2024年深圳市中考数学复习与检测试卷(原卷版+答案解析)

2024年深圳市中考数学复习与检测试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（）
A．
1
2024
B．2024 C．2024
−D．
1
2024
−
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3.随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，
某日通过搜索得出相关结果约为16000000个．将“16000000”用科学记数法表示为（）
A．6
1610
×B．7
1.610
×C．8
1.610
×D．8
0.1610
×
4 . 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表：
命中次数（次） 5 6 7 8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（）
A．6，6 B．6.5，6 C．6，6.5 D．7，6
5 . 实数,a b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）
A ．55a b −>−
B ．66a b >
C ．a b −>−
D ．0a b −>
6 . 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，
某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：
在平面内，AB CD ，DC 的延长线交AE 于点F ；若7535BAE AEC ∠=°∠=°，，
则DCE ∠的度数为（ ）
A ．120°
B ．115°
C ．110°
D ．75°
7 . 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是： 用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？
可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（ ）
A ． 4.521y x x y −= −=
B ． 4.521x y x y −= −=
C ． 4.512
x y y x −= −= D ． 4.512y x y x −= −= 8. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（ ）
A. 20m
B. 28m
C. 35m
D. 40m
9 . 如图，DE 是ABC 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =．连接EF 并延长，
与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =，则线段CM 的长为（ ）
A. 132
B. 7
C. 152
D. 8
10. 如图，已知开口向上的抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()1,0−，对称轴为直线1x =．下列结论：
①0abc >；②20a b +=；③若关于x 的方程210ax bx c +++=一定有两个不相等的实数根；④13
a >. 其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
11. 分解因式：2441a a −+= ．
12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n 个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14
，那么黑球的个数是 ． 13. 已知关于x 的一元二次方程()2230x m x −++=
的一个根为1，则m ＝ ．
14. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
15 . 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂40cm AC =，灯罩30cm CD =，灯臂与底座构成的60CAB ∠=
°． CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳， 则此时点D 与桌面的距离是________．（结果精确到1cm
1.732）
三、解答题（本大题共有6个小题，共50分）
16. 计算：101()2cos 451)4
π−°−+−−−. 17. 先化简，再求值：（1﹣31x +）÷2441
x x x −++，其中x ＝3． 18. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．
我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽
（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，
在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D 粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求
他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．
19. 某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：
遮阳伞每天的销售量y x （元）之间是一次函数关系，
当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1) 求遮阳伞每天的销出量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
(2) 设遮阳伞每天的销售利润为w （元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
20. 已知：如图，在ABC 中，AB BC =，D 是AC 中点，BE 平分ABD ∠交AC 于点E ，
点O 是AB 上一点，O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．
（1）试说明直线AC 与O 的位置关系，并说明理由；
（2）当2BD =，1sin 2
C =时，求⊙O 的半径． 21. 如图，抛物线2y x bx c =
−++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =−+．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 动点D 在直线BC 上方的二次函数图像上，连接DC ，DB ，设四边形ABDC 的面积为S ，求S 的最大值；
(3) 当点E 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相
似？若存在，请求出点Q 的坐标．
22. 综合与探究
在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处．
(1) 如图①，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；
(2) 如图②，当5AB =，且10AF FD ⋅=
时，求EF 的长； (3) 如图③，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，
当NF AN FD =+时，请直接写出AB BC
的值．
2024年深圳市中考数学复习与检测试卷（解析版）
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（）
A．
1
2024
B．2024 C．2024
−D．
1
2024
−
【答案】A
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解：2024的倒数
1 2024
．
故选：A．
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
3.随着2024年2月第十四届全国冬季运动会临近，吉祥物成为焦点，
某日通过搜索得出相关结果约为16000000个．将“16000000”用科学记数法表示为（）
A ．61610×
B ．71.610×
C ．81.610×
D ．80.1610×
【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法；根据科学记数法计算方法计算即可；解题的关键是掌握科学记数法的计算方法．
【详解】解：716000000 1.610=×
4 . 某校10名篮球队员进行投篮命中率测试，每人投篮10次，实际测得成绩记录如下表： 命中次数（次）
5
6
7
8 9
人数（人） 1 4 3 1 1
由上表知，这次投篮测试成绩的中位数与众数分别是（ ）
A ．6，6
B ．6.5，6
C ．6，6.5
D ．7，6
【答案】B
【分析】根据中位数及众数可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
