离散时间傅立叶变换ppt课件

四. 时域反转 (reflaction):
若 x(n) X (e j ), 则 x(n) X (e j )
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五. 共轭对称性 (symmetry properties):
若 x(n) X (e j ), 则 x*(n) X *(e j )
由此可进一步得到以下结论:
1. 若 x(n) 是实信号，则 x*(n) x(n)
由此推断，对离散时间信号可以期待有相似的
情况。但由于DTFT一定是以2π为周期的，因此，
频域的冲激应该是周期性的冲激串，即

X (e j0t ) 2（ 0 2 k）
k
24
对其做反变换有：
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 2
1
ax1(n) bx2 (n) aX1(e j ) bX 2 (e j )
三. 时移与频移 (shifiting):
若 x(n) X (e j ), 则
x(n n0 ) X (e j )e jn0 x(n)e j0n X (e j(0 ) )
时移特性 频移特性
kn
nN /2
当 N 时 2 k ，令
N
lim Nak
N
X（e j）

有: X（e j） x(n)e jn
DTFT
n
说明:显然 X（e j）对 是以 2 为周期的。
9
将其与 ak 表达式比较有
ak

1 N
X (e j ) 2 k N
1
基本内容
1. 离散时间傅立叶变换； 2. 常用信号的离散时间傅立叶变换对; 3. 离散时间周期信号的傅立叶变换； 4. 傅立叶变换的性质； 5. 系统的频率响应与系统的频域分析方法；
2
注释:
CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数
变化，所以积分区间是 2 。 10
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 2
表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上
分布的、幅度为 线性组合。
1 X (e j )d的复指数分量的 2
结论：
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 2

X (e j ) x(n)e jn
现在考虑一个周期性信号，周期为N，其傅立
叶级数为：
x(n)
a e jk (2 / N )n k
k N
这时，离散周期性信号的傅里叶变换就是：
X
(e
j
)

l
2
ak
(

2 k
N
)
这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从
它的傅立叶级数得到。
证明：由对离散周期信号
期序列就变成了一个非周期的序列。 因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频
谱应该是一个连续的频谱。
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对周期信号x(n) 由DFS有
x(n)
j 2 kn
ake N ,
k N
ak

1 N
j 2 kn
x(n)e N
nN
即
ak

1 N
N
/
2
~x (n)e

j
2 N
n N1
sin
2
有同样的结论:实偶信号
实偶函数
当 N1 2 时，可得到:
16
17
两点比较:
1.与对应的周期信号比较
X
(e
j
)

sin(2N1

1)

2
sin
2
ak

1 N
sin

N
k (2 N1
sin k
1) ,
N
ak

1 N
X (e j ) 2 k N
显然有
关系成立
如图所示:
X (e j )
( )
2
2 0 2 0 0 0 0

2

2 0 2 0
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例2. x(n) (n kN )
k
均匀脉冲串
ak

1பைடு நூலகம்N
x(n)e jk0n
n N

1 N
N 1
(n)e jk0n
X (e j )
1

0


当x(n)是无限长序列时，由于X（e j ) 的表达式
是无穷项级数，当然会存在收敛问题。
20
收敛条件有两组：

2
1. x(n) , 则级数以均方误差最小的准则
n
收敛于 X（e j ) 。

2. x(n) , 则 X（e j )存在，且级数一致收敛

X
(e
j
)


Im

X
(e
j
)

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2. 若 x(n) 是实偶信号，则 x(n) x(n),
x*(n) x(n) x(n) X (e j )
DTFT
对
11
二.常用信号的离散时间傅立叶变换
1. x(n) anu(n), a 1
X (e j )


ane jn
n0

1
1 ae j
通常X (e j )是复函数，用它的模和相位表示:
X (e j )
1
1 a2 2a cos
X (e j ) tg1 a sin 1 a cos
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2 周期信号的DTFT
The Fourier Transform for Periodic Signals
和连续时间情况相同，利用把一个周期信号的
变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散
时间周期信号也归并到离散时间傅里叶变换中去。
对连续时间信号，e j0t的傅里叶变换就是ω0 处 的冲激。即 2（ 0） e j0t ,
18
2.与对应的连续时间信号比较
x(t)

1, 0,
如图所示:
t T1 t T1
X ( j) 2T1 sin T1 T1
19
4. x(n) (n)

