最新版四川省成都市高一数学4月月考试题 文

2015-2016学年下学期高2015级4月阶段考
数学试题（文）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若角60°的终边上有一点(4，a )，则a 的值是( )
A ．4 3
B ．－4 3 C.433 D ．－43
3
2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )
A ．－32 B.3
2 C ．2 D ．6
3．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为2
2，则cos 2α等于( )
A ．－12
B ．－14 C.12 D.3
2
4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →
等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16
6．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos(x －π
3
)的图象( )
A ．向右平移π6个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π3个单位
D ．向左平移π
6
个单位
7．已知sin(π－α)＝－2sin(π
2
＋α)，则sin αcos α等于( )
A.25 B ．－25 C.25或－25 D ．－1
5
8．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2
x ，x ∈R ，则f (x )是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π
2的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
9．若满足条件AB ＝3，C ＝π
3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，2)
D ．(2，2)10．在ABC ∆中，若
()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆，则ABC 的形状一定是)
A.等边三角形
B.不含60o
的等腰三角形 C.钝角三角形
D.直角三角
形
11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→
的模长的最大值为( )
A. 2
B. 3 C ．2 3 D ．3 2
12．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则
c
b C a --︒)
30sin(的值为（ ）
A ．
21 B ．23 C ．2
1
- D ．23-
二。

填空题：（每小题5分） 13.
已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝___ .
14. 已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝_______.
15. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
16. 如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →； ④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →
)． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
三。