中位数为67 6.52+=，众数为6； 故选B ．
5.实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A ．55a b −>−
B ．66a b >
C ．a b −>−
D ．0a b −>
【答案】C
【分析】根据数轴判断出,a b 的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．
【详解】由图可知，0b a <<，且b a <，
∴55a b −>−，66a b >，a b −<−，0a b −>，
∴关系式不成立的是选项C ．
故选C ．
6 . 某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，AB CD ，DC 的延长线交AE 于点F ；若7535BAE AEC ∠=°∠=°，，则DCE ∠的度数为（ ）
A ．120°
B ．115°
C ．110°
D ．75°
【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到75EFC BAE ∠=
∠=°，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：∵AB CD ，75BAE ∠=
°， ∴75EFC BAE ∠=
∠=°， ∵35DCE AEC EFC AEC ∠=∠+∠∠=°，，
∴110DCE ∠=
°， 故选：C ．
7 . 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？
可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（ ）
A ． 4.521y x x y −= −=
B ． 4.521x y x y −= −=
C ． 4.512
x y y x −= −= D ． 4.512y x y x −= −= 【答案】D
【分析】设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x 尺，绳子长为y 尺， 由题意可得 4.512y x y x −= −=
． 故选：D ．
8. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，
跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为（ ）
A. 20m
B. 28m
C. 35m
D. 40m
【答案】B
【解析】 【分析】由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，根据垂径定理，得到37m 2
AD =
，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，37m AB =，7m =CD ，主桥拱半径R ，
()7m OD OC CD R ∴=−=−，
OC 是半径，且OC AB ⊥，
137m 22
AD BD AB ∴===， 在Rt △ADO 中，222AD OD OA +=，
()2
223772R R ∴+−= ， 解得：156528m 56
R =≈， 故选B
9 . 如图，DE 是ABC 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =．连接EF 并延长，
与CB 的延长线相交于点M ．若6BC =，则线段CM 的长为（ ）
A. 132
B. 7
C. 152
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形中中位线定理证得DE BC ∥，求出DE ，进而证得DEF BMF ∽，根据相似三角形的性质求出BM ，即可求出结论．
【详解】解：DE 是ABC 的中位线，
DE BC ∴∥，116322DE BC =
=×=， DEF BMF ∴ ∽， ∴22DE
DF BF BM BF BF
===， 32
BM ∴=， ∴152
CM BC BM =+=
． 故选：C ．
10.如图，已知开口向上的抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()1,0−，对称轴为直线1x =．下列结论： ①0abc >；②20a b +=；③若关于x 的方程210ax bx c +++=一定有两个不相等的实数根；④13
a >. 其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴0a ＞，
∵抛物线与y 轴交点在负半轴，
∴0c ＜，
∵对称轴为12b x a
=−=， ∴20b a −=＜，
∴0abc ＞，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为=1x ， ∴12b a
−=， ∴2=0a b +，
故②正确；
∵函数2y ax bx c ++与直线1y =−有两个交点．
∴关于x 的方程210ax bx c +++=一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵=1x −时，0y =即0a b c −+=
， ∵=2b a ，
∴20a a c ++=
，即3a c −=， ∵1c <−，
∴31a −<−， ∴13
a >， 故④正确，
故选：D
二、填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
11.分解因式：2441a a −+= ．
【答案】()2
21a −
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的两倍，
本题可以用完全平方公式．
【详解】原式()
()2222221121a a a =−××+=−． 故答案为：()221a −．
12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n 个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14
，那么黑球的个数是 ． 【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n 个黑球，摸出白球的概率为14
， ∴22n +=14
， 解得n =6，
经检验n =6是原方程的根，
故答案为：6
13. 已知关于x 的一元二次方程()2230x m x −++=
的一个根为1，则m ＝ ． 【答案】2
【分析】把1x =代入方程计算即可求出m 的值．
【详解】解：把1x =代入方程得：1(2)30m −++=
， 去括号得：1230m −−+=
， 解得：2m =，
故答案为：2
14. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】43
π 【分析】延长FA 交⊙A 于G ，如图所示：根据六边形ABCDEF 是正六边形，AB =2，利用外角和求得∠GAB =360606
°=°，再求出正六边形内角∠FAB =180°-∠GAB =180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA 交⊙A 于G ，如图所示：
∵六边形ABCDEF 是正六边形，AB =2，
∴∠GAB =360606
°=°， ∠FAB =180°-∠GAB =180°-60°=120°， ∴2120443603603
FAB n r S πππ××===扇形， 故答案为43
π． 15 . 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂40cm AC =，灯罩30cm CD =，灯臂与底座构成的60CAB ∠=
°． CD 可以绕点C 上下调节一定的角度．使用发现：当CD 与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳，
则此时点D 与桌面的距离是________．（结果精确到1cm 1.732）
【答案】50cm
【分析】过点D 作DH AB ⊥，交AB 延长线于点H ，过点C 作CF AH ⊥于F ，过点C 作CE DH ⊥于E ， 分别在Rt ACF 和Rt CDE △中，利用锐角三角函数的知识求出CF 和DE 的长，再由矩形的判定和性质得到CF EH =，最后根据线段的和差计算出DH 的长，问题得解．
【详解】过点D 作DH AB ⊥，交AB 延长线于点H ，过点C 作CF AH ⊥于F ，过点C 作CE DH ⊥于E ，
在Rt ACF 中，60A ∠=°，40cm AC =， ∵sin CF A AC
=
∴sin 60CF AC =°=，
在Rt CDE △中，30DCE ∠=
°，30cm CD =， ∵sin DE DCE CD
∠=， ∴sin 3015DE CD
=°=(cm)， ∵DH AB ⊥，CF AH ⊥，CE DH ⊥，
∴四边形CFHE 是矩形，
∴CF EH =，
∵DH DE EH =+，
∴1550DH DE EH +≈(cm)．
答：点D 与桌面的距离约为50cm ．
三、解答题（本大题共有6个小题，共50分）
16. 计算：101()2cos 451)4
π−°−+−−−. 【答案】2
【详解】分析：代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.
