第十三周每日一练参考答案

第十三周每日一练参考答案1．（2013•兰州）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．在Rt△ABO中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，BO=8，∴AO=BO•cos30°=8×=4，在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，x2+（4）2=（8﹣x）2，解得：x=1，∴OG=1．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平2．（2012•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．几何综合题．分析：（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）如图，连接AC交BF于点0．由菱形的判定定理推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM丄BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF （全等三角形的对应边相等），从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：BC=tan∠CBF=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=．解答：∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN，∴AE∥CF；又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），∵在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，则AC与EF互相垂直平分，∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），∴AC与BD互相垂直平分，∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），∴AB=BC（菱形的邻边相等）；∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），∴AB=AC（等腰三角形的性质），∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=，又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=．点评：本题综合考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判3．（2013•浙江一模）阅读并解答下列问题：问题一．如图1，在▱ABCD中，AD=20，AB=30，∠A=60°，点P是线段AD上的动点，连PB，当AP= 15时，PB最小值为15．问题二．如图2，四边形ABCD是边长为20的菱形，且∠DAB=60°，P是线段AC上的动点，E在AB上，且，连PE，PB，问当AP长为多少时，PE+PB的值最小，并求这个最小值．问题三．如图3，在矩形ABCD中，AB=20，CB=10，P，Q分别是线段AC，AB上的动点，问当AP长为多少时，PQ+PB的值最小，并求这个最小值．四边形综合题．分析：（1）如图1，过点B作BP⊥AD于P，根据直角三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；（2）如图2，连接BD、ED交AC于点P，作DF⊥AB于F．由菱形的性质可以得出AC的值，再由△APE∽△CPD就根据相似三角形的性质就可以得出结论；（3）作B关于AC的对称点B′，连AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距离BH′，连B与AB′和DC的交点P，再由三角形的面积公式可求出S△ABP的值，根据对称的性质可知∠PAC=∠BAC=∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S△ABP=PA•BH′即可求解．解答：∴AP=AB．∵AB=30，∴AP=15．在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP==15．（2）如图2，连结BD，连结DE交AC于点P，作DF⊥AB于F．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD．AC⊥BD，DO=BO=DB，AO=CO=AC，∠OAB=∠DAB．∵∠DAB=60°，∴△ABD和△CDB是等边三角形，∴AF=AB=10，．在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF=10．∵AE=AB，且AB=20，∴AE=5．∴EF=5．在Rt△EFD中，由勾股定理，得DE==5，∴BP+PE的最小值为5．在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO=10．∴AC=20∴△AEP∽△CDP，∴．∴，∴AP=4．答：当AP长为4时，PE+PB的值最小为5；（3）如图3，作B关于AC的对称点B′，作B′Q⊥QB于Q，交AC于P．连结AB′，则Q点关于AC的对称点H′在AB′上，∴∠AHB=∠AHB′=90°，BH=B′H，∴AB′=AB，∴∠AB′H=∠ABH．这时，B到P到Q的最小值等于B→P→H′的最小值，等于B到AB′的距离BH′，连J结AB′和DC的交点E，则S△ABE=×20×10=100，由对称知识，∠EAC=∠BAC=∠ECA，所以EA=EC，令EA=x，则EC=x，ED=20﹣x，在Rt△ADE中，EA2=ED2+AD2，所以x2=（20﹣x）2+102，所以x=12.5，因为S△ABE=EA•BH′，所以BH′===16．在△BB′H′和△B′BQ中，，∴△BB′H′≌△B′BQ（SAS），∴BH′=B′Q=10．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=10．∵S△ABC==，∴，∴BH=4，∴BB′=8．在Rt△BB′Q中，由勾股定理，得QB=8，∴AQ=12．∵PQ⊥AB，∴∠AQP=90°，且∠ABC=90°，∴PQ∥BC．∴△AQP∽△ABC，∴，∴，∴AP=6．答：AP长为6时，PQ+PB的值最小为16．故答案为：15，15．点评：本题考查的是最短路线问题，考查轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定4．（2013•长春一模）操作：如图①在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G．易知FG=GC．探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF与GC相等吗？请说明理由．拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3，AD=4，则△AGD 的周长为10．5．（2013•盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．解析式，再根据二次函数的性质就可以求出其最大值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（3）设BP=x，则PC=3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S，S=PC•BF=PC•PB=（3﹣x）x=﹣（x﹣）2+．∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，∴当x=时，S最大=，∴当BP=时，四边形PCFE的面积最大，最大值为．点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运6．（2013•宝安区二模）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）如图1中，PG与PC的位置关系是CP⊥GP，数量关系是CP=GP；（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求的值．论．解答：解：（1）PG⊥PC且PG=PC；理由：如图1，延长GP交DC于点H，∵四边形ABCD和BEFG是正方形，∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，∴CD∥GF，∴∠CDP=∠GFP．∵P是线段DF的中点，∴DP=FP．∵在△DHP和△FGP中，，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴DH=FG，PH=PG，∴HC=GC，∴△HCG是等腰直角三角形，∵PH=PG∴PG⊥PC且PG=PC．（2）如图2，延长GP交DC于点H，∵四边形ABCD和BEFG是矩形，∴FGB=∠GCD=∠DCB=90°，∴CD∥GF，∴∠CDP=∠GFP．∵P是线段DF的中点，∴DP=FP．∵在△DHP和△FGP中，，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴PH=PG=HG，∵∠DCB=90°，∴△HCG是直角三角形，∴CP=HG，∴PG=PC；（3）如图3，延长GP交CD于H，∵P是DF的中点，∴DP=FP．∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，∴DC∥GF，∴∠HDP=∠GFP．∵在△DHP和△FGP中，，∴△DHP≌△FGP（ASA），∴HP=GP DH=FG∵CD=CB，FG=GB∴CD﹣DH=CB﹣FG即：CH=CG∴△HCG是等腰三角形，∴PC⊥PG∠HCP=∠GCP（等腰三角形三线合一）∴∠CPG=90°．∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∴∠GCP=∠DCB=60°，∴Rt△CPG中：．故答案为：PG⊥PC，PG=PC．。