2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学(文)试题 Word版
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学（文）试题一、单选题1．设i 为虚数单位，则复数()2z i i =-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的乘法将()2z i i =-化为a bi +的形式,则它在复平面对应的点为(),a b ,判断点所在的象限即可【详解】由题,()212z i i i =-=+,则在复平面上对应的点为()1,2,在第一象限, 故选：A 【点睛】考查复数与复平面的对应关系,考查复数的乘法,属于基础题 2．下列图中的两个变量是相关关系的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③【答案】D【解析】①是函数关系,②③④由散点图的形状进行判定 【详解】①具有确定的函数关系；散点图上所有的点在一条直线附近波动,则为线性相关,则②符合； 若散点图上所有的点在一条曲线附近波动,则为非线性相关,则③符合； 故选：D 【点睛】本题考查由散点图反应变量的相关性,属于基础题3．已知回归直线斜率的估计值为1.32，样本点的中心为点()23，，则回归直线的方程为（ ） A ．$1.324y x =+ B ．$1.325y x =+ C ．$1.320.36y x =+D ．$0.08 1.32y x =+【答案】C【解析】由回归直线恒过样本点的中心,则将点()2,3代入ˆˆ1.32yx a =+中求解即可 【详解】由题,设回归直线方程为ˆˆ1.32yx a =+, 因为点()2,3在直线上,所以ˆ3 1.322a =⨯+,即ˆ0.36a =, 所以回归直线方程为ˆ 1.320.36yx =+, 故选：C 【点睛】本题考查回归直线方程,属于基础题 4．设103iz i=+，则z 的共轭复数为 A ．13i -+ B ．13i --C ．13i +D ．13i -【答案】D【解析】试题分析：()()()1031013,333i i i z i z i i i -===+∴++-的共轭复数为13i -，故选D ． 【考点】1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．5．用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以”你认为这个推理（ ）． A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确【答案】A【解析】：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误。
2019-2020学年重庆市三峡名校联盟高二上学期联合考试数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市三峡名校联盟高二上学期联合考试数学试题一、单选题1．将选项中所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到下图所示的几何体的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由几何体的轴截面特征直接判断即可。
【详解】由题可得：该几何体的轴截面是关于直线l 对称的， 并且l 的一侧是选项B 中的三角形形状。
故选：B 【点睛】本题主要考查了空间思维能力及关于直线旋转的几何体特征，属于基础题。
2．设k 为实数，则方程()1y k x =+表示的图形是（ ） A ．通过点()1,0的所有直线 B ．通过点()1,0-的所有直线C ．通过点()1,0且不与y 轴平行的所有直线D ．通过点()1,0-且不与y 轴平行的所有直线 【答案】D【解析】由直线方程的斜截式判断，再由直线方程得到过定点判断。
【详解】由直线方程的斜截式可知，直线斜率为k ，故直线不能与y 轴平行。
再由直线方程得到过定点()1,0-，【点睛】本题考查了直线方程的斜截式及过定点问题。
3．已知命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，则命题 P 的否定为（ ） A ．,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥ B ．,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥ C ．00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D ．00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果. 【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y ”。
故选D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.4．如图，正方形O A C B ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（ ）A ．22B 2C ．2(13)D ．6【答案】A【解析】由题意求出直观图中O B ''的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的底和高，求出面积即可. 【详解】由正方形O A C B ''''的边长为1cm ，所以2O B ''=O A C B ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，所以它对应的原图为平行四边形高为222''=O B 1，所以原图形的面积为12222⨯=故选：A 【点睛】本题主要考查斜二测画法，属于基础题.5．已知m ，n 为两条直线，,αβ为两个平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若n αP ，n βP ，则αβ∥ B ．若m αP ，n αP ，则m n P C ．若m α⊥，n β⊥，则αβ∥ D ．