详解：
原式=)
4211−++
=411−+，
=2−.
17. 先化简，再求值：（1﹣31x +）÷2441
x x x −++，其中x ＝3． 【答案】1,12
x −． 【分析】先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解. 【详解】解：原式＝()2213111x x x x x −+ −÷ +++
， =()
221
12x x x x −+⋅+−， ＝
12x −， 当x ＝3时，
原式＝
1
1 32
=
−
．
18.“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．
我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽
（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，
在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4）1 4
【详解】（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．（2）如图，
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；
共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，
∴P（C粽）=
3
12
=
1
4
．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是1
4
．
19.某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：
遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，
当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．
(1)求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣10x+540；
(2)当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元
【分析】（1）设函数关系式为y ＝kx +b ，由销售单价为28元时，每天的销售量为260个； 销售单价为30元时，每天的销量为240个；列方程组求解即可；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，
再由二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设一次函数关系式为y ＝kx +b ，
由题意可得：2602824030k b k b =+ =+
， 解得：10540k b =− =
， ∴函数关系式为y ＝﹣10x +540；
（2）解：由题意可得：
w ＝（x ﹣20）y ＝（x ﹣20）（﹣10x +540）＝﹣10（x ﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，二次函数开口向下，∴当x ＝37时，w 有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．
20. 已知：如图，在ABC 中，AB BC =，D 是AC 中点，BE 平分ABD ∠交AC 于点E ，
点O 是AB 上一点，O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．
（1）试说明直线AC 与O 的位置关系，并说明理由；
（2）当2
BD=，
1
sin
2
C=时，求⊙O的半径．
解：（1）证明：如图，连接OE，
∵AB=BC且D是BC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∴OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切．
（2）∵BD=2，sinC=1
2
，BD⊥AC，∴BC=4，
∴AB=4，
设⊙O的半径为r，则AO=4-r，
∵AB =BC ，
∴∠C =∠A ，
∴sinA =sinC =1
2，
∵AC 与⊙O 相切于点E ，
∴OE ⊥AC
∴sinA =142r r =−， ∴r =43
， 经检验：r =43
是原方程的解． 21. 如图，抛物线2y x bx c =
−++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =−+．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 动点D 在直线BC 上方的二次函数图像上，连接DC ，DB ，设四边形ABDC 的面积为S ，求S 的最大值；
(3) 当点E 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相
似？若存在，请求出点Q 的坐标．
【答案】(1)223y x x =−++ (2)758
(3)存在，Q 的坐标为()0,0或()9,0 【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由DFB AOC COFD S
S S S =++△△梯形，即可求解；
（3）分AQC ECB ∽、QAC ECB △∽△、ACQ ECB △∽△三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线BC 的表达式为3y x =
−+， 当0x =时，得：3y =，
∴()0,3C ，3OC =，
当0y =时，得：03x =
−+，解得：3x =， ∴()3,0B ，3OB =，
∵抛物线2y x bx c =
−++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ， ∴9303b c c −++= =
， 解得：23
