乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验
理科数学试题参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
C
D
C
B
D
A
A
C
C
C
A
B
1.选C 。

【解析】∵{}
31A x x =-<<，{|22}B x x =-<<，∴()2,1A B =-，
故选C .
2。

选D .【解析】∵
()()()21222
11112
i i i i i i i i +-===-+--+，其共轭复数是1i --故选D. 3。

选C 。

【解析】依题意，3
cos 5
，则cos(2)
27
cos22cos 1=
25
故选C 。

4。

选B . 【解析】①错，②对,③对，④错。

故选B 。

5.选D .【解析】x x y
e xe ，曲线在1,e 处切线的斜率2k
e ，∵此切线与直线
0ax by c 垂直，∴直线0ax by c 的斜率
12a b
e ，即
1
2a b e。

故选D. 6。

选A 。

【解析】由题意得12cos 0f x
x
，即1
cos 2
x 解得：
()22,3
3
k x k k π
π
ππ-
≤≤+∈Z ，∵()2sin f x x x =-是区间[,]2t t π
+上的减函数，
∴[,]
2
t t π
+
2,23
3
k
k
,∴223
6
k
t k
，故选A .
7.选A 。

【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为r 由题意得2
2
231r r
，解得23
r
∴216
=43
S r 球，故选A . 8。

选C .【解析】执行第一次运算91,119,91r m n ，
执行第二次运算28,91,28r m n ，执行第三次运算7,28,7r
m
n
，执行第四
次运算0r
输出7n .故选C 。

9。

选C .【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有4
4A 种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2,4. 其中
()449308P A ξ===,()14442113C P A ξ⨯===，()2
44
41
24
C P A ξ===，
()4411424
P A ξ==
=, 3111
0124183424
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选C 。

10。

选C 。

【解析】∵1
2
f x
为奇函数，则函数y f x 的图像关于点
1
,02对称，则函数y g x 的图象关于点
1
,12对称，故函数g x 满足12g x g x
.
设1215=16
1616S g
g
g
,倒序后得15
141
=161616
S g g
g
，两式相加后得115214
15
1
2=++=15216
16
1616
16
16
S g
g g
g g
g
， ∴=15S 。

故选C 。

11.选A .【解析】2,0F c ,渐近线方程为,b b
y
x y x a a
直线AB 的方程为:y x
c ，设11,A x y ，22,B x y 依题意知，,A B 分别满足
y
x c
b y
x a
，y x c
b y x a ，得12
,,ac ac x x a
b
a b
∵2F A AB =,∴222F B F A ,
∴
2
ac ac c
c a
b
a
b
，化简得3b a .故选A 。

12。

选B .【解析】∵cos c a A C ，∴sin sin cos C A A
C ，即 sin sin cos A C A A A C ，整理的sin cos 2sin cos A
C
A
A A
C ,则
tan 2tan A
C
A ，∵cos 0c a A C
,∴cos 0A C ，∴A C 为锐角，
故A 为锐角，则tan 0A ，2tan tan tan tan tan 1
tan tan 12tan A C
A A
C A C
A
A
C A
A
12112tan 22tan tan A
A A
,当且仅当12tan tan A A
时等号成立，
∴tan C 的最大值为4
.故选B 。

二、填空题
13。

填1±。

【解析】由题意得：55
2r+15
5=10r
r
r
r r r
m T C x C m x x x
，∴2,1r m .
14.填18.【解析】∵90C ∠=︒,∴0CA CB ⋅=,∵2BM AM =, ∴()
2CM CB CM CA -=-，∴2CM CA CB =-, ∴2
2
22218CM CA
CA CB CA CA
CA
15.填(),0-∞。

【解析】120210
x
x x f x x 若0a b ，由f a f b 得1212a b ，得a b ,与a b <矛盾； 若0a b ，由f a f b 得2121a
b ，得a b ，与a b <矛盾； 若0a b ，由f a f b 得1221a b
，得222a b
，
而2222222a
b
a b
a
b
，∴021
2a
b
,∴0a
b
16.填4。

