江苏省南通、扬州、泰州七市2024届高三第三次调研测试数学试题(含答案与解析)_4478

江苏扬州市2024届高三第三次调研测试
数 学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
1,,1,22k
M x x k k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎩⎭Z Z ，则（ ） A. M N ⊆
B. N M ⊆
C. M N =
D. M N ⋂=∅
2. 已知三个单位向量,,a b c
满足=+
a b c ，则向量,b c
的夹角为（ ） A.
6
π
B.
3
π
C.
23
π
D.
56
π 3. 某同学测得连续7天的最低气温分别为1,2,2,,6,2,8m （单位：℃），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则m =（ ） A. 2
B. 3
C. 6
D. 7
4. 已知z 为复数，则“z z =”是“2z z =”的（ ） A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
5. 已知ππcos 3cos 44θθ⎛⎫⎛
⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则sin2θ=（ ）
A.
3
5
B.
45
C. 35
-
D. 45
-
6. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S n a +=，则7a =（ ） A. 65
B. 127
C. 129
D. 255
7. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()21f x +-为奇函数．若()10f =，则
26
1
()k f k ==∑（
）
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8
，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ） A. 12π
B. 27π
C.
64π
9
D.
64π
3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知(
)π24f x x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，则（ ）
A. ()()πf x f x +=
B. ()3π8f x f x ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭ C. ()π0,
,14x f x ⎛⎫
∈> ⎪⎝
⎭
D. ()π0,
,04x f x ⎛⎫
∈⎪'< ⎝
⎭
10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，M 是底面ABCD 上一点，则（ ） A. M 为AC 中点时，1PM AC ⊥ B. M 为AD 中点时，//PM 平面11A BC C.
满足12PM =
的点M 在圆上
D. 满足直线PM 与直线AD 成30︒角点M 在双曲线上
11. 已知122
12log ,log 2b
a a
b ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，则（ ）
A. 22a b a b -+=+
B. 22b a a b -+=+
C. 1
21e b a +>
D. 1
12e a b ->
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
的
12. 设a 为实数，若函数32
1()13f x x ax =-+在4x =-处取得极大值，则a 的值为______．
13. 已知随机变量(
)2
4,4
X N ~．若(3)0.3P X <=，则(35)P X <<=__________，若21Y X =+，则
Y 的方差为__________．
14. 已知12,F F 是椭圆2
22:1x C y a
+=左、右焦点，P 是C 上一点．过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2
F 作直线2PF 的垂线2l ．若12,l l 的交点Q 在C 上（,P Q 均在x 轴上方)
，且PQ =C 的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在ABC 中，角,,A B C 对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=． （1）求A ；
（2）若ABC
BC 边上的高为1，求ABC 的周长．
16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -
中，12,,AB BC AB BC CC ==⊥=1(01)BE BB λλ=<<
．
（1）当1
3
λ=
时，求证：CE ⊥平面1ABC ； （2）设二面角B AE C --的大小为θ，求sin θ的取值范围． 17 已知函数()(1)1(1)k
f x x kx k =+-->．
（1）若1x >-，求()f x 的最小值；
（2）设数列{}n a 前n 项和n S ，若112n
n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，求证：222n n n S n +-≥-． 18. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 过点F 交C 于,A B 两点，C 在,A B 两点的切线相交于点,P AB 的中点为Q ，且PQ 交C 于点E ．当l 的斜率为1时，8AB =． （1）求C 的方程；
的
的.
