六年级奥数优胜教育第10讲：进制与进位含答案

第十讲 进制与进位
例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________； ② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）； ③ 4710(3021)(605)()+= ；
④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________； ⑤ 若(1030)140n =，则n =________．
例2:在几进制中有413100⨯=？
例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
例5:在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?
例6:试求(22006-1)除以992的余数是多少?
例7:已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？
A
1.①852567(((=== ） ） ）； ②在八进制中，1234456322--=________；
③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．
2.在几进制中有12512516324⨯=？
3.二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
4.算式153********⨯=是几进制数的乘法？
5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

B
6.某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?
7.在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？
8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄．
9.N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．
10.计算2003(31)-除以26的余数．
C
11.计算2003(21)-除以7的余数．
12.在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？
13.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数有多少种？
14.求证：18
21-能被7整除.
15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?
1.计算下列结果（仍用二进制表示）：
（1）()()221101101⨯（2）()()22100111110⨯
2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:
(1)()10732 (2)()101869 (3)()1097655
3.请你制造一个7进制的乘法表。

4.求证15
14
13
12
11
10
9
8
2222222221-+-+-+-+-能被5整除。

5.如果n 21-能被15整除，自然数n 取那些值？
1.计算下列结果（仍然用2进制表示）：
（1）()()22101111+ （2）()()2211111111011+ （3）()()2211011101-
2.计算下列结果（仍用二进制表示）：
（1）()()22110110110÷ （2）()()22101101111÷
3.计算（结果仍用二进制）：
（1）()()()2221101111111+- （2）()()()22210110111101+⨯
（3）()()()()2222111010101000011011⎡⎤ ++÷⎣⎦
4.把下列二进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，并且在十进制下算出这些数的大小：
(1)()2101 (2)()21000 (3)()21111 (4)()211011
5.将下列十进制数化为二进制数：
（1）()1045 （2）()10122
6.将下列各数化为十进制的数：
（1）()31201 （2）()5432 （3）()7126
7.将()101586分别化成5进制和12进制数
8.计算：
（1）()()()8410237332+= (2)()()()212710115B ⨯=
第十讲进制与进位
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

1.掌握进制之间的转换方法。

2.能用进制互化的方法解题。

例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________； ② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）； ③ 4710(3021)(605)()+= ；
④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________； ⑤ 若(1030)140n =，则n =________．
分析与解：① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： 2221010101010(101)(1011)(11011)(5)(11)(27)(28)(11100)⨯-=⨯-==； ② 可转化成十进制来计算： 222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是2，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； ③ 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜： 32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(；
④ 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方
法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ． 原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+ 8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；
⑤若(1030)140n =，则33140n n +=，经试验可得5n =．
例2:在几进制中有413100⨯=？
分析与解：利用尾数分析来解决这个问题：
由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位． 所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个． 但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制． 另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以，n 只能是6．
例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？
分析与解：根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。

例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
分析与解：因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4，23=8，24=16，在砝码盘上放1克砝码认为是二进位制数第一位(从右数)是1，放2克砝码认为是二进位制数第二位是1，……，放16克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23＋22＋21＋20=(31)10，这就是说1至31的每个整数(克)均能称出。

所以共可以称出31种不同重量的物体。

例5:在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少? 分析与解： (abc)6 =a ×62＋b ×6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c ×92+b ×9+a=81c+9b+a ；所以36a+6b+c=81c+9b+a ；于是35a=3b+80c ；因为35a 是5的倍数，80c 也是5的倍数．所以3b 也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．
①当b=0，则35a=80c ；则7a=16c ；(7，16)=1，并且a 、c ≠0，所以a=16，c=7。

但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．
②当b=5，则35a=3×5+80c ；则7a=3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0。

所以c=2或者2+7k(k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+80×2，a=5。

所以(abc)6 =(552)6 =5×62+5×6+2=212。

这个三位数在十进制中为212。

例6:试求(22006-1)除以992的余数是多少?
分析与解：我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幂来表达为2进制：
(992)10=(1111100000)2，(22006-1)2=20062111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个1我们知道在2进制中502
111...10000...0⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上一定
能整除 (1111100000)2，于是我们注意到502
111...10000...0⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭5k 个1个或以上，
所以2111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2006个1=602111...1000...0111111⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭2000个1个 因为602111...1000...0⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭2000个1个能整除(1111100000)2，
所以余数为(111111)2=25+24+23+22+21+1=63，所以原式的余数为63。

