最大公因数和最小公倍数练习题

最大公因数与最小公倍数
考点分析
最大公因数和最小公倍数的性质。

（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。

（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

典型例题
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
例7、公路上一排电线杆，共25根。

每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
最大公因数和最小公倍数练习题
一. 填空题。

1. a b
和的最大公因数是（），最小公倍数是和都是自然数，如果a b
÷=10，a b
（）。

2. 甲=⨯⨯
235，乙=⨯⨯
237，甲和乙的最大公因数是（）×（）＝（），甲和乙的最小公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）。

3. 所有自然数的公因数为（）。

4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。

6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。

子
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

二. 判断题。

1. 互质的两个数必定都是质数。

（）
2. 两个不同的奇数一定是互质数。

（）
3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。

（）
4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。

（）
5. a是质数，b也是质数，a b m
⨯=，m一定是质数。

（）
6. 7的倍数都是合数。

（）
7.自然数中除了质数、合数，还有1．（）
三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。

26和13（）13和6（）4和6（）
5和9（）29和87（）30和15（）
13、26和52 （）2、3和7（）
四. 求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

（三个数的只求最小公倍数）
45和60 36和60
27和72 76和80
42、105和56 24、36和48
**五. 动脑筋，想一想：
学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
【模拟试题】
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。

4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？
12、有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。

求这个两位数是多少？
【试题答案】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
答：24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。

其中最大的一个是12。

2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）答：长方形的长是19厘米，宽是17厘米。

3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。

答：它们的最小公倍数是35。

4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
答：这两个数分别是24和40。

5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。

答：另一个数是42。

6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
答：至少需要221块水泥板。

7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
答：每段最长30厘米，一共可以截成12段。

8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。

答：这两个数是42和6或18和30。

9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
答：这些碗最少有60个。

10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？
答：A、B两个自然数的和是48。

试题答案
一. 填空题。

1. a b 和都是自然数，如果a b ÷=10，a b 和的最大公约数是（b ），最小公倍数是（a ）。

2. 甲=⨯⨯235，乙=⨯⨯237，甲和乙的最大公约数是（2）×（3）＝（6），甲和乙的最小公倍数是（2）×（3）×（5）×（7）＝（210）。

3. 所有自然数的公约数为（1）。

4. 如果m 和n 是互质数，那么它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（mn ）。

5. 在4、9、10和16这四个数中，（4）和（9）是互质数，（9）和（10）是互质数，（9）和（16）是互质数。

6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（15）。

*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（1），最小公倍数是（110）。

*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（1），最小公倍数是（63）。

**9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（106）。

10. 根据下面的要求写出互质的两个数。

（1）两个质数（2）和（3）。

（2）连续两个自然数（4）和（5）。

（3）1和任何自然数（1）和（9）。

（4）两个合数（9）和（16）。

（5）奇数和奇数（15）和（7）。

（6）奇数和偶数（7）和（4）。

二. 判断题。

1. 互质的两个数必定都是质数。

（×）
2. 两个不同的奇数一定是互质数。

（×）
3. 最小的质数是所有偶数的最大公约数。

（√）
4. 有公约数1的两个数，一定是互质数。

（×）
5. a 是质数，b 也是质数，a b m ⨯=，m 一定是质数。

（×）
三. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。

26和13（13、26）
13和6（1、78） 4和6（2、12） 5和9（1、45） 29和87（29、87）
30和15（15、30） 13、26和52 （13、52） 2、3和7（1，42）
四. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。

（三个数的只求最小公倍数）
45和60
最大公约数15，最小公倍数180。

36和60
最大公约数是12，最小公倍数180。

27和72
最大公约数是9，最小公倍数216。

76和80 最大公约数是4，最小公倍数1520。

42、105和56
最小公倍数是840。

24、36和48
最小公倍数是144。

**五. 动脑筋，想一想：
学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？
你是这样思考吗？
（1）圆珠笔多4支，也就是圆珠笔用了40436-=（支）
（2）练习本多2本，也就是练习本用了50248-=（本）
（3）36和48的公约数是2，3，4，6，12。

因为40220÷=，2不满足条件
403131÷=……，3不满足条件
40410÷=，4不满足条件
4066450682÷=÷=⎧⎨
⎩…………，6满足条件
401234501242÷=÷=⎧⎨⎩
…………，12满足条件 所以，四年级的三好学生人数是6人或12人。

（4）当三好学生人数为6人时，他们每人6支圆珠笔，8本练习本；
当三好学生人数为12人时，他们每人3支圆珠笔，4本练习本。