（2）若点P 的横坐标为2，求QE ；
（3）设C 在点E 处切线与,PA PB 分别交于点,M N ，求四边形ABNM 面积的最小值．
19. “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量X 对应取值i x 的概率为()i i p P X x ==，其单位为bit 的熵为21()log n
i i i H X p p ==-∑，且
1
1n
i
i p
==∑．（当0i p =，规定2log 0i i p p =．）
（1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为(01)m m <<，正面向上的次数为X ，分别比较1
2
m =
与1
4
m =
时对应()H X 的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； （2）若拋郑一枚质地均匀的硬币n 次，设X 表示正面向上的总次数，Y 表示第n 次反面向上的次数（0或1）．()11,p x y 表示正面向上1x 次且第n 次反面向上1y 次的概率，如3n =时，()1
0,18
p =．对于两个离散的随机变量,X Y ，其单位为bit 的联合熵记为
()()()()2211(,),0log ,0,1log ,1n n i i i i i i H X Y p x p x p x p x ==⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
∑∑，且()()11,0,11n n
i i i i p x p x ==+=∑∑．
（ⅰ）当3n =时，求(),H X Y 的值； （ⅱ）求证：()()1
1
,32n H X Y n n -<-
≥． 参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
1,,1,22k
M x x k k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎩⎭Z Z ，则（ ） A. M N ⊆ B. N M ⊆
C. M N =
D. M N ⋂=∅
【答案】A 【解析】
【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系.
【详解】121
,,22k M x x k k x x k ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
Z Z ，
的
21,,22k k N x x k x x k ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
Z Z ，
因为21,Z k k +∈表示所有的奇数，而2,Z k k +∈表示所有的整数，则M N ⊆， 故选：A.
2. 已知三个单位向量,,a b c 满足=+
a b c ，则向量,b c 的夹角为（ ）
A.
6
π
B.
3
π
C.
23
π D.
56
π 【答案】C 【解析】
【分析】对等式两边同平方即可得1
2
b c ⋅=-r r ，再利用向量数量积定义和向量夹角范围即可得到答案.
【详解】2222a b c b c =++⋅ ，即1112b c =++⋅ ，
12b c ∴⋅=- ，即111cos ,2b c ⨯=- ，则1
cos ,2b c =- ，
因为[],0,πb c ∈ ，,b c ∴ 夹角 2
π3
，
故选：C.
3. 某同学测得连续7天的最低气温分别为1,2,2,,6,2,8m （单位：℃），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则m =（ ） A. 2 B. 3
C. 6
D. 7
【答案】D 【解析】
【分析】根据题意分析可知：平均数为
217
m
+，中位数为2，列式求解即可. 【详解】由题意可知：这组数据的平均数为1226282177
m m
+++++++=，
除m 外，将数据按升序排列可得1,2,2,2,6,8， 结合m 的任意性可知中位数为2，则21227
m
+=⨯，解得7m =. 故选：D.
4. 已知z 为复数，则“z z =”是“2z z =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】正向可得R z ∈，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得0a =或0b =，则必要性不成立. 【详解】若z z =，则R z ∈，则22z z =，故充分性成立；
若2z z =，设i,,R z a b a b =+∈，则2222i z a ab b =+-，2222i z a ab b =--，
则20ab =，0a =或0,b z =∴与z 不一定相等，则必要性不成立， 则“z z =”是“2
2z z =”的充分非必要条件， 故选：A 5. 已知ππcos 3cos 44θθ⎛⎫⎛
⎫-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则sin2θ=（ ）
A.
3
5 B.
45
C. 35
-
D. 45
-
【答案】B 【解析】
【分析】展开同平方并结合二倍角的正弦公式即可得到关于sin2θ的方程，解出即可.
sin )3sin )θθθθ+=-， 两边同平方有
2219
(cos sin )(cos sin )22
θθθθ+=-， 即
19
(1sin 2)(1sin 2)22θθ+=-，解得4sin25
θ=， 故选：B.
6. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n n S n a +=，则7a =（ ） A. 65 B. 127
C. 129
D. 255
【答案】B 【解析】
【分析】降次作差得()1121n n a a -+=+，再利用等比数列通项公式即可得到答案. 【详解】1n =时，1112a a +=，则11a =.
2n ≥时，[]11122(1)221n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=----=--，
()11121,121,120n n n n a a a a a --∴=+∴+=++=≠，
{}1n a ∴+是2为首项，2为公比的等比数列，67771222128,127a a ∴+=⨯==∴=，
故选：B.
7. 已知函数()f x 的定义域为R ，且
()1f x +为偶函数，()21f x +-为奇函数．若()10f =，则
26
1
()k f k ==∑（
）
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
【答案】C 【解析】
【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线1x =对称和关于点(2,1) 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可.