X (e j ) x(n)e jn 1 n
(n)
1 n
0
三. DTFT的收敛问题
如图所示:
n
n0
n1
n0

ae j 1 ae j

1

1 ae
j

1

1 a2
a2 2a cos
14
可以得出结论:实偶序列 实偶函数
15
3.矩形脉冲:
1, x(n) 0,
n N1 n N1
X (e j )
N1
e jn

sin(2
N1

1)

2

12
0 a 1
1 a 0
13
由图可以得到:
0 a 1 时，低通特性, （x n）单调指数衰减 1 a 0 时，高通特性, （x n）摆动指数衰减
2. x(n) a n , a 1
x(n) anu(n 1) anu(n)
1



X (e j ) ane jn ane jn ane jn ane jn
2

2 2（ 0 2 k）e jnd k
在任何一个周期内，上述积分内真正包括的只有
一个冲激，假设所选区间包括在ω0 ＋ 2πr处的冲激， 则
x(n) 1
X (e j )e jnd e j(0 2 r)n e j0n
2 2

可见, 2（ 0 2 k） e j0n k 25
DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数
CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换
DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换
N 1
2ak
k 0


2
N
(k

2N )

27


N 1
2 ak (
k 0

2
N
k)
2 N 1
2 akN (
kN

2
N
k)
3N 1
2 ak2N (
k 2 N

2
N
k)
注意到 ak 也以 N
为周期，于是有：

抓住它们之间的相似之处并关注其差别， 对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重 要意义。
5
1 非周期信号的表示
Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform
一. 从DFS到DTFT: 在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱

2 ak (
k

2
N
k)
比较: 可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的 形式是完全一致的。
28
例1.
x(n)
cos0n

1 (e j0n 2
e j0n ),
它不一定是
周期的。
当 0

2
N
k
时才具有周期性。

X (e j ) ( 0 2k) ( 0 2k) k
时,我们看到： 当信号周期N增大时，频谱的包络形状不变，
幅度减小，而频谱的谱线变密。
6
N1 2 N 10
N1 2 N 20
N1 2 N 40
Nak
k
k
k
7
当 N 时，有 0 (2 / N ) 0 ，将导致
信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。
从时域看，当周期信号的周期 N 时，周
n
于 X（e j ) 。
考察 (n) 的收敛过程，如图所示：
21
22
由图可以得到以下结论: 当以部分复指数分量之和近似信号时，也会 出现起伏和振荡;
但随着 W , x(n) 的振荡频率变高，起伏的
幅度趋小;
当 W 时，振荡与起伏将完全消失，不会出
现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。
（对L 展开）

2ak (
k N

2
N
k)

2ak
k N
(

2
N
k

2 )

2ak (
k N

2
N
k

4 )


N 1
2ak (
k 0

2
N
k)

N 1
2ak
k 0


2
N
(k

N )
x(n)

ak e jk0n ,0
k N

2
N
将x(n) 用DTFT表示为
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x(n) X (e j ) ak 2 ( k0 2 l)
k N l
X (e j )


2ak (
l k N

2
N
k
2l)
n0

1 N
X (e j ) 2 ( 2 k )
N k
N
x(n)
X (e j )
2

1

N

2N N 0 N 2N n
4 2 0
2
N
N
N
比较:与连续时间情况下对应的相一致。
4
N
30
3 离散时间傅立叶变换的性质
Properties of the Discrete-Time Fourier Transform
3
5.0 引言 Introduction
本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方 法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问 题。
DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一
些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数，
其系数
a
具有周期性。
k
4
在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散 时间非周期信号的频域描述时，可以看到， DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时 存在一些重要的区别。
X *(e j ) X (e j ), 即 X *(e j ) X (e j )
X (e j ) X (e j ) X (e j ) X (e j)
Re X (e j ) Re X (e j )
Im
于是:x(n) 1
X (e jk0 ) e jk0n ,
N k N
0

2
N

1
2
k N
X (e jk0 ) e jk0n
0
当N 时，x(n) x(n), k0 , 0 d, ,
当k 在一个周期范围内变化时，k0 在 2 范围
DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也 有某些明显的差别。
通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号 时域和频域特性之间的关系。 一、周期性 (periodic)：
若（x n） X（e j），则 X (e ) j(2 ) X (e j ) 比较：这是与CTFT不同的。
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二. 线性 (linearity):