【精品】2017年广东省佛山市禅城区荣山中学九年级上学期数学期中试卷及解析

2016-2017学年广东省佛山市禅城区荣山中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣4=0的解是（）
A．x1=2，x2=﹣2 B．x=﹣2 C．x=2 D．x1=2，x2=0
2．（3分）下列图形中，中心对称图形有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
4．（3分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）
A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500
5．（3分）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=182×2 D．x（x﹣1）=182×2
6．（3分）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（）
A．无交点B．1个 C．2个 D．3个
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得解析式为（）
A．y=2x2+2 B．y=2x2﹣2 C．y=2（x+2）2 D．y=2（x﹣2）2
8．（3分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）
A．B．C．D．
9．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y 1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是，其中二次项系数是，一次项的系数是，常数项是；
12．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则=．13．（3分）若方程x2+（k﹣1）x﹣6=0的一个根是2，则k=．
14．（3分）抛物线y=x2﹣4x+m与x轴只有一个交点，则m=．
15．（3分）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是．
三、解答题（共9小题，满分75分）
16．（12分）解方程
（1）（x+4）2=5（x+4）；
（2）2x2+1=2x；
（3）x2﹣2x﹣8=0．
17．（5分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3．
（1）求它的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）求它与x轴的交点A，B；以及y轴交点C．
18．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．
19．（6分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当≤x≤2时，求y的最大值．
20．（6分）如图所示，在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为xcm，求出长和宽各是多少？
21．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出点A2、B2、C2坐标；（3）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A3B3C3；并写出点A3、B3、C3坐标．
22．（8分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
23．（8分）如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
24．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
2016-2017学年广东省佛山市禅城区荣山中学九年级
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）一元二次方程x2﹣4=0的解是（）
A．x1=2，x2=﹣2 B．x=﹣2 C．x=2 D．x1=2，x2=0
【解答】解：移项得：x2=4，
两边直接开平方得：x=±2，
则x1=2，x2=﹣2，
故选：A．
2．（3分）下列图形中，中心对称图形有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2和第3个是中心对称图形．中心对称图形有3个．
故选：B．
3．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．
4．（3分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）
A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500
【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）2=720；
故选：B．
5．（3分）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=182×2 D．x（x﹣1）=182×2
【解答】解：设全组有x名同学，
则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，
那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，
所以，x（x﹣1）=182．
故选：B．
6．（3分）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（）
A．无交点B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：当x=0时，y=1，
则与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时，x2﹣2x+1=0，
△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y=x2﹣2x+2与x轴有1个点．
综上所述，抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是2个．
故选：C．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得解析式为（）
A．y=2x2+2 B．y=2x2﹣2 C．y=2（x+2）2 D．y=2（x﹣2）2
【解答】解：∵将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，
∴y=2x2+2．
故所得图象的函数解析式是：y=2x2+2．
故选：A．
8．（3分）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
9．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
【解答】解：∵二次函数线y=﹣（x+1）2+k，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x=﹣1．
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+k上的三点，而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由近到远为：
（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴y1＞y2＞y3
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，
∴b=﹣2a＞0．
当x=0时，y=c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，②错误；
③∵抛物线的对称轴为x=1，
∴当x=2时与x=0时，y值相等，
∵当x=0时，y=c＞0，
∴4a+2b+c=c＞0，③正确；
④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0，
∴△=b2﹣4ac＞0，④正确．
综上可知：成立的结论有2个．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是x2+2x﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项的系数是2，常数项是﹣1；
【解答】解：去括号：1﹣x2=2x
移项：x2+2x﹣1=0