【详解】(1)f x +为偶函数，则()(1)1f x f x +=-+则()f x 关于1x =对称，
(2)1f x +-为奇函数，则(2)1(2)1f x f x -+-=-++，
即(2)(2)2f x f x -+++=，则关于点(2,1)对称，
则由其关于1x =对称有()()2f x f x =-+，则()(2)2f x f x ++=， 则(2)(4)2f x f x +++=，作差有()(4)f x f x =+，
()f x ∴为周期函数，且周期为4，因为(1)(3)2f f +=，()10f =，则(3)2f =，
因为()(0)2f f =，(0)(2)2f f +=，则(0)(2)1f f ==，
()(4)01==f f ，则(1)(2)(3)(4)4f f f f +++=，
24
1
()24k f k =∴=∑，26
1
()240125k f k ==++=∑，
故选：C.
8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A. 12π
B. 27π
C.
64π
9
D.
64π
3
【答案】D 【解析】
【分析】先求出正四棱台的高，再分析出最大内切球与四侧面及下底面相切，再根据三角函数得到其半径大小，最后利用球的表面积公式即可.
【详解】作出如图所示正四棱台，其中1OO 为正四棱台的高，1EE 为其斜高，
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8
，侧棱长为，
则11B O =
BO =，
1
OO =
=，
因为128
52
OO +=>
=，故半径最大的球不与上下底面同时相切， 16
EE =
=，则111sin OO OEE EE ∠==1π3OEE ∠=， 过11,,,O E E
O 作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则26
O
EO π
∠=，
则12
2OO OO =
=<=
，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，
即该正四棱台内半径最大的球半径
r
=，球的表面积为2
644ππ3S r ==. 故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出
其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知()π24f x x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，则（ ）
A. ()()πf x f x +=
B. ()3π8f x f x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
C. ()π0,
,14x f x ⎛
⎫
∈> ⎪⎝
⎭
D. ()π0,
,04x f x ⎛⎫
∈⎪'< ⎝
⎭
【答案】AC 【解析】
【分析】根据正弦型函数的周期即可判断A ；根据其对称性即可判断B ，利用整体法求出函数值域即可判断C ；求导并举出反例即可判断D.
【详解】对A ，()f x 周期为2π
π(π)()2
f x f x =∴+=，，故A 对； 对B ，令ππ
2π42x k +=+，Z k ∈，则ππ,82
k x k =+
∈Z ， 若()3π8f x f x ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
成立，则()f x 关于3π16x =对称， 令
ππ3π8216k +=，解得18
k =，因为k ∉Z ，则B 错误；
对C ，πππ3π0,,2,π,sin 2,()(1,2]44444x x x f x ⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∈∴+∈∴+∈∴∈⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦
，故C 正确；
对D ，π()24f x x ⎛
=+'⎫ ⎪
⎝
⎭，当π
8
x =时，则()0f x '=，则D 错误， 故选：AC.
10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，M 是底面ABCD 上一点，则（ ） A. M 为AC 中点时，1PM AC ⊥ B. M 为AD 中点时，//PM 平面11A BC
C. 满足12PM =
的点M 在圆上
D. 满足直线PM 与直线AD 成30︒角的点M 在双曲线上 【答案】BCD 【解析】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，对A 计算1PM AC ⋅
即可判断；对B 利用线面平行
的判定定理即可判断；对C
，计算得DM =，则得到其轨迹；对D ，根据线线夹角公式得到关于,x y 的
方程，化简即可.
【详解】不失一般性，设正方体棱长为2，如图建系，因为P 为1DD 的中点， 则1(0,0,1,(2,0,0),(0,2,2)P A C ，
对A ，M 为AC 中点，则1(1,1,0)(1,1,1)(2,2,2),,M PM AC =-=-
， 122220,PM AC PM ⋅=-+-=-≠
与1AC 不垂直，故A 错误.