若m α⊥，m β⊥，则αβ∥【答案】D【解析】A 项中，当直线平行于两相交平面的交线时，则直线与两平面都平行；B 项中，平行于同一平面的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；C 项中，因为m 与n 关系不确定，所以由m α⊥，n β⊥无法确定α与β间关系；D 项中，垂直于同一直线的两平面平行，即可得出结论. 【详解】A 项中，若n αP ，n βP ，则α与β平行或相交，故A 错；B 项中，若m αP ，n αP ，则m 与n 平行、相交、异面均有可能，故B 错；C 项中，若m α⊥，n β⊥，因为m 与n 关系不确定，所以无法确定α与β间关系，故C 错；D 项中，若m α⊥，m β⊥，由垂直于同一直线的两平面平行可得αβ∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，解题的关键熟练掌握空间中线、面关系.6．过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=或+30x y -=D ．20x y -=或10x y -+=【答案】D【解析】设直线方程为(1)2y k x =-+，计算截距得到2210k k--+=，计算得到答案. 【详解】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为(1)2y k x =-+，则截距和为：2210k k--+=解得1k =或2k = 故直线方程为：1y x =+和2y x = 故选：D 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.7．在ABC ∆中，“0AB AC ⋅<u u u r u u u r”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】由0AB AC ⋅<u u u r u u u r可得出角A 为钝角，然后再利用充分条件、必要条件定义得出两条件之间的关系.【详解】cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅<u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，cos 0A ∴<，则A 为钝角，∴“0AB AC ⋅<u u u r u u u r”⇒“ABC ∆是钝角三角形”，另一方面，“ABC ∆是钝角三角形”⇒“A 是钝角”.因此，“0AB AC ⋅<u u u r u u u r”是“ABC ∆为钝角三角形”的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，要结合充分条件与必要条件的定义来判断，考查推理能力，属于中等题. 8．圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A ．40π B ．52πC ．50πD ．2123π 【答案】B【解析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长 为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积. 【详解】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 则624EC =-= 由5CD = 故3DE = 即圆台的高为3, 所以圆台的体积为222213(2626)523V πππππ=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=. 故选B ． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．9．已知圆心(,)a b (0,0)a b ><在直线21y x =-+上，且与x 轴相切，在y 轴上截得的弦长为5程为（ ）A ．22(3)(5)25x y -++=B ．22(2)(3)9x y -++=C ．22(1)(1)1x y -++=D ．222749339x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】B【解析】由题意可分析出圆的半径为b ，圆心到y 轴的距离为a ，y 轴上截得的弦长为25弦长的一半和半径正好构成直角三角形，由勾股定理可列出等式2225=+b a ，再由圆心(,)a b 在直线21y x =-+上，所以21b a =-+，联立方程求出a ，b 的值，写出椭圆方程即可.【详解】因为圆心(,)a b (0,0)a b ><在直线21y x =-+上，所以将圆心(,)a b 代入直线方程可得21b a =-+①，因为圆与x 轴相切，所以圆的半径为b ，圆心到y 轴的距离为a ，又因为在y 轴上截得的弦长为25可得2225=+b a ②，联立①②可得222215b a b a =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，又因为0,0a b ><，所以可解得2a =，3b =-，所以圆心为(2,3)-，半径为3，所以圆的方程为22(2)(3)9x y -++=. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是运用数形结合的思想解题.10．若圆()()22235x y r -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1，则半径r 的范围是（ ） A ．(]4,6 B ．[)4,6C ．()4,6D ．[]4,6【答案】C【解析】先求出圆心到直线的距离d ，再根据有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1得到半径的范围为()1,1d d -+．【详解】圆心坐标为()3,5-，它到直线432x y -=的距离为2234532543d ⨯+⨯-==+，因为有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1，故半径()1,1R d d ∈-+， 所以()4,6R ∈．故选C ． 