二次项系数是：1，一次项系数是：2，常数项是：﹣1．
故答案分别是：x2+2x﹣1=0，1，2，﹣1．
12．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则=﹣3．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0中，a=2，b=﹣3，c=﹣1，
x1，x2为方程的两根，
∴x1+x2=﹣=，x1•x2==﹣，
∵=，
∴==﹣3，
故答案为：﹣3．
13．（3分）若方程x2+（k﹣1）x﹣6=0的一个根是2，则k=2．
【解答】解：把x=2代入x2+（k﹣1）x﹣6=0得4+2（k﹣1）﹣6=0，
解得k=2．
故答案为2．
14．（3分）抛物线y=x2﹣4x+m与x轴只有一个交点，则m=4．
【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4m=0，解得m=4．
故答案为4．
15．（3分）如图，设P是等边△ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是150°．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
故答案为150°．
三、解答题（共9小题，满分75分）16．（12分）解方程
（1）（x+4）2=5（x+4）；
（2）2x2+1=2x；
（3）x2﹣2x﹣8=0．
【解答】解：（1）（x+4）2﹣5（x+4）=0，（x+4）（x+4﹣5）=0，
所以x1=﹣4，x2=1；
（2）2x2﹣2x+1=0，
△=（﹣2）2﹣4×2×1=4，
x==，
所以x1=，x2=；
（3）（x﹣4）（x+2）=0，
所以x1=4，x2=﹣2．
17．（5分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3．
（1）求它的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）求它与x轴的交点A，B；以及y轴交点C．
【解答】解：（1）∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∵a=﹣1＜0，
∴开口方向向下，顶点坐标（﹣1，4），对称轴x=﹣1．
（2）对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x=0，得到y=3，
∴C（0，3）．
18．（6分）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．
【解答】证明：∵△=（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，
而（m﹣2）2≥0，
故△＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
19．（6分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当≤x≤2时，求y的最大值．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）把y=0代入y=﹣x2+2x+3得﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
所以当﹣1＜x＜3，y＞0；
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵≤x≤2，
∴当x=1时，y的最大值为4．
20．（6分）如图所示，在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽为xcm，求出长和宽各是多少？
【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，由题意得
（80+2x）（50+2x）=5400，
解得：x1=5，x2=﹣70（舍去）
则80+2x=90，50+2x=60，
答：矩形挂图的长为90cm，宽为60cm．
21．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出点A2、B2、C2坐标；（3）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A3B3C3；并写出点A3、B3、C3坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（﹣1，﹣1）、B2（﹣4，﹣2）、C2（﹣3，﹣4）；（3）如图，△A3B3C3即为所求，A3（﹣1，1）、B3（﹣2，4）、C3（﹣4，3）．
22．（8分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
【解答】解：
（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40﹣x）•（30+2x）=1200，
解得x1=0，x2=25，
当x=0时，能卖出30件；
当x=25时，能卖出80件．
根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意，不降价也能盈利1200元，符合题意．
因为要减少库存，所以应降价25元．
答：每件衬衫应降价25元；
（2）设商场每天盈利为W元．
W=（40﹣x）（30+2x）
=﹣2x2+50x+1200
=﹣2（x2﹣25x）+1200
=﹣2（x﹣12.5）2+1512.5．
当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．
23．（8分）如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【解答】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：a=﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
∵y=﹣0.2x2+3.5，
而球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，
∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.2．
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
24．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得
，
∴．
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称，∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，∵y=﹣x2﹣2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3，
Q点坐标即为，
解得，
∴Q（﹣1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），
∵S
△BPC
=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣，
若S
四边形BPCO 有最大值，则S
△BPC
就最大，
∴S
四边形BPCO
=S△BPE+S直角梯形PEOC，
=BE•PE+OE（PE+OC）
=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）
=，
当x=﹣时，S
四边形BPCO
最大值=，
∴S
△BPC
最大=，
当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=，
∴点P坐标为（﹣，）．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
O D
A
B C
E
A
O
D C
B
2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

（1）求︵AB l ＋︵
CD l 的值；
（2）求AP 2＋BP 2＋CP 2＋DP 2的值；
B
D
C
O
A
P
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
B
A
O
E
E
F
D
C
B
O
P
E
D
B
O
P
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG⊥DC于G，试判断线段OG与EF的关系，并说明理由。

图1 图2
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