高三复习四 函数奇偶性、周期性

2014届理科数学高考复习教学案( 函数的奇偶性、周期性 )

1、已知bx ax x f +=2

)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数，那么b a +的值是 ( )

A ．－13 B.13 C.12 D ．－12 2、下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为 （ ）

A ．1y x =+

B ．2y x =-

C ．1y x =

D ．||y x x =

3、函数15,0(),51,0

x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩则该函数为 （ ） A ．单调递增函数,奇函数

B ．单调递增函数,偶函数

C ．单调递减函数,奇函数

D ．单调递减函数,偶函数 4、若函数))(12()(a x x x x f -+=

为奇函数，则a ＝ ( ) A.12 B.23 C.34

D ．1 5、函数3

34)(2

-+-=x x x f 是 （奇、偶性）函数。 6、已知)(x f 是偶函数，当0<x 时，x x x f +=2)(，则当0>x 时，=)(x f

7、设偶函数)(x f 在),0(+∞上为减函数，且0)2(=f ，则不等式0)()(>-+x

x f x f 的解集为( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2,0)∪(0,2)

8.x x x f sin 2)(+=为定义在)1,1(-上的函数，则不等式0)21()1(<-+-a f a f 的解集是

9、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=对任意x R ∈成立,当(1,0)x ∈-时()2x f x =,则2(log 5)f =_______.

10.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有)()2(x f x f -=+。当]2,0[∈x 时，22)(x x x f -=(1)求证：)(x f 是周期函数； (2)当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式．

11、已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[+∞上是增函数，如果)2()1(-≤+x f ax f 在]1,2

1[∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围．

2014届理科数学高考复习教学案函数的奇偶性、周期性教师版

（1）函数的奇偶性、周期性含义 （2）函数性质的应用

【基础训练】

1、已知bx ax x f +=2

)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数，那么b a +的值是 ( )

A ．－13 B.13 C.12 D ．－12 解析：选

B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13

.又f (－x )＝f (x ) ∴b ＝0，∴a ＋b ＝13

. 2、下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为 （ ）

A ．1y x =+

B ．2y x =-

C ．1y x =

D ．||y x x =

【答案】D

3、函数15,0(),51,0x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩则该函数为 （ ） A ．单调递增函数,奇函数

B ．单调递增函数,偶函数

C ．单调递减函数,奇函数

D ．单调递减函数,偶函数

【答案】A 4、若函数))(12()(a x x x x f -+=

为奇函数，则a ＝ ( ) A.12 B.23 C.34

D ．1 解析：选A ∵f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )

，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12

. 5、函数3

34)(2

-+-=x x x f 是 （奇、偶性）函数。 ∵由⎩⎪⎨⎪⎧

4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3

＝4－x 2

x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 6.已知)(x f 是偶函数，当0<x 时，x x x f +=2)(，则当0>x 时，=)(x f 解析：x >0，－x <0，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故x >0时，f (x )＝x 2－x .答案：x 2－x

7、设偶函数)(x f 在),0(+∞上为减函数，且0)2(=f ，则不等式

0)()(>-+x x f x f 的解集为( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－2,0)∪(0,2)

∵f (x )为偶函数，∴f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x >0.∴xf (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧

x <0，f (x )<0. 又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．

8.x x x f sin 2)(+=为定义在)1,1(-上的函数，则不等式0)21()1(<-+-a f a f 的解集是

解析 f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (x )为奇函数．于是原不等式为f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1<1－a <1，－1<2a －1<1，

1－a <2a －1.解得23

<a <1 9、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足(2)()f x f x +=对任意x R ∈成立,当(1,0)x ∈-时

()2x f x =,则2(log 5)f =_______.【答案】45

- 10设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有)()2(x f x f -=+。当]2,0[∈x 时，22)(x x x f -=

(1)求证：)(x f 是周期函数； (2)当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式．

解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．

∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，

∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，

∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．

11、已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[+∞上是增函数，如果)2()1(-≤+x f ax f 在]1,21[∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围．

解：由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f (ax ＋1)≤f (x －2)，则|ax

＋1|≤|x －2|，又x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，故|x －2|＝2－x ，

即x －2≤ax ＋1≤2－x .故x －3≤ax ≤1－x,1－3x ≤a ≤1x

－1，在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立． 由于⎝⎛⎭⎫1x －1min ＝0，⎝⎛⎭⎫1－3x max ＝－2，故－2≤a ≤0