【点睛】若圆的圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，（1）若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m ，则0d r m ≤<-； （2）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为m ，则d r m =-； （3）若圆上有且仅有四个点到直线的距离为m ，则r m d r m -<<+； （4）若圆上有且仅有一个点到直线的距离为m ，则d r m =+.11．如果底面是菱形的直棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，60ABC ︒∠=，E ，M ，N 分别为,AB ,BC 1CC 的中点，现有下列四个结论：①CE ⊥平面11CC D D ②1A B MN ∥③1AD ∥平面1A MN ④异面真线1D C 与MN 所成的角的余弦值为34，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据线面垂直的性质可判断①正确；由1MN BC P 可知1A B 与MN 为异面直线，故②错误；根据线面平行的性质可判断③正确；根据异面直线1D C 与MN 所成的角即为11A BC ∠，可求出其余弦值. 【详解】如图，①连接AC ，CE ，因为60ABC ︒∠=，AB BC =，所以ABC ∆为等边三角形，又E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥，因为1111ABCD A B C D -为底面是菱形的直棱柱，所以AB CD ∥，所以CE CD ⊥，因为1CC ⊥底面ABCD ，又CE ⊂底面ABCD ，所以1⊥CC CE ，又因为1=I CC CD C ，所以CE ⊥平面11CC D D ，故①正确； ②连接1A B ，MN ，1C B ，因为M ，N 分别为BC ，1CC 的中点，所以1MN BC P ，又11A B BC B ⋂=，所以1A B 与MN 为异面直线，故②错误；③连接1AD ，所以11AD BC P ，又1MN BC P ，所以1∥MN AD ，又因为MN ⊂平面1A MN ，1AD ⊄平面1A MN ，，所以1AD ∥平面1A MN ，故③正确；④连接1A B ，所以11D C A B P ，又1MN BC P ，所以异面真线1D C 与MN 所成的角即为11A BC ∠，设1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，则112=A BC B 111=AC ，由余弦定理可知113cos 4222==⨯⨯∠BC A ，故④正确.所以正确的有①③④.故选：C 【点睛】本题主要考查空间几何体中线面关系，要重点考查线面垂直、线面平行的性质，以及异面直线所成角的求法. 12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ） A 6 B 7C 10D 11【答案】C【解析】设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值，由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即 【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以()22=-+MQ x a y 1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2212⎛⎫=++ ⎪⎝⎭PQ x y ，因为||||MQ MP λ=且2λ=()2222212-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭x a y x y，整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB ，因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为()()22121010=++-=BQ .故选：C 【点睛】本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短.二、填空题13．若“x a >”是“2x >”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(2,)+∞【解析】根据“x a >”是“2x >”的充分不必要条件，可知{}x x a >是{}2x x >的子集，由集合间关系即可求出. 【详解】因为“x a >”是“2x >”的充分不必要条件，所以2>⇒>x a x ，所以2a >. 故答案为：(2,)+∞ 【点睛】本题主要考查充分、必要条件，解题的关键是会分析充分必要条件与集合间关系.14．已知12,F F 为椭圆221259x y += 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ， 两点，若2212F A F B += ，则||AB = ________【答案】8【解析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF 2的周长为4a ＝20，再由周长，即可得到AB 的长． 【详解】椭圆22259x y +=1的a ＝5，由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ，则三角形ABF 2的周长为4a ＝20， 若|F 2A |+|F 2B |＝12， 则|AB |＝20﹣12＝8． 故答案为：8 【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题． 15．过点(3,1)P 且与圆224x y +=相切的直线方程 ___． 340x y +-=【解析】解：因为点3,1)P 在圆上，则过圆上点的切线方程为00434xx yy x y +=∴+=340x y +-=16．已知底面边长为a 的正三棱柱111ABC A B C -（底面是等边三角形的直三棱柱）的六个顶点在球1O 上，且球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，则球1O 与球2O 的表面积之比为________. 