对B ，M 为AD 中点时，1//PM AD ，因为1111//,AB D C AB D C =， 则四边形11ABC D 为平行四边形，则111//,//AD BC PM BC ∴， 因1BC ⊂平面11A BC ，所以//PM 平面11A BC ，故B 正确； 对C
，令1(,,0),2M x y PM DD DM =
==∴=， M ∴在以D
为半径的圆上，故C 正确； 对D ，(,,1),(2,0,0)PM x y AD =-=
，
cos30cos ,PM AD ︒
=== ，
化简得2
213
x y -=，其为双曲线方程，故D 正确，
故选：BCD.
为
11. 已知122
12log ,log 2b
a a
b ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，则（ ）
A. 22a b a b -+=+
B. 22b a a b -+=+
C. 1
21e b a +> D. 1
12e a b ->
【答案】AD 【解析】
【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB ；利用切线不等式e 1x x ≥+即可判断C ；利用不等式ln 1≤-x x 即可判断D. 【详解】对A ，由图可知：2x y =与
12
log y x =交点()
,2a A a ，()01a <<
2log y x =与12x
y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的交点(),2,(1)b
B b b ->， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A ，B 关于y x =对称，
故22
b a
a b -⎧=⎨=⎩，22a b a b -+=+，故A 正确； 对B ，由A 知22b a a b -+=+，故B 错误； 对C ，由2b a -=知21b
a =
，则1211b
a
+=+，设()e 1x f x x =--，x ∈R ， 则()e 1x
f x '=-，则当(),0x ∞∈-时，()0f x '<，此时()f x 单调递减； 当()0,x ∞∈+时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；
则()()00f x f ≥=，则e 10x x --≥恒成立，即1e x x +≤，当0x =时取等；
令1x a =，则有111e a a +≤，因为10≠a ，则1
1
1e a a
+<，即121e b a +<，故C 错误；
对D ，设()ln 1h x x x =+-，()0,x ∞∈+，则()1x
h x x
'-=， 则当()0,1x ∈时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当()1,x ∞∈+时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；
则()()10h x h ≤=，即ln 10x x +-≤在()0,∞+上恒成立， 即ln 1≤-x x 在()0,∞+上恒成立，当1x =时取等， 令1x b =
，则11
ln 1b b
⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，即1ln 1b b ≥-，因为1b >，则1ln 1b b >-，则11e b b ->， 故1
12e a b b -=>，故D 正确. 故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题AB 选项的关键是充分利用图象并结合指、函数
的关系，而CD 选项的关键在于两个不等式e 1x x ≥+和ln 1≤-x x 的运用.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设a 为实数，若函数32
1()13f x x ax =-+在4x =-处取得极大值，则a 的值为______．
【答案】2- 【解析】
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a 的值即可． 【详解】解：2()2(2)f x x ax x x a '=-=-， 令()0f x '=，解得；0x =或2x a =，
若函数32
1()13f x x ax =-+在4x =-处取得极大值，
则24a =-，解得2a =-，
当2a =-时，()(+4)f x x x '=，()04f x x x ⇒'>><-或，()040f x x <⇒-<<' 所以函数f (x )在(4,0)-上单调递减，在(,4),(0,)-∞-+∞上单调递增. 满足题意. 故答案为：2-．
13. 已知随机变量(
)2
4,4
X N ~．若(3)0.3P X <=，则(35)P X <<=__________，若21Y X =+，则
Y 的方差为__________．
【答案】 ①. 0.4##
2
5
②. 64 【解析】
【分析】由题意可知：4,4μσ==，根据方差的性质可得()D Y ；根据正态分布的对称性可得(35)P X <<. 【详解】由题意可知：4,4μσ==，即()16D X =，所以()()464D Y D X ==； 因为352μ+=，且(3)0.3P X <=， 所以(35)12(3)0.4P X P X <<=-<=. 故答案为：0.4；64.
14. 已知12,F F 是椭圆2
22:1x C y a
+=的左、右焦点，P 是C 上一点．过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2
F
作直线2PF 的垂线2l ．若12,l l 的交点Q 在C 上（,P Q 均在x 轴上方)
，且PQ =C 的离心率为__________．
【解析】
【分析】设(),P m n ，可得12,l l 的方程，联立方程求得22,m c Q m n ⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭，结合对称性可知2
165m =，进而列式求22
,a c ，即可得离心率.
