数学-2015-2016学年高二上学期限时训练一数学试题

2015年秋学期限时训练（一）高二数学2015.10一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡．．．相应的位置．．．．．上。

1.命题“$x ∈R ，使得xsinx －1≤0”的否定是____________．2.抛物线x 2=4y 焦点坐标是________．3.“x>0”是“x≠0”的________条件．4.抛物线y 2＝4x 上的一点A 到焦点的距离为5，则点A 到x 轴的距离是________．5.命题“若a ＞－2，则a ＞－3”及其逆命题、否命题、逆否命题4个命题中，真命题的个数是______．6.存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b<0成立，则b 的取值范围是________．7.以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆C 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，则椭圆C 的方程为________．8.若曲线x 24＋k ＋y 21－k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是______.9.不等式111x <-的解集记为p ，关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ，已知p q 是的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率的值为________．11.设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．12. 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．13. 直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =,A 、B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于A 、B 的一点,直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β,则cos()cos()αβαβ-+=____.二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

15. (14分)已知集合A={}2|230x x x --<，B={}|(1)(1)0x x m x m -+--≥，（1）当0m =时，求A B ⋂;（2）若p ：2230x x --<，q ：(1)(1)0x m x m -+--≥，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16. (14分)设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f(x)＝(a ＋1)x在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．17. (14分)若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=〉〉的焦点为21,F F ，点P 在椭圆C 上，且112,PF F F ⊥12414,.33PF PF ==（1） 求椭圆C 的方程；（2） 若直线l 过圆22420x y x y ++-=的圆心M 交椭圆C 于,A B 两点，且,A B 关于点M 对称，求直线l 的方程.18. (16分)已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从椭圆上一点M(在x轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB →∥OM →. (1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．19. (16分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．20．(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知12,F F 分别是椭圆E:22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=.（1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.高二数学限时训练（一）参考答案1、"x ∈R ，使得xsin x －1>02、（0,1）3、充分而不必要4、45、26、(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 7、x 2＋y22＝18、334,,122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9、(2,1]--10、6311、1512、⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 13、 2 14、3515、解：（1）{}{}2|230|13A x x x x x =--<=-<<，………………………3分{}{}|(1)(1)0|11B x x x x x x =+-≥=≥≤-或……………………………………6分 {}|13A B x x ∴⋂=≤< ……………………………………………………………7分（2） p 为：(1,3)-………………………………………………………………9分 而q 为： (,1][1,)m m -∞-⋃++∞， …………………………………………11分 又q 是p 的必要不充分条件， 即p q ⇒………………………………………12分 所以 11m +≤-或13m -≥ ⇒ 4m ≥或2m ≤-即实数m 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞。

………………………………14分 16、解：对于p ：因为不等式x2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝2－4<0. 解不等式得：－3<a<1. ………………………………3分 对于q ：f (x)＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数，则有a ＋1>1，所以a>0. ……………………………………6分 又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，……………………………………9分 当p 假q 真时有a≥1. ……………………………………12分综上所述，a 的取值范围为(－3,0]∪[1，＋∞)．……………………………14分17、解：⑴椭圆C 的方程为22194x y +=．………7分 ⑵81(2)9y x -=+．……7分 18、解：(1)因为F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b2a，所以k OM ＝－b 2ac ，因为k AB ＝－ba，∥，所以－b 2ac ＝－b a ，所以b ＝c ，故e ＝c a ＝22.…………………………6分(2)设F 1Q ＝r 1，F 2Q ＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，所以r 1＋r 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，且由(1)知a ＝2b ，则cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2…………………………10分＝a 2r 1r 2－1≥a2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1＋r 222－1＝0，……………………………14分 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.…………………16分19、解：⑴由题意知c e a ==，所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．…4分⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，…………7分由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意， 所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<．……………10分 ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． ………………………………16分20、解：（1） 2250AF BF += ，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23.…………………………………4分 （2）存在满足条件的常数λ，47=-l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b =()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.………………6分 设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=- ，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.……10分同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭. 三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.……………………………………12分从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------. 故21407k k -=，从而存在满足条件的常数λ，47=-l .…………………………16分。