【答案】5: 1【解析】设球1O 与球2O 的半径分别为R ，r ，由题意分析球2O 的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径，且等于正三棱柱高的一半，求出其半径r ，再由球1O 的球心在上下底面中心连线的中点上，求出半径R ，再由球的表面积公式求出比值即可. 【详解】设球1O 与球2O 的半径分别为R ，r ，因为球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，所以球2O 的半径等于正三棱柱底面正三角形内切圆的半径，且等于正三棱柱高的一半，如图所示，因为正三棱柱111ABC A B C -底面边长为a 的正三棱柱，所以AB a =，所以233323=⨯=AE a a ，133236===⨯=r DE OE a a ，因为正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点在球1O 上，所以球1O 的球心在上下底面中心连线的中点上，所以222222233512⎫⎫==+=+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭R OA OE AE a ，所以球1O 与球2O 的表面积之比为22222254125436ππ===⎛⎫⎪⎝⎭aR Rr r a ，所以表面积之比为5: 1.故答案为：5: 1 【点睛】本题以三棱柱为依托，考查正三棱柱外接球及内切球的性质，考察了空间想象能力，逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题17．已知:,p x R ∀∈cos x m >，q :方程22184x ym m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，（1）若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有一个为真命题且另一个为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m ≥-（2）2m ≤-或14m -≤<【解析】（1）令p 为真命题，求出m 的范围，则命题p 为假命题时，取补集即可；（2）令命题q 为真命题，求出对应的m 范围，由命题p 和命题q 中有一个为真命题且另一个为假命题，则分情况p 真q 假和p 假q 真讨论，求出m 的取值范围即可. 【详解】（1）若p 真；则cos x m >恒成立，所以1m <-； 则当P 为假时，1m ≥-.（2）若q 真，方程22184x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，则8440m m m +>-⎧⎨->⎩， 即：24m -<<则m 的取值范围是(2,4)-.若p 真q 假，则142m m m <-⎧⎨≥≤-⎩或，所以2m ≤-；若p 假q 真，则124m m ≥-⎧⎨-<<⎩，所以14m -≤<；综上，2m ≤-或14m -≤<. 【点睛】本题主要考查真假命题，熟练掌握命题的真假与集合补集间关系. 18．已知圆221:1C x y +=与圆222:60C x y x m +-+=. （1）若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线l 与圆2C 的相交弦长为23(2,1)，求直线l 的方程. 【答案】（1）5m =；（2）直线l 方程为：2x =或1y =【解析】（1）先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再由由圆1C 与圆2C 外切，可知两圆心的距离等于两圆半径之和，代入数据求解即可；（2）分析可知弦的垂直平分线过圆心，由勾股定理可求出圆心到直线的距离，再由直线l 过点(2,1)，可设出直线方程，分斜率存在和不存在两种情况，求出方程即可. 【详解】（1）221x y +=Q ，1(0,0),C ∴11r =，2260x y x m +-+=Q ，22(3)9x y m ∴-+=-，2(3,0)C ∴，29r m -，Q 圆1C 与圆2C 外切，1212C C r r ∴=+，319m ∴=-5m ∴=；（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为22(3)4,x y -+=2(3,0),C 22r =，设圆心2C 到直线l 的距离d ，因为直线l 与圆2C 的相交弦长为23则有22223=+r d ，代入数据解得1d =，当直线l 无斜率时：直线方程为2x =.符合题意. 当直线l 斜率为k 时，则直线方程为1(2)y k x -=-， 化为一般形式为210kx y k --+=， 则圆心(3,0)到直线l 的距离211d k ==+，解得0k =.综上，直线l 方程为：2x =或1y =.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，求直线方程时要分析斜率是否存在.19．如图，已知三棱锥A -BPC 中，,AP PC ⊥AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：DM P 平面APC ；（2）若4BC =，10AB =，求三棱锥D -BCM 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（253【解析】（1）因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，由中位线定理可得MD AP P ，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意得M 到平面BCD 的距离为MD 的长，由三棱锥D -BCM 的体积即为三棱锥M -BCD 的体积，由题设条件求出MD 的长，及三角形BCD 的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可. 【详解】（1）证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， 所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P . 