【详解】设(),P m n ，()()12,0,,0F c F c -，由题意可知：,0m c n ≠±>，
则直线1PF 的斜率1PF n k m c
=
+，可知1l 的方程为()m c
y x c n +=-+，
同理可得：2l 的方程为()m c
y x c n
-=--，
联立方程()()m c y x c n m c y x c n +⎧
=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩
，解得22x m m c y n =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，即22,m c Q m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
因为Q 在C 上，可知,P Q 关于x 轴对称，
且PQ =
2m =，可得2
165m =，
又因为22m c n n
-=，即22
165c n -=，
由题意可得：22
2
22
216516511c n n a c a ⎧-=⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎪⎩
，整理得42516160a a --=，
解得24a =或2
4
5
a =-
（舍去），则2213c a =-=， 所以C
的离心率为c e a ===
. 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=． （1）求A ；
（2）若ABC
BC 边上的高为1，求ABC 的周长． 【答案】（1）
π
3
（2
）+ 【解析】
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换得1
cos 2
A =
，则得到A 的大小； （2）利用三角形面积公式得4bc =，再结合余弦定理得b c +的值，则得到其周长. 【小问1详解】
因为(2)cos cos b c A a C -=，
由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，
即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin B A B =. 因为在ABC 中，sin 0B ≠，
所以1cos 2
A =
. 又因为0πA <<，所以π3
A =. 【小问2详解】
因为ABC
所以
1
12
a ⨯=a =.
由
1sin 2bc A =12bc = 所以4bc =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =+-，
化简得2()312b c bc +=+，所以2()24b c +=，即b c +=，
所以ABC 的周长为a b c ++=.
16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,,AB BC AB BC CC ==⊥=1(01)BE BB λλ=<<
．
（1）当1
3
λ=
时，求证：CE ⊥平面1ABC ； （2）设二面角B AE C --的大小为θ，求sin θ的取值范围． 【答案】（1）证明见解析
（2）⎫
⎪⎭
【解析】
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，得出相关向量，求出10,0AB CE BC CE ⋅=⋅= ，再结合线面垂
直的判定即可；
（2）求出相关法向量，得到sin θ=，再结合函数单调性即可得到其范围. 【小问1详解】
以1,,BC BA BB
为基底建立如图所示空间直角坐标系，
则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)B C A
，1(2,0,(0,0,)C E .
当1
3λ=
时，E ⎛ ⎝，
所以1(0,2,0),(2,0,AB BC =-=
，.CE ⎛=- ⎝
所以10,0AB CE BC CE ⋅=⋅=
，所以1,CE AB CE BC ⊥⊥.
又1,AB BC B AB =⊂ 平面11,ABC BC ⊂平面1ABC ， 所以CE ⊥平面1ABC .
【小问2详解】
(2,2,0),(0,2,)AC AE =-=-
，
设平面AEC 的一个法向量为1(,,)n x y z =
，
则1100
AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即22020x y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩
，不妨取1,1)n = .
因为BC ⊥平面ABE ，所以平面ABE 的一个法向量为2(2,0,0)n =
.
所以12
12cos n n n n θ⋅==⨯ ，
所以
sin θ=== 又因为01λ<<，易知(
)f λ=
()0,1上单调递减，
所以sin θ⎫
∈⎪⎭
. .