【解析】依题意知，直线AB 的斜率k 存在，且0k ，1,0,1,0F Q
设其方程为1y
k x 代入24y x 有2222240k x k x k
设1122,,,A x y B x y 则121x x ，又2
114y x ，2224y x ，∴221212
1616y y x x ，
而12,y y 异号，∴124y y ，∵1
12
21,,1,FA x y QB
x y ,又∵QB
AF ，
故1
1
221,1,0x y x y ，即12
1212
1
0x x x x y y ,将121x x ，124y y 代
入，有12
141
0x x ，∴1
2
4x x ，又1
2
1,1AF
x BF
x ,
∴4AF
BF
三、解答题 17．(12分）
（Ⅰ）当=1n 时，11213S a ，得12a ，由23n n
S a n
得1
1
213n
n
S a n ，
两式相减,得1
1
221n
n
n a a a ,即1
21n
n a a ，∴1
1
21n
n
a a ，而
111a ，∴数列1n a 是首项为1，公比为2的等比数列； …6分
（Ⅱ)由(Ⅰ）得1
11122n
n n
a ，即1
21n
n
a ，1
1
212
n
n
na n n n
∴0
12
1
n =121222323
2n
T n n 0121
122232212
3
n n n
121
(1)
12223222
n
n n n 令0121n 1222322n V n 则1
2
3
n
21222322n V n
两式相减得1
2
1
n 1
121222
2=
221212
n n n
n n n V n n n
∴n
221
121n
n
n
V n n
,∴n
(1)1212
n
n n T n …12分
18. (12分）
（Ⅰ）连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC =
又∵60ABC ,∴ABC 是等边三角形， ∵M 是BC 中点， ∴AM BC ，
∵PA 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD , ∴PA BC ⊥,在平面PMA 中AM PA A = ∴BC 平面PMA ∴平面PBC 平面PMA ； …6分
（Ⅱ）设,AC BD 交于点O ，过O 作//OZ AP ,
以点O 为坐标原点,分别以,,AC BD OZ 所在直线为x 轴,y 轴，z 轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形ABCD 是边长为2的菱形,60ABC
得
2AC =,23BD =，6PA
，
于是1,0,0,0,3,0,0,3,0,1,0,6A
B D P
∵N 是P B 的中点， ∴136
,,
222
N
，∵PA 平面ABCD ,
∴平面ABD 的一个法向量为1(0,0,1)n 设平面AND 的法向量2111(,,)x y z n
∵136(,,),(1,3,0)2AN
AD ,由
00
AN AD
22n n 得111111360
2230
x y z x y ,
令11y ，得13x ，12z ,∴2(
3,1,2)n ,∴1212
12
3cos ,3
n
n n n n n ∴二面角N AD B --． …12分 19．（12分）
(Ⅰ）上半年的数据为：43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76,
83,84,87,88,91,93其“中位数"为65，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个。

下半年的数据为：43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,
72,73,77,79,81,88,92其“中位数"为65，优质品有9个,合格品有11个,次品有5
()5510 3.7505050
E X =-⨯+⨯+⨯= …5分
（Ⅱ）由题意得：
()2
2
5061691960.857252515357
K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯
由于0.857 3.841<，所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”。

(12)
分
20.（12分)
（Ⅰ）已知椭圆2
22
2
x 1a
y b 的右焦点为1,0F ，∴22
1a b
又直线7y
x
与椭圆有且仅有一个交点，∴方程组2
22
2
7x 1
a y
x y b 有且仅有一个解,
即方程22222222770b a x a x a a b 有且仅有一个解
∴42
22
22
28470a a b a a b ，即2
2
7a b ，又∵2
2
1a b ，
∴2
2
4,3a
b
，∴椭圆M 的标准方程是
2
2x 143
y ； …5分
（Ⅱ)依题意知椭圆的右焦点F 的坐标为1,0，直线AB 的方程为x
ky
t （其中t 为直
线AB 在x 轴上的截距）设1122,,,A x y B x y
解方程组2
2
x 1
43
x
ky t y ，得关于y 的一元二次方程2
23412
0ky
t
y
即2
2
2346312
0k y tky t 2
22
2
2
=6434312
4834
0tk k t k t ，即2
34k t >-
∵12,y y 是方程的两个解，∴12
2
634
tk y y k ，212
2312
34
t y y k ,
∵11x ky t ，22
x ky t
∴22
2
2
12
12
12
1
2
2
41234
t k x x ky t ky t
k y y kt y y t
k 1
212
2
8234
t x x k y y t
k ，∵FA
FB ，∴11
2
2
1,1,0x y x y
即121
2
12
1
0x x x x y y ，∴
22
222
241283121
03434
34
t k t t k k k
即2
2788
9t t k ，又234k t >-,∴2
2
78834t t t ，即()2
10t ->，∴1t ≠，而20k ≥，∴27880t t ,解得462
t
7
或4
62
t 7
, ∴462
t 7
或4
62
t 7
…12分 21．(12分）
(Ⅰ）∵1ln 1ln ln 1
f
x x x x ，∵0,x >∴111x +>，∴1ln 10x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
, ∴()0f x '>，∴函数f x 在区间()0,+∞上单调递增. …4分 （Ⅱ）⑴当0a ≤时，0a
,
由0x >知11
1x
，11x ，则1
ln 1
0x
，ln(1)
0x ，
∴1g x f x a x 1=ln 1
ln 10x a x a x
∴当a 0时，函数g x 在0+，上无零点；
⑵当0ln2a
时,''
1
g ln 1
x f
x a a x
,
令'g 0x
，得1x
1
a
e
，由0ln2a ，知12a
e ,∴011a
e ，
∴
111a
e
,∴当101a
x
e 时，1ln 10a
x
，∴'g 0x ，
当11
a
x
e
时，1ln 10a
x ,∴'g 0x
∴函数g x 在区间10,e
1
a ，上为增函数，在区间
1+e 1
a ，上为减函数。