又MD Ë平面APC ，AP ⊂平面APC ， 所以MD P 平面APC .（2）在等边三角形PMB 中，D 为PB 的中点，MD PB ∴⊥，AP PB ∴⊥，又AP PC ⊥，PB PC ⊂、平面PBC ，PB PC P ⋂=，AP ∴⊥平面PBC ，MD ∴⊥平面PBC ， BC ⊂Q 平面PBC ，AP BC ∴⊥，又BC AC ⊥Q ，PA AC ⊂、平面P AC ，PA AC A =I ，BC ∴⊥平面P AC ，∴⊂PC 平面PBC ，BC PC ∴⊥.MD ⊥Q 平面PBC ，即MD 是三棱锥M -DBC 的高.又因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以5PB MB ==，532=MD ， 由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由5,PB =4BC =，可得3PC =. 于是111433222∆∆==⨯⨯⨯=BCP BCD S S , 所以M D B BCM D C V V --=13∆=⋅BCD S MD 153332=⨯⨯53=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.20．已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0).（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦距. （2）若3m =，求||PA 的最大值与最小值.【答案】（1）23（2）||PA 的最大值为5，最小值为22. 【解析】（1）由M 与A 重合，可得椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，即2m =，再由222c a b =-即可求出c 的值，从而求出焦距2c ；（2）设(),P x y ，利用两点间的距离公式及点P 坐标满足椭圆方程，得到||PA 关于x 的一元二次方程，根据二次函数的性质求出||PA 的最大值与最小值即可. 【详解】（1）根据题意，若M 与A 重合，即椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，则2m =，所以椭圆的方程为：2214x y +=，其焦点在x 轴上，设焦距为2c ，所以有2413=-=c 则3c =，所以椭圆焦距为3（2）若3m =，则椭圆的方程为2219x y +=，变形可得2219x y =-，设(),P x y ，则222||(2)PA x y =-+228894125994⎛⎫=-+=- +⎪⎝⎭x x x (33)x -≤≤根据二次函数的性质，可得3x =-时，2||PA 取得最大值25，当94x时，2||PA 取得最小值12， 所以||PA 的最大值为5，最小值为22. 【点睛】本题主要考查椭圆知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握并应用椭圆的有关性质. 21．如图，在直角梯形中，，，且，点是中点，现将沿折起，使点到达点的位置.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【解析】第（Ⅰ）问先证平面，由线面垂直证明面面垂直；第（Ⅱ）问先找垂直关系后建立空间直角坐标系，利用向量法求出两面的法向量，进而求所成二面角的余弦值. 【详解】解：（Ⅰ）证明：∵，，点是中点，∴，，∴四边形为平行四边形，∴， 又，∴， ∴，，∴平面，∴平面， 又∵平面，∴平面平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∴即为与平面所成的角，∴， ∵平面，∴，∴为等腰直角三角形，∴，故为等边三角形， 取的中点，连结，则，∵平面，又平面，∴平面平面，又平面，∴平面，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，设，则，，，，从而，，设平面的一个法向量为，则由得，令得，又平面的一个法向量，则，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题是一道立体几何综合题，考查面面垂直的证明及二面角的求解。
2019-2020学年重庆市高二上学期联考数学(文)试题及答案
①，由于 0,2 ,2，所以“ 0 x 2”是“ x 2 ”成立的充分不 必要条件，所以①错误. ②，根据否命题的知识可知，②正确. ③，特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所
以③错误. ④，由于“ p ”与命题“ pq”都是真命题，所以 p 假 q 真，所 以④正确. 综上所述，真命题的个数是 2 个. 故选：C.
当 x2,0时， f x 2x2 ，则 f 10 =（
）
A． 2
B．2
C． 98
D．98
【答案】A
【解析】利用已知条件，化简求得 f 10 的值.
【详解】
由于 f x 是定义在 R 上的偶函数，且 f x 3 f x ，当 x2,0时， f x 2x2 ，所以
f 10 f 7 3 f 43 f 4 f 1 3 f 1 f 2 3 f 2
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真命题，那么命题 q 一定是真命题；其中为真命题的个数
是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C
【解析】根据充分、必要条件的知识，判断①的正确性；
根据否命题的知识，判断②的正确性；根据特称命题的否
定是全称命题的知识，判断③的正确性；根据含有逻辑联
结词命题真假性的知识，判断④的正确性. 【详解】
A． 1,
B． 0,3
C． 1, 3
D． 1,3
【答案】C
【解析】利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性
质，求得函数在区间 1,4上的值域.
【详解】
由于 y x 22 1，函数的对称轴为 x 2 ，开口向上，所以 当 x 2时函数有最小值为 1，当 x 4时，函数有最大值为 3 ，
直.
