和将来的状况 能够完全表征系统运动状态的 (2)状态变量： 最小一组变量：
0
a. x t t t x(t0 ) 表示系统 t
b. 当
t t0
时刻的状态
0
时的输入 u t 给定，且上述初始 状态确定时，状态变量能完全确定系统 在 t t 0 时的行为
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
1/4,1/50
(1)系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n1) b1u (1) b0u
xR , u R , y R
n
p
q
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式 （动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
R1
C
iC
电路系统状态空间描述的列写示例
复频率域描述即传递函数描述
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
iL
Uc
R2 U R2
R1 1 ( R1 R2 )C uc ( R1 R2 )C e R1 R2 R i 2 L L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) R1 R2 uc R2 i e R1 R2 L R1 R2
Ra
i f const
e(t )
J, F
La
上式可表为形如
AX Bu X Y CX Du
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连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1
u2
x1 x2
y1 y2
输出部件

up
动力学部件

xn

yq
连续时间线性系统的状态空间描述
AX Bu X 线性时不变系统 Y CX Du
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
为线性系统；
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• 线性系统满足叠加性； • 线性系统可以用数学变换（付里叶变换， 拉普拉斯变换）和线性代数; • 线性系统的分类
定常系统：参数不随时间变化
时变系统；参数是时间t 的函数
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2、线性系统理论的主要任务
主要研究线性系统状态的运动规律和改变
这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示
系统结构、参数、行为和性能间的确定的和 定量的关系。 分析问题：研究系统运动规律 综合问题：研究改变运动规律的可能性和方法
写成矩阵形式
x1 ( k 1) 0.9696 0.0202 x1 ( k ) 5.05 104 u (k ) x ( k 1) 0.0404 0.9898 x (k ) 4 2 2 5.05 10 x (k ) y ( k ) 1 1 1 x2 ( k ) 亦可表为 x ( k 1) Gx( k ) Hu( k ) y ( k ) Cx ( k ) Du( k )
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)

x(k )
单位延迟

C (k )
u (k )

y (k )
G (k )
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2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
A(t ) X B(t )u X 线性时变系统 Y C (t ) X D(t )u
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连续时间线性系统的方块图
D(t )
U
B(t )
X


A(t )
X
C (t )
Y
4/7,8/50
人口分布问题状态空间描述的列写示例 假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡 村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% 设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年 所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口 迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全 国人口数
离散时间线性时变系统
X (k 1) G(k ) x(k ) H (k )u (k ) Y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
6/7,10/50
离散系统状态空间描述的特点：
一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。） 二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都 呈现为线性关系。） 三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。
大系统理论
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线性系统理论的主要学派
（1）线性系统的状态空间法
（2）线性系统的几何理论
（3）线性系统的代数理论
（4）多变量频域方法
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第一部分: 线性系统时间域理论 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直 接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论 和方法。
第二章 线性系统的状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的 n 个独立状态变量
x1 t , L, xn t 作为分量的向量，即 x t x1 t , L, xn t .
T
(4) 状态空间: 以状态变量 x1 t , 标轴构成的 n 维空间。
, x t 为坐
n
(5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系 的、一阶微分方程（组）：x(t ) Ax(t ) Bu(t )
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量 . (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 2.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
x t A t x t B t u t
y t C t x t D t u t
适用于常系数系统
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3、线性系统理论的发展过程 • 20世纪50年代：古典线性系统理论已发展 成熟，传递函数，频率响应法
• 不足：难于处理多输入—多输出系统
• 20世纪60年代：现代系统与控制理论
状态空间法
• 解决：多输入—多输出系统
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系统与控制理论
线性系统理论
最优控制理论 最优估计理论 随机控制理论 非线性系统理论

e(t )
L
duc diL u R C L 0 2 c dt dt duc di R1iL R1C L L e dt dt
1 c ( R1 R2 )C u i R1 L L( R1 R2 ) R2 u R2 R1 R2