17. 已知函数()(1)1(1)k
f x x kx k =+-->．
（1）若1x >-，求()f x 的最小值；
（2）设数列{}n a 前n 项和n S ，若112n
n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，求证：222n n n S n +-≥-． 【答案】（1）0 （2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性，进而可得()f x 的最小值；
（2）当1n =时显然成立，当2n ≥，结合（1）可得(1)1k x kx +≥+，进而可得
112
11222
n n n n n n n a -++>
+=-+，利用裂项相消法分析证明. 【小问1详解】
因为()()11(1)k
f x x kx k =+-->，则()()
1
11k f x k x -⎡⎤'=+-⎣
⎦
，
因为1k >，则10k ->，且1x >-，
当10x -<<时，则011x <+<，可得()()
()1
11110k f x k x k -⎡⎤'=+-<-=⎣
⎦
； 当0x >时，则11x +>，可得()()
()1
11110k f x k x k -⎡⎤'=+->-=⎣
⎦
； 可知()f x ()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()f x 的最小值为()00f =. 【小问2详解】
因为112n
n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， 若1n =，则1113122
S a ==+
=，满足222n n n S n +-≥-；
若2n ≥，由（1）可知：()(1)10k
f x x kx =+--≥， 即(1)1k x kx +≥+，当且仅当0x =时，等号成立，
令10,12n x k n ⎛⎫=>=> ⎪⎝⎭，可得11121112222n
n n n n n n n a n ->++⎛
⎫=++=-+ ⎪⎝⎭
，
且133
2122
a =
=-+， 在
可得223133445122
2222222222n n n n n n n S n n -+++>-
+-+-+⋅⋅⋅+-+=-+， 所以2
22
n n n n S +>--；
综上所述：2
22
n n n S n +-≥-.
18. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 过点F 交C 于,A B 两点，C 在,A B 两点的切线相交于点,P AB 的中点为Q ，且PQ 交C 于点E ．当l 的斜率为1时，8AB =． （1）求C 的方程；
（2）若点P 的横坐标为2，求QE ；
（3）设C 在点E 处的切线与,PA PB 分别交于点,M N ，求四边形ABNM 面积的最小值． 【答案】（1）24x y =
（2）2
（3）3 【解析】
【分析】（1）设直线l 的方程为()()1122,,,,2
p
y kx A x y B x y =+
，再联立得到韦达定理式，最后根据焦点弦公式得到2p =，则得到抛物线方程；
（2）首先得到(
)
2
2,21Q k k +，再根据导数得到两条切线方程，再计算出P 的坐标，求出k 值则得到相关点坐标，即可求出QE ； （3）首先证明出3
4
ABP ABNM S S = 四边形，再计算出ABP S △的表达式，从而得到其最小值. 【小问1详解】
由题意，直线l 的斜率必存在. 设直线l 的方程为()()1122,,,,2
p
y kx A x y B x y =+
， 联立222p y kx x py ⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩得2220,(*)x pkx p --=，所以12212
Δ0,2.x x pk x x p >⎧⎪+=⎨⎪=-⎩
当1k =时，122x x p +=，
此时()1212122822p p AB y y p x x p x x p ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 所以48p =，即2p =. 所以C 的方程为24x y =.
小问2详解】
由(1)知，1224x x pk k +==，
则2Q x k =，代入直线1y kx =+得221Q y k =+，则AB 中点()
2
2,21Q k k +.
因为24x y =，所以2x y '
=
， 则直线PA 方程为()1112x y y x x -=-，即2
111124y x x x =-，
同理，直线PB 方程为2
221124
y x x x =-，
所以()2212121211442122
P x x x x x k x x -+=
==-，
()211211214
44
P x x x x x x y +=
-==-，所以(2,1)P k -. 因为2,22P x k ==，即1k =，此时(2,3),(2,1)Q P -， 所以直线PQ 的方程为2x =，代入24x y =，得1y =， 所以(2,1)E ，所以||2QE =. 【小问3详解】
由（2）知(
)
2
2,21,(2,1)Q k k P k +-， 所以直线PQ 方程为2x k =，
代入24x y =，得22y k =，所以(
)2
2,2E k k ，所以E 为PQ 的中点.
因为C 在E 处的切线斜率1
22
y k k '=
⨯=， 所以C 在E 处的切线平行于AB ， 又因为E 为PQ 的中点，所以3
4
ABP ABNM S S =
四边形. 【
由(1)中(*)式得2440x kx --=，所以124x x k +=， 因为直线AB 方程为1y kx =+，
所以()()()2
121212112444AB y y p kx kx k x x k =++=++++=++=+.
又(2,1)P k -到直线AB
的距离h
所以(
)()
3222
11
4441422
ABP
S AB h k k =⋅=⋅+⋅=+≥ ，
(当且仅当0k =时取“=”) 所以3
34
ABP ABNM S S =
≥ 四边形， 所以四边形ABNM 的面积的最小值为3.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是找到3
4
ABP ABNM S S = 四边形，再结合焦点弦和点到直线距离公式得到ABP S △的表达式，从而得到其最小值.