∴0
111
max ln 1
ln
01
1
1
a
a
a x g x
g
a e e e
由0x ≥,()ln 1x +≤03x
,3ln 1
3
x x x
成立,
∴1
x ln 1
x
x x
x
，3ln 1
3
x x
x
，0,3x
,
取231=min
,,993
a a a
当0
ln2a 时，01，∴当0x 时
11ln 1ln x
1
ln 1
ln x 1x ax
x ax x
x
333
3333x x a a a x
ax x
ax
a x x x
∴1x ln 1ln 110x a x
x
，即0g x
又g 12ln 222ln 20a
a
由函数零点定理和函数g x 在区间10
e
1
a
，为增函数，且0,1
10e
1
a
，
∴
1x 0,1使得1
0g x ,取2
2
2
24241max
1,
2a a M
a
a ，
由0ln2a ，知1M > ，∴当x M 时,都有21x
a
，2
2
4
2412a a x
∴
1x 1
2a ，
2
x a
，∵0,ln 1x x
x ，
∴x 1111ln 1
ln 1
1
1
11
2
2
x a a x a x x
x x x x
从而
1
f x a x ，∴
g 0x ，∴
2
x 1,
使得2
0g x
∴当0<a<ln2时，函数g x 在0+，
上有两个零点;
⑶当a=ln2时
由⑵知函数g x 在区间0,1上为增函数，在区间1+，
为减函数.
∴max 10g x g ，∴对
x 0，0g x
且当0
1x 时，g 1
0x g ，当1x 时，g 1
0x
g
从而当a=ln2时，函数g x 有且仅有一个零点； ⑷当a>ln2时,2a
e >，11a
e -> 由⑵知函数g x 在区间10,
1a e ⎛
⎤ ⎥-⎝⎦为增函数，在区间1,01a e ⎛⎫
⎪-⎝⎭
为减函数， ()011max ln 011a a x g x g e e >⎛⎫⎛⎫
==< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，∴对()0,x ∀∈+∞，()0g x <。

此时g x 在0+，
上无零点。

综上所述：⑴当a
0时，函数g x 在0+，上无零点； ⑵当0<a<ln2时，函数g x 在0+，上有两个零点； ⑶当a=ln2时，函数g x 在0+，上有一个零点；
⑷当a>ln2时,函数g x 在0+，
上无零点。

…12分
22．（10分) （Ⅰ）连结BC ，∵CD 是圆的切线，AC 是弦∴DCF CBA
∵DF DC ，∴DCF DF C ，∴DFC CBA ， 又∵CH AB ，=90ACB ,∴ACH ∽ABC , ∴ACH CBA ,∴ACH DF C ， ∴//DE CH ； …5分
（Ⅱ）设AD 与半圆交于点M ,连结BM ，∵CD 是圆的切线，∴2
DC DA DM ，
又∵DE AB ,=90AMB ，∴AED ∽AMB ，∴AE AM
DA AB
, ∴AE AB
DA AM ，∴2
222
2DA DF DA DC DA DA DM
DA DA
DM
DA AM
AE AB 。

…10分
23．(10分）
(Ⅰ）圆C 的参数方程为
x
cos
1sin
y （为参数）；
直线l 的参数方程为x 3
t
y
（t 为参数）; …5分 (Ⅱ）圆C 的极坐标方程为
2sin ，直线l 的极坐标方程为sin
3，设M 点的极坐
标为
1
，，N 点的极坐标为2
，依题意有:
1
2sin ，2
sin 3，
∴12
3
=
=2sin
6sin
OM ON 为定值． …10分
24．（10分）
（Ⅰ）1221
3122
1
x
x f x
x x
x
x ，其图像如图所示.
令=0f x 解得12
0,2x x ，∴f 0x 的解集为02x x …5分
（Ⅱ）如图，当1x 时,f 3x ,要使f x f a ,需且只需3f a ，
而()f a =3时，有33a -=，或23a -+=，即1a =-,或5a =，得15a。

…10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。