2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)

x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
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x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
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4．已知圆
x＝cos θ， C y＝－1＋sin
θ
与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，
求实数 a 的取值范围．
x＝cos θ， 解：法一：∵ y＝－1＋sin
[解]
根据圆的特点，结合参数方程概念求解．
如图所示，
设圆心为 O′，连 O′M，∵O′为圆心， ∴∠MO′x＝2φ.
x＝r＋rcos ∴ y＝rsin 2φ.
2φ，
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(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件， 否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成
x＝r＋rcos y＝rsin φ.
φ，Biblioteka (2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
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1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
x＝1＋cos 参数方程为 y＝sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
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2．已知点 P(2,0)，点 Q
逆 时针旋
OM
的位置时，OM0 转过的角度．
(3)若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程 为
x＝x ＋Rcos θ 0 y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜2π) ．
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[例1]
圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，
以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程． [思路点拨]
半径为 r
为参数)．其中参数
t 的物理意义是： 质点做匀速圆周运动的时间 ．
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(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半 径为 r
x＝rcos θ 的圆的参数方程为y＝rsin θ (θ
为参数)．其中参数 θ
的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 转到
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
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[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
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法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4