解答题：（合计70分）
17. （10分）已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)4sin α－2cos α
5cos α＋3sin α；
(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12
cos 2
α.
18. （12分）设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .
(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π
3
]，求x ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．
19.（12分）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π
2
.
(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．
20. （12分）已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2
ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图
象，求函数g (x )在区间[0，π
16
]上的最小值．
21. （12分）已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且a cos B ＋3b sin A ＝c . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，AB →·AC →
＝3，求b ＋c 的值．
22. （12分）如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若角60°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( A )
A ．4 3
B ．－4 3 C.433 D ．－43
3
2．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( D )
A ．－32 B.3
2 C ．2 D ．6
3．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为2
2，则cos 2α等于( A )
A ．－12
B ．－14 C.12 D.3
2
4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( B ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12
5．在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →
等于( D )
A ．－2
B ．2
C ．±4
D ．±2
6．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos(x －π
3
)的图象( A )
A ．向右平移π6个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π3个单位
D ．向左平移π
6
个单位
7．已知sin(π－α)＝－2sin(π
2
＋α)，则sin αcos α等于( B )
A.25 B ．－25 C.25或－25 D ．－1
5
8．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2
x ，x ∈R ，则f (x )是( D )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π
2的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
9．若满足条件AB ＝3，C ＝π
3的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，2)
D ．(2，2)【解析】：C ∵C=
3
π
，BC=a ，∴由正弦定理得：
sin sin AB BC C A =
= sin a A
，解得：sinA= 2a ，由题意得：当A ∈（
3
π，23π）时，满足条件的△ABC 有两个，
所以2
a
＜
1，解得：＜a ＜2
，则BC 2）．
10．在ABC ∆中，若()()()sin 12cos sin A B B C A C -=+++∆
，则ABC 的形状一定是
( ) A.等边三角形
B.不含60o 的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
【解析】D ∵sin （A-B ）=1+2cos （B+C ）sin （A+C ），∴sin （A-B ）=1-2cosAsinB ， ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB ，∴sinAcosB+cosAsinB=1， ∴sin （A+B ）=1，∴A+B=90°，∴△ABC 是直角三角形
11．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→
的模长的最大值为( D )
A. 2
B. 3 C ．2 3 D ．3 2
12．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则
c
b C a --︒)
30sin(的值为（ ）
A ．
21 B ．23 C ．2
1
- D ．23-
解析：A 由02
2
2
=-++a bc c b 得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=-,又A 为三角形内角，所以
A=120
°
,
则
(
)(
)113
cos sin 222sin sin 30sin(30)1sin sin sin 60sin 2C C C C A C a C b c B C C C ⎫⎫--⎪⎪︒-︒-⎝⎭===
=--︒--13.0
14. 已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝___π
2
_____.
15. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
8 6
解析 如图所示，
在△PMN 中，PM
sin45°
＝
MN
sin120°
，
∴MN ＝64×3
2
＝326，
∴v ＝
MN
4
＝86(海里/小时)．
16. 如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
①AC →＋AF →＝2BC →； ②AD →＝2AB →＋2AF →； ③AC →·AD →＝AD →·AB →；
④(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →
)．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) ①②④
解析 在正六边形ABCDEF 中，AC →＋AF →＝AC →＋CD →＝AD →＝2BC →
，①正确；
设正六边形的中心为O ，则2AB →＋2AF →＝2(AB →＋AF →)＝2AO →＝AD →
，②正确；
易知向量AC →和AB →在AD →
上的投影不相等，即AC →·AD →|AD →|≠AB →·AD →
|AD →|
.∴AC →·AD →≠AD →·AB →，③不正确；
∵AD →＝－2EF →，
∴(AD →·AF →)EF →＝AD →(AF →·EF →)⇔(AD →·AF →)EF →＝－2EF →(AF →·EF →)⇔AD →·AF →＝－2AF →·EF → ⇔AF →·(AD →＋2EF →)＝0.∵AD →＋2EF →＝AD →－AD →＝0，∴AF →·(AD →＋2EF →
)＝0成立．
从而④正确．
17. 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)4sin α－2cos α
5cos α＋3sin α；
(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12
cos 2
α.
(1)6/11 (2)13/30
18. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .
(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈[－π3，π
3
]，求x ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在[0，π]上的图象．
(1)依题设得f (x )＝2cos 2
x ＋3sin 2x
＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π
6
)＋1.
由2sin(2x ＋π6)＋1＝1－3得sin(2x ＋π6)＝－3
2
.
∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，
∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π
4.
(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π(k ∈Z )
得函数单调增区间为[－
π3＋k π，π
6
＋k π](k ∈Z ). y 2
19.已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π
2
.
(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．
(1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.
由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π
4
.
(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得 a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)， |a ＋b |＝
θ＋2
＋＋cos θ
2
＝3＋θ＋cos θ＝
3＋22θ＋
π4
，
当sin(θ＋
π
4
)＝1时，|a ＋b |取得最大值， 即当θ＝π
4
时，|a ＋b |的最大值为2＋1
20已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2
ωx (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图
象，求函数g (x )在区间[0，π
16
]上的最小值．
(1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2
ωx .
所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22s in ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋1
2.
由于ω>0，依题意得2π
2ω＝π，所以ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝
22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1
2，
所以g (x )＝f (2x )＝
22sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π4＋1
2.
当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以2
2≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1.
因此1≤g (x )≤
1＋2
2
. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π16上的最小值为1.
21. 已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且a cos B ＋3b sin A ＝c . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，AB →·AC →
＝3，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )， 即 3sin B sin A ＝cos A sin B ， 所以tan A ＝
33，故A ＝π6
. (2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π
6＝3，即bc ＝23，①
又a ＝1，
∴1＝b 2＋c 2
－2bc cos π6
，②
由①②可得(b ＋c )2
＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3.
22. 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．
解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°.
在△POC 中，由正弦定理得
OP sin ∠PCO ＝CP
sin θ
，
∴2sin120°＝CP sin θ，∴CP ＝43
sin θ. 又OC －θ＝2sin120°，∴OC ＝4
3sin(60°－θ)．
因此△POC 的面积为 S (θ)＝1
2
CP ·OC sin120°
＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝4
3sin θsin(60°－θ)
＝43sin θ
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos θ－12sin θ
＝2sin θ·cos θ－23
sin 2
θ
＝sin 2θ＋33cos 2θ－33
＝
233sin ⎝
⎛⎭⎫2θ＋π6－3
3
∴θ＝π6时，S (θ)取得最大值为3
3
.。