例7:已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？
分析与解：与十进制相类似，有：288(12345654321)(111111)=．
根据8进制的弃7法，8(111111)被7除的余数等于其各位数字之和，为6，而2636=除以7的余数为1，所以8(111111)的平方被7除余1，即8(12345654321)除以7的余数为1； 另外，89(11)=，显然8(111111)能被8(11)整除，所以其平方也能被8(11)整除，即
8(12345654321)除以9的余数为0．
因此两个余数之和为101+=．
A
1.①852567(((=== ） ） ）； ②在八进制中，1234456322--=________；
③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________． 分析与解：①本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=；
③原式14438(31235766)(712011770)1443810000200004438=++-+=+-=．
2.在几进制中有12512516324⨯=？
分析与解：注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．
再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位． 所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．
3.二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
从后往前取三合一进行求解，可以得知(10101011110011010101101)2=(25363255)8。

4.算式153********⨯=是几进制数的乘法？ 分析与解：注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2． 因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．
5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

分析与解：在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A 代表10、B 代表11、C 代表12、D 代表13……。

根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B 。

B
6.某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?
分析与解：由于32=9，所以由三进制化为9进制需要取二合一。

从后两个两个的取，取至最前边为12，用位值原理将其化为1×31+2×30=5，所以化为9进制数后第一位为5.
7.在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ 分析与解：首先还原为十进制：
27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++． 于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．
因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8． 但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =． 所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．
所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =； 所以77()(503)5493248abc ==⨯+=． 于是，这个三位数在十进制中为248．
8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄．
分析与解：①设这个人为a 岁，得(10)(3)0a a =，又10(3)(10)03033a a a =⨯+⨯=，解得0a =，不合题意，所以这个人的年龄不可能是一位数． ②设这个人是ab 岁，由题意得：(10)(3)0ab ab =．
因为210(10)(3)10,0330393ab a b ab a b a b =+=⨯+⨯+⨯=+，所以1093a b a b +=+即2a b =．又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2a =，1b =．所以，这个人为21岁． ③设这个人为abc 岁，由题意有，(10)(3)0abc abc =，因为(10)10010a b c a
b c =++，32(3)03332793abc a b c a b c =⨯+⨯+⨯=++，所以1001027a b c a b c
+
+=++．即732a b c +=．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立．所以这个人的年龄不可能是三位数．
综上可知这个人的年龄是21岁．
9.N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．
分析与解：设b 是所求的最小正整数，()
24777b b x x N +++=∈，因为质数7能整除2777b b ++，
所以也能整除x ，不妨设7x m =，m 是大于0的自然数。

则：()4
27777b b m ++=，化简得：23417b b m ++=，易知，b 的值随m 的增大而增大，当m=1时，b=18。

10.计算2003(31)-除以26的余数．
分析与解：题中有3的次幂，令人联想到将题中的数转化成3进制下的数再进行计算． 20033332003200331(1000...0)(1)(2222)-=⨯-=个2
个0
，而326(222)=，
所以，2003332003(31)26(222
2)(222)-÷=÷个2
．
由于3(222)整除3(222)，200336672÷=，所以332003(222
2)(222)÷个2
余3(22)8=．
所以2003(31)-除以26的余数为8．
C
11.计算2003(21)-除以7的余数．
分析与解：由于328=除以7余1，而2033672÷=
，所以200321-除以7的余数为2213-=． 本题也可以转化为2进制进行计算：2003220031
21(1111)-=个，27(111)=，
所以20032220031
(21)7(1111)(111)-÷=÷个．
而200336672÷=……，所以2220031
(1111)(111)÷个余2(11)3=．
所以2003(21)-除以7的余数为3．
12.在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？ 分析与解：类似于十进制中的“弃九法”，8进制中也有“弃7法”，也就是说8进制中一个数除以7的余数等于这个数的各位数字之和除以7的余数．
本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而68除以7的余数为5，所以这个数除以7的余数也为5．
13.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数有多少种？ 分析与解：
()()()()()22222
112104100810001610000=====
很显然的这些数组合可以构成()21到()211111之间的任何一个数，化为十进制即1到31之间的数都可以构成。

所以顾客可以买的斤数有31种。

14.求证：18
21-能被7整除. 分析与解：因为18
18118022
2110001111⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭个个 而()27111=
很容易看出来：(
)
()()18
221812
21711
11111001001001001001⎛
⎫
-÷=÷= ⎪⎝⎭个 所以18
21-能被7整除
15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?
分析与解：设这个数的六进制为, 则这个数的九进制为。

那么有 即 35803A C B -=
,,A B C 只能取0, 1, 2, 3, 4, 5. 等式左边能被5整除. 经过试验，只可能是5,5,2A B C ===,
所以这个数六进制是552,九进制是552，化成十进制是212
1.计算下列结果（仍用二进制表示）：
（1）()()221101101⨯（2）()()22100111110⨯ 分析与解：二进制中1×1=1，1×0=0，0×0=0
ABC CBA 2
2
6699A B C C B A ⨯+⨯+=⨯+⨯
+
（1）
11011101 ⨯ 101 1101
1000001
因此()()()22211011011000001⨯=
（2）
1110111 100 ⨯ 110 10 100111
11101010
因此()()()22210011111011101010⨯=
2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:
(1)()10732 (2)()101869 (3)()1097655 分析与解：变换形式如下：
（1）()2
1
107327103102=⨯+⨯+
（2）()3
2
1
1018691108106109=⨯+⨯+⨯+
（3）()4
3
2
1
10976559107106105105=⨯+⨯+⨯+⨯+
3.请你制造一个7进制的乘法表。

