大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅
导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）
2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+
,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=，
⎰
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=
1，则21t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
2．设)(x f 是连续函数，且满足
⎰--=2
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令⎰
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
⎰
,
解得34=
A 。

因此3
103)(2
-=x x f 。

3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22
22
-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，
由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面
22
22-+=y x z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )
(y y f e xe
=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x
y
________________. 解: 方程29ln )
(y y f e xe
=的两边对x 求导，得
因)
(29ln y f y xe
e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰
=
10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因⎰=10
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===⎰f t f g ，
因此，当0≠x 时，⎰=
x
u u f x
x g 0d )(1)(，故 当0≠x
时，
x
x f u u f x x g x )
(d )(1)(02+
-
='⎰， 这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）
⎰⎰-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe
.
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知
（1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L x y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∂∂-∂∂=--- 而D 关于x 和y 是对称的，即知
因此 （2）因 故 由 知 即 2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe
五、（10分）已知x
x
e
xe y 21+=，x
x e
xe y -+=2，x x
x e e
xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐
次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设x
x
e
xe y 21+=，x
x
e
xe y -+=2，x x
x
e e
xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程
的三个解，则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由
)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，
111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及
直线1=x 所围图形的面积为
3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是 即
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ， 得 即 因此
4
5
-=a ,23=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x
n n n
, 且n
e
u n =
)1(, 求函数项级数∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+='， 即
由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由
)1
()1(n
C e u n e n +==知，0=C ， 于是
下面求级数的和：
令 则 即
由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x
，得C S ==)0(0，因此级数∑∞
=1
)(n n x u 的和
八、（10分）求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x
等价的无穷大量.
解 令
2
)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2
()2ln 0t f t tx x '=<，故
x
t t e
x t f 1ln
22
)(-==在(0,)+∞上严格单调减。

因此
即
()d ()1()d n f t t f n f t t ∞
+∞+∞=≤≤+∑⎰
⎰
，
又
2
()n n n f n x
∞
∞
===∑∑，
21ln
1d 1ln
1d d d )(0
1ln
2
22
π
x
t e x
t e
t x t t f t x
t t =
=
==⎰⎰⎰
⎰
∞+-∞
+-∞+∞+，
所以，当-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x
等价的无穷大量是
x
-121π。

2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，
主要是一些各大高校的试题。

） 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n
n
x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞
（2）求2
1lim 1x x
x e
x -→∞
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭。

（3）设0s >，求0
(1,2,)sx n I
e x dx n ∞
-==⎰L 。

（4）设函数()f t
有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，求2222g g x y ∂∂+
∂∂。

（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨
=⎩
与直线2213
:421x y z l ---==
--的距离。

解：（1）22(1)(1)(1)n
n x a a a =+++L =22(1)(1)(1)(1)/(1)n
n x a a a a a =-+++-L
=2
22(1)(1)(1)/(1)n
a
a a a -++-L =L =1
2(1)/(1)n a a +--
(2) 2
2
211
ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x
x x x e e e
x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭
令x=1/t,则
原式=2
1(ln(1))
1/(1)1
12(1)
22
lim lim lim t t t t t
t
t t t e
e
e
e +-+--
-
+→→→===
（3）0000112021
011()()[|](1)!!
sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s
n n n n n n e x dx I I I s s s s s
∞∞∞---∞
-∞----+==-=--=
-=====⎰⎰⎰⎰L
二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且
()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞
→-∞
''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。

证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。

解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0，所以
lim ()x f x →+∞
=+∞，lim ()x f x →-∞
=-∞
证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2
2(1)()
x t t t y t ψ⎧=+>-⎨
=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2
2
1
3
2t u y e du e
-=
+
⎰
在1t =出相切，求函数()t ψ。

解：（这儿少了一个条件22
d y
dx
=）由()y t ψ=与2
2
1
3
2t u y e du e
-=
+
⎰
在1t =出相切得 3(1)2e ψ=
，'
2(1)e
ψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)
2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设1
0,,n
n n k k a S a =>=
∑证明：
（1）当1α
>时，级数1n
n n
a S α
+∞
=∑
收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n
n n
a S α
+∞
=∑
发散。

解：
（1）n a >0, n s 单调递增
当
1n
n a
∞
=∑收敛时，1
n n n a a s s αα
<Q
，而1n a s α收敛，所以n
n a s α收敛； 当
1
n
n a
∞
=∑发散时，lim n n s →∞
=∞
所以，1111
121
1n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x ααααα-∞
∞==<+=+∑∑⎰⎰
而
1
11111
1111lim 11
n
s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰
，收敛于k 。

所以，
1n
n n
a s α∞
=∑收敛。

（2）lim n n s →∞
=∞Q
所以
1
n
n a
∞
=∑发散，所以存在1k ，使得
1
12
k n
n a
a =≥∑
于是，1
1
112221
2k k k n n n n n
k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑
依此类推，可得存在121...k k <<<
使得1
12i i k n k n a s α+≥∑成立，所以11
2N
k n n
a N s α
≥⋅∑ 当n →∞时，N
→∞，所以1n
n n
a s α
∞
=∑
发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2
2
2
1)αβγ++=的直线，均匀椭球
222
222
1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。