b c = = ， ∴抛物线的表达式为223y x x =
−++； （2）过点D 作DF x ⊥轴于点F ，
设()2,23D x x x −++，
∴(),0F x ，OF x =，3BF x ，
∴223DF x x =−++，
∵抛物线223y x x =
−++交x 轴于A ，B 两点， 当0y =时，得：2230x x −++=，
解得：11x =−，23x =，
∴()1,0A −，1OA =，
∵DFB AOC COFD S
S S S =++△△梯形
()()()
2211132332313222x x x x x x =−+++−−+++×× 2
3375228
x =−−+ ， 又∵302−<，即抛物线的图像开口向下， ∴当32
x =时，S 有最大值，最大值为758．
（3）存在，理由：
∵()2
22314y x x x =−++=−−+， ∴()1,4E ，
又∵()0,3C ，()3,0B ，
∴CE
BC =
BE =
∴((22222220CE BC BE ++===，
∴90ECB ∠=°， 如图所示，连接AC ，
①()1,0A −，()0,3C ，
∴1OA =，3OC =，
AC =
== ∴13AO EC CO BC ==， 又∵90AOC ECB ∠=
∠=°， ∴AOC ECB ∽，
∴当点Q 的坐标为()0,0时，AQC ECB ∽； ②过点C 作CQ AC ′⊥，交x 轴与点'Q ， ∵Q AC ′ 为直角三角形，CO AQ ⊥′，
∴90ACQ AOC ′∠=
∠=°，90AQ C CAQ ACO ′′∠=°−∠=∠， ∴ACQ AOC ′ ∽，
又∵AOC ECB ∽，
∴ACQ ECB ′ ∽，
∴
AQ EB AC EC ′== 解得：10AQ ′=，
∴()9,0Q ′；
③过点A 作AQ AC ⊥，交y 轴与点Q ，
∵ACQ 为直角三角形，CA AQ ⊥，
∴90QAC AOC ∠=
∠=°，90ACQ CQA OAQ ∠=°−∠=∠， ∴QAC AOC △∽△，
又∵AOC ECB ∽，
∴QAC ECB △∽△，
∴QC AC EB CB ==， 解得：103QC =
， ∴103Q −
，， 此时点Q 在y 轴上，不符合题意，舍去． 综上所述：当在x 轴上的点Q 的坐标为()0,0或()9,0时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似．
22. 综合与探究
在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处．
(1) 如图①，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；
(2) 如图②，当5AB =，且10AF FD ⋅=
时，求EF 的长； (3) 如图③，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，
当NF
AN FD =+时，请直接写出AB BC
的值． 【答案】(1)15° (2)3 (3)35 【分析】（1）由折叠的性质得出BC BF =，FBE CBE ∠=
∠，根据直角三角形的性质得出30AFB ∠=°，可求出答案；
（2）证明FAB EDF △∽△，由相似三角形的性质得出AF AB DE DF
=，可求出2DE =，得出3EF =，由勾股定理
求出DF =AF ，即可求出BC 的长； （3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，证明NFG BFA △∽△，12
NG FG NF BA FA BF ===，设AN x =，FG y =，则2AF y =，由勾股定理得出()()()222222x y x y +=+，解出43
y x =
，则可求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90C ∠=°，
∵将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处，
∴BC BF =，FBE CBE ∠=∠，90C BFE ∠=∠=°， ∵2BC AB =，
∴2BF AB =，
∴30AFB ∠=
°， ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC ∥，
∴30CBF AFB ∠=
∠=°， ∴1152
CBE FBC ∠=∠=°，
∴CBE ∠的度数为15°；
（2）∵将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上点F 处，
∴90BFE C ∠=
∠=°，FE CE =， 又∵矩形ABCD 中，90A D ∠=
∠=°， ∴90AFB DFE
∠+∠=°，90DEF DFE ∠+∠=°， ∴AFB DEF ∠=
∠， ∴FAB EDF △∽△， ∴AF AB DE DF
=， ∴AF DF AB DE ⋅=⋅，
∵10AF DF ⋅=
，5AB =， ∴2DE =，
∴523CE DC DE =−=−=，
∴3EF
EC ==， ∴EF 的长为3；
（3）过点N 作NG BF ⊥于点G ，
∵NF
AN FD =+， ∴1122
NF AD BC ==， ∵BC BF =，
∴12
NF BF =， ∵NFG BFA ∠=
∠，90NGF BAF ∠=∠=°， ∴NFG BFA △∽△， ∴12NG FG NF BA FA BF ===， 设AN x =，
∵BN 平分ABF ∠，AN AB ⊥，NG BF ⊥，
∴NG
AN x ==，2AB x =， 在Rt BNG △和Rt BNA 中， NG NA BN BN
= = ， ∴()Rt Rt HL BNG BNA △≌△
∴2BG
AB x ==， 设FG y =，则2AF y =， 在Rt BAF △中，222AB AF BF +=， ∴()()()222222x y x y +=+， 解得：43y x =
， ∴410233
BF BG GF x x x =+=+=， ∴23105
3
AB AB x BC BF x ===， ∴AB BC 的值为35．。