19. “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量X 对应取值i x 的概率为()i i p P X x ==，其单位为bit 的熵为21()log n
i i i H X p p ==-∑，且
1
1n
i
i p
==∑．（当0i p =，规定2log 0i i p p =．）
（1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为(01)m m <<，正面向上的次数为X ，分别比较1
2
m =
与1
4
m =
时对应()H X 的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； （2）若拋郑一枚质地均匀的硬币n 次，设X 表示正面向上的总次数，Y 表示第n 次反面向上的次数（0或1）．()11,p x y 表示正面向上1x 次且第n 次反面向上1y 次的概率，如3n =时，()1
0,18
p =．对于两个离散的随机变量,X Y ，其单位为bit
的联合熵记为
()()()()2211(,),0log ,0,1log ,1n n i i i i i i H X Y p x p x p x p x ==⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
∑∑，且()()11,0,11n n
i i i i p x p x ==+=∑∑．
（ⅰ）当3n =时，求(),H X Y 的值； （ⅱ）求证：()()1
1
,32n H X Y n n -<-≥． 【答案】（1）答案见解析
（2）（i ）52
；（ii ）证明见解析. 【解析】
分析】
（1）根据定义代入计算，再比较大小即可； （2）（i ）根据步骤列出分布列，再计算(),H X Y 即可；（ii ）当Y 0=时，()111,0C 2i n
x i n
p x --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，再计算
出1Y =时，()1
1,1C 2i n
x i n p x -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，最后代入公式计算化简即可. 【小问1详解】
12m =时，2
222
1111
1()log 1log 1log 12222i i i H X p p =⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-=--⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑， 14m =时，2
222
21111
13()log 1log 1log 2log 344444i i i H X p p =⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
∑ 因为3432>，所以24log 33>
，所以23
2log 314
-<. 说明硬币质地均匀时，抛掷正面向上的不确定性更大. 【小问2详解】
（i ）当3n =时，(,)X Y 的分布列：
(,)X Y (1,0) (2,0)
(3,0) (0,1)
(1,1) (2,1)
p
3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
121C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
121C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
3333
11222211115(,)4log 2C log C 22222H X Y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⋅+⨯⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦.
（ii ）当Y 0=时，第n 次正面向上，前n 1-次中有1i x -次正面向上，
【
所以()111,0C 2i n
x i n
p x --⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
所以()()11
21211111,0log ,0C log C 22i i i n n
n
n
x x i i n n i x p x p x ----==⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑
1
1
210
11C
log C 22i
i i n
n n x x n n x ---=⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑. 当1Y =时，第n 次反面向上，前n 1-次中有i x 次正面向上， 所以()1
1,1C
2i
n
x i n p x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 所以
()()1
2
1
211
11,1log ,1C
log C 22i i i n
n n
n x x i
i
n n i x p x p x ---==⎛⎫⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑. 所以()()()()2211(,),0log ,0,1log ,1n n
i i i i i i H X Y p x p x p x p x ==⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
∑∑
1121011C log C 222i i i n n n x x n n x ---=⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭∑
1
121011(2)C log C 22i i
i n n
n x x n n x ---=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑
111211001(2)C log C C 2i i i
i i n n n x x x n n n x x n -----==⎡⎤⎛⎫=-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
∑∑
1
11
12101C log C 22i i i n n x x n n n x n -----=⎡⎤⎛⎫
=--⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎣⎦
∑ 11
1210
1C
log C 2i i
i n n x x n n x n ----=⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
∑.
由1
22
12121210
3,
C
log C 0(1)log (1)C log C 1i
i i n x x n n n n x n n n -----=≥≥+--+>∑，
所以11
1211
11
(,)C log C (3)22i i i n n x x n n n x H X Y n n n -----=⎛⎫
=-<-
≥ ⎪
⎝⎭
∑. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是列出当3n =时，(,)X Y 的分布列，然后再计算相关值，第二小问的关键是对Y 0=和1Y =的讨论，最后代入题目所给公式计算即可.。