（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 由轮换对称性， （2）a b c >>Q
∴当1γ=时，22max 4
()15
I abc a b π=
+ 当1α
=时，22min 4
()15
I abc b c π=
+ 六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分
422()c
xydx x dy
x y ϕ++⎰Ñ的值为常数。

（1）设L 为正向闭曲线2
2
(2)1,x y -+=证明
422()0;c
xydx x dy
x y ϕ+=+⎰Ñ （2）求函数()x ϕ；
（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()c
xydx x dy x y ϕ++⎰Ñ。

解：
（1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线3L ，使之包围原
点。

则有
（2） 令4242
2()
,xy x P Q x y x y
ϕ=
=++ 由（1）知
0Q P x y
∂∂-=∂∂，代入可得 上式将两边看做y 的多项式，整理得 由此可得
解得：2
()x x ϕ=-
（3） 取'
L 为4
2
4
x y ξ+=，方向为顺时针
2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，
主要是一些各大高校的试题。

）
一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求
1
1cos 0sin lim x
x x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
解：（用两个重要极限）：
（2）.求1
11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝
⎭； 解：(用欧拉公式）令111
...12n x n n n n
=+++
+++ 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量，
（3）已知()2ln 1arctan t
t
x e y t e ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩
，求22d y
dx。

解：222222221211,121121t
t t t t t t t t t
t
e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

解：设24,1P
x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy +=
1,P Q y x ∂∂==∴∂∂Q 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+
,P Q y x
∂∂=∴∂∂Q 该曲线积分与路径无关
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均
不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得
()()()()
1232
230lim
0h k f h k f h k f h f h
→++-=。

证明：由极限的存在性：()()()()1230
lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦
即
[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①
由洛比达法则得 由极限的存在性得()()()'''
1230
lim 22330h k f h k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦ 即
()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=②
再次使用洛比达法则得
123490k k k ∴++=③
由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231
230490
k k k k k k k k k ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩的解
设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则Ax b =， 增广矩阵*
111110031230010314900011A ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
:，则()(),3R A b R A ==
所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意，
且1
233,3,1k k k ==-=。

四．（本题17分）设2221222
:1x y z a b c ∑++=，其中0a b c >>>，222
2:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222
222,,1x y z F x y z a b c
=++-， 则'
''222222,,,x y z x y z F F F a b c
===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：
222,,,x y z t a b c ⎛⎫
=∴ ⎪⎝⎭
r 1∑在点M 处的切平面为∏：
原点到平面
∏
的距离为d =
，令()222
444,,,x y z G x y z a b c =++ 则
1d =
现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件222222
1x y z a b c ++=，222z x y =+下的条件极值，
令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭
则由拉格朗日乘数法得：
'1242'12
42'124
2222
22222222202220
222010
0x y z x
x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a
b c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪
⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪
⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩
， 解得2222
220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩
或22
22220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪
=⎩， 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()
44
2222,,a c G x y z a c a c +=+
此时的1d =
2d =
又因为
0a b c >>>，则12d d <
所以，椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：
2d =
1d =五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231
x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）
取上侧，
∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν
表示S 的正法向的方向余弦。

计算：
（1）(),,S
z
dS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰
解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2
22310x y z z ++=≥
令
22231,F x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===，
切平面∏的法向量为(),3,n x y z =r
，
∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=，
原点到切平面
∏的距离(
)222,,x y z ρ=
=
将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥
(2)方法一：
3x y z λμν=
==
六．（本题12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，
其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11
n n n a a ∞
-=-∑绝对收敛。

证明：()()112ln ln n
n n n a a f a f a ----=-
由拉格朗日中值定理得：
ξ∃介于12,n n a a --之间，使得
()()
()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=
-，又()()f mf ξξ<、
得
()()
'f m f ξξ<
∴级数110
1
n n m a a ∞
-=-∑收敛，
∴级数1
1
n n n a a ∞
-=-∑收敛，即
()11
n
n n a
a ∞
-=-∑绝对收敛。

七．（本题15分）是否存在区间
[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，
()()2
01,1f
x f x dx ≤≤⎰、
？请说明理由。

解：假设存在，当[]0,1x ∈时，由拉格朗日中值定理得：
1ξ∃介于0，x 之间，使得()()()'10,f x f f x ξ=+， 同理，当[]1,2x ∈时，由拉格朗日中值定理得：
2ξ∃介于x ，2之间，使得()()()()'222f x f f x ξ=+-
即()()[]()()()[]''
121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤Q 、，
显然，
()()2
0,0f x f x dx ≥≥⎰
()()()()()1
2
2
1
2
1
1
111133
x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()2
1f x dx ∴≥⎰，又由题意得
()()22
1,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰
即
()2
1f x dx =⎰
，()[][]
1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在，又因为f(x)是在区间[]0,2上的连续可微函数，即()'1f 存在，矛盾，故，原假
设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。