分析:大家都能熟练地背诵十进制的乘法表，那么尝试构造形式相同的7进制乘法表。

答案:7进制乘法表：
11 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 2 4 6 11 13 153 12 15 21 244 22 26 335 34 426 51
4.求证15
14
13
12
11
10
9
8
2222222221-+-+-+-+-能被5整除。

分析与解：我们适当变换原式的形式：
()()
()()()151413121110981513119141210
10
10
22
2
2222222221
2222222211010101010101010101010101010101101010101010101 -+-+-+-+-=+++++-+++=-=
而()25101=，很显然()2101010101010101能被()2101整除， 所以15
14
13
12
11
10
9
8
2222222221-+-+-+-+-能被5整除。

5.如果n
21-能被15整除，自然数n 取那些值？ 分析:这与上一题很类似，用同样的方法分析 答案:因为1022
21100
01111n
⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭n 个n 个 而()2151111=，如果要n
21-能被15整除，即12
111⎛
⎫
⎪⎝⎭n 个能被()21111整除 所以n 应该是4的倍数，n=4,8,12,……
1.计算下列结果（仍然用2进制表示）：
（1）()()22101111+ （2）()()2211111111011+ （3）()()2211011101-
答案：
和十进制一样列竖式计算，但注意要“逢二进一”、“借一当二”
（1）
101111 + 1100
因此()()()2221011111100+= （2）
11111111011 + 1011010
因此()()()222111111110111011010+=
（3）
1101110 - 111
因此()()()22211011101111-=
2.计算下列结果（仍用二进制表示）：
（1）()()22110110110÷ （2）()()22101101111÷ 答案：
（1）
1101101001110110
110 110 0
因此()()()2221101101101001÷=
（2）
111110
101101 111 1000 111 11
因此()()()()222
210110*********÷=
3.计算（结果仍用二进制）：
（1）()()()2221101111111+- （2）()()()22210110111101+⨯
（3）()()()()2222111010101000011011⎡⎤ ++÷⎣⎦ 答案：
按照混合运算顺序，并用上述三题的竖式计算方式求解：
（1）
()()()()()()222222
1101111111101011111110 +-=-=
（2）
()()()()()()222222
101101111011011000111110010100+⨯=+= （3）
()()()()()()()2222
222
111010101000011011110001111011⎡⎤ ++÷⎣⎦=+=
4.把下列二进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，并且在十进制下算出这些数的大小：
(1)()2101 (2)()21000 (3)()21111 (4)()211011 答案：
变换形式求解如下：
（1）()2
1
2101120215=⨯+⨯+=
（2）()3
21000128=⨯=
（3）()3
2
21111121212115=⨯+⨯+⨯+=
（4）()4
3
2
1
21101112120212127=⨯+⨯+⨯+⨯+=
5.将下列十进制数化为二进制数：
（1）()1045 （2）()10122
答案：
用十进制整数不断除以2，并记下余数，直到商为0，最后把余数反向读出即可。

（1）
145022152 111
0 1
因此()()10245101101= （2）
061157 122 1 0 30 1 1 13
1
因此()()1021221111010=
6.将下列各数化为十进制的数：
（1）()31201 （2）()5432 （3）()7126 答案：
（1）()()3
2
31012011323146=⨯+⨯+=
（2）()()2
1
51043245352117=⨯+⨯+=
（3）()()2
1
7101261727669=⨯+⨯+=
7.将()101586分别化成5进制和12进制数
答案：
（1）化为5进制数时，和十进制化二进制类似，用十进制整数不断除以5，并记下余数，
直到商为0，最后把余数反向读出即可：
1 1586
2 317
3 63 2 12
2
因此()()105158622321=
（2）化为12进制数时， 用十进制整数不断除以12，并记下余数，直到商为0，最后把余
数反向读出即可：
213211
1586 0
这里注意到，12进制的数码可以有对应于十进制数值的10，11，我们分别记为A,B ，那么最终结果可以表示为：
()()1012158602B =
8.计算：
（1）()()()8410237332+= (2)()()()212710115B ⨯= 答案：
这里涉及到几种进位制的转化，我们可以先把左式用10进制算出结果，然后再转化为右边
的进位制。

[答案]依据分析，并按照上面几题所介绍的进位制转化方法：
（1）()()()()()8410101023733215962221+=+= （2）()()()()()()21210101071011511717812164B ⨯=⨯==
课程顾问签字： 教学主管签字：。