重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题
2019—2020学年度第二学期期末七校联考高二数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名.准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若21izi=+（其中i是虚数单位）,则z=（）A. 1B. 22 D. 4【答案】C【解析】【分析】化简求出z再根据模长公式求解z即可.【详解】()()()2121111i iiz ii i i-===+++-,故22112z=+=故选：C【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长公式.属于基础题.2.为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（）A. 0.97B. 0.86C. 0.65D. 0.55 【答案】A【解析】【分析】在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55， 根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好， 可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97． 故选：A ．【点睛】本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.1C. 0.15D. 0.2【答案】B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.4.曲线2y x lnx =+在点()1,1处的切线方程为（ ） A. 320x y --=B. 320x y -+=C. 340x y +-=D.340x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】 由题求得12y x x'=+，进而求得1|3x k y =='=，根据直线的点斜式方程求得在点()1,1处的切线方程即可.【详解】解：由题知12y x x'=+，故1|3x k y =='=， 故在点()1,1处的切线方程为()131y x -=-，化简整理得320x y --=. 故选：A.【点睛】本题主要考查用导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题.5.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B ､C ､D 中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择，其他号码只想在1､3､6､9中选择，则他车牌号码可选的所有可能情况有（ ） A. 180种 B. 360种 C. 720种 D. 960种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码､第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法， 第二个号码只能从字母B ､C ､D 中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法， 则共有5×3×64=960种， 故选：D.【点睛】本题考查排列､组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有4×4×4种选法，而不是A 43种，属于基础题.6.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A.85B.65C.45D.25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =，3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程8. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A. 12种 B. 18种C. 24种D. 48种【答案】C 【解析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.9.下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：11ˆyb x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,32)，根据剩下数据，得到线性回归方程：22ˆyb x a =+，相关系数为2r ；则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<<【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可判断正负相关，得出12,r r 为正，再结合剔除点前后的回归直线，即可比较出12,r r . 【详解】由散点图分布图可知,变量x 和y 成正相关，所以1201,01r r <<<< ， 在剔除点(10,32)之后，且可看出回归直线22ˆyb x a =+的线性相关程度更强,2r 更接近1. 所以1201r r <<< . 故选:A.【点睛】本题主要考查散点图的正负相关以及变量的相关性，相关系数r 的意义：①当散点分布呈正相关，0r >；负相关，0r <；②0||1,||r r <<越接近1，说明两个变量越具有线性相关关系，即线性关系越强.10.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题. 11.有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（ ） A. 216 B. 729 C. 540 D. 420【答案】C 【解析】 【分析】首先确定各医院所去医生人数，先分类：1,1,4；1,2,3；2,2,2，这样第一步把6名医生按这个数字分组，然后三组分到三个医院，分组中要注意平均分组和不平均分组有． 【详解】人数进行分组共有三种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2，若分组分1,1,4，共有4113621132290C C C N A A ⋅⋅=⋅=；若分组分1,2,3，共有321326313360N C C C A =⋅⋅⋅=；若分组分2,2,2，共有2223642333390C C C N A A ⋅⋅=⋅=.∴不同分派方法种数为540N =. 故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查平均分组和不平均分组问题，实际解题中还要注意分组后组与组之间有无区别．12.已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ） A. 16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D. 746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 下面讨论()g x 的单调性：当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减；当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,x e ∈时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e >时，令()0g x '=，解得1x a=，故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥⎪⎝⎭， 即可得111,154lna ae +<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置） 13.若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z 的虚部为______. 【答案】3- 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则可得出复数z 的一般形式，进而可得出复数z ，由此可得出结果. 【详解】因为()3223z i i i =-=+，所以23z i =-，故z 的虚部为3-. 故答案为：3-.【点睛】本题考查共轭复数虚部的求解，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.14.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A =“取出的两个球颜色不同”，事件B =“取出一个红球，一个白球”，则()|P B A =________________.【答案】313【解析】 【分析】先分别求出事件A 、B 选法种数，由古典概率和条件概率公式可求得答案.【详解】事件A 的选法有11111123243426C C C C C C ++=种，事件B 的选法有11236C C =种，所以292626()45P A C ==，2962()15P AB C ==，()()3()13P AB P B A P A ==∣.故答案为：313. 【点睛】本题考查古典概率和条件概率公式，属于基础题. 15.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．【答案】125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．16.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种． 【答案】20 【解析】 【分析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出．【详解】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种，当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种， 综上故有10+10＝20种， 故答案为20.【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.三､解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256.（1）求n ；（2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）8；（2）28. 【解析】 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11rn rrr nT C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝()84833881rr rr r Cx C x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题．18. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. （Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）分布列见解析，期望52． 【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则5431()=6542P A =⨯⨯ （Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==⨯==⨯⨯ 所以X 的分布列为所以1125E()1236632X =⨯+⨯+⨯=． 考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．19.已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 【答案】（1）4a b ==；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为44y x =+，建立方程，即可求得a ，b 的值；（2）利用导数的正负，可得()f x 的单调性，从而可求()f x 的极大值．试题解析：（1）()()24x f x e ax a b x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=． 故4b =，8a b +=． 从而4a =，4b =． （2）由（1）知，()()2414xf x ex x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-． 从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当()2,ln 2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减． 当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e--=-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x处取极小值．20.对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：分值[)0,10 [)10,20 [)20,30 [)30,40场数 10204030（1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率.（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.（结论不要求证明）（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分.【答案】（1）0.72；（2）甲更稳定；（3）2380.. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算，即可得出结果；（2）根据频率分布直方图与统计表，分析成绩的集中程度，即可得出结论；（3）根据频率分布直方图，由每组中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平分值. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048100.024100.480.240.72⨯+⨯=+=；即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72；（2）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中在[)20,30，由乙的得分统计表可得，乙的成绩比较分散，所以甲更稳定； （3）因为组距为10，所以甲在区间[)[)[)[)0,10,10,20,20,30,30,40上得分频率值分别为8100，20100，48100，24100. 设甲的平均得分为S ， 则()5815202548110035242380S ⨯+⨯+⨯+==⨯．. 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求概率，以及求平均值等问题，属于基础题型. 21.随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.（1）根据已有数据，完成下列22⨯列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcxa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】（1）填表见解析，在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；（2）分布列见解析，()12 5E X=.【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意34,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，由此求出随机变量X的分布列和数学期望.【详解】（1）根据题意填写22⨯列联表如下：计算观测值()2210022123828326.635505060403K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法抽取一人，抽到经常使用网络搜题的学生的概率为6031005=. 由题意34,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()040433160155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()31433961155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()2224332162155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()334332163155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()44433814155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为：()312455E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题. 22.已知函数()ln(1)(1)1(R)f x x k x k =---+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()2*ln 2ln 3ln 4ln 2,N 34514n n nn n n -+++⋯+<≥∈+. 【答案】（1）函数()f x 的递增区间为1(1,)k k+，函数()f x 的递减区间为1(1,)k ++∞；（2）1k ；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数()f x 求导得1()1k kxf x x +-'=-，对k 进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，0k ≤时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，而(2)0f >，()0f x ≤不成立，故0k >，由（1）可得max 1()(1)f x f k=+，即可求出k 的取值范围；（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在(1)+∞，恒成立，即ln(1)2x x -<-，进而换元可得22ln 1n n <-，所以ln 112n n n -<+，即可得证. 试题解析：（1）定义域为()1,+∞，()1111k kx f x k x x +-=-='-- 若0k ≤，()101f x k x =-≥-'，()f x 在()1,+∞上单调递增 若0k >，()11k k x k f x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-， 所以，当()0f x '>时，111x k <<+，当()0f x '<时，11x k>+ 综上：若0k ≤，()f x 在()1,+∞上单调递增； 若0k >，()f x 在11,1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减 （2）由（1）知，0k ≤时，()210f k =->不可能成立；若0k >，()0f x ≤恒成立()max 110f x f k ⎛⎫⇔=+≤ ⎪⎝⎭，11ln 0f k k ⎛⎫+=-≤ ⎪⎝⎭，得1k ≥综上，1k ≥.（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，即()ln 12x x -<- 令()2*1N ,1x nn n -=∈>，得22ln 1nn <-，即ln 112n n n -<+ln2ln3ln4ln 3451n n +++++ ()1123122224n n n --<++++=，得证. 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。
重庆市主城区七校2019-2020学年度高二第二学期期末联考试题 数学【含解析】
重庆市主城区七校2019-2020学年度高二第二学期期末联考试题数学【含解析】第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若21izi=+（其中i是虚数单位）,则z=（）A. 1B. 22 D. 4【答案】C【解析】【分析】化简求出z再根据模长公式求解z即可.【详解】()()()2121111i iiz ii i i-===+++-,故22112z=+.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及模长公式.属于基础题.2.为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是（）A. 0.97 B. 0.86 C. 0.65 D. 0.55【答案】A【解析】【分析】在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97．故选：A．【点睛】本题考查了用相关指数拟合模型效果应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.1C. 0.15D. 0.2【答案】B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.4.曲线2y x lnx =+在点()1,1处的切线方程为（ ） A. 320x y --= B. 320x y -+=C. 340x y +-=D. 340x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】由题求得12y x x'=+，进而求得1|3x k y =='=，根据直线的点斜式方程求得在点()1,1处的切线方程即可. 【详解】解：由题知12y x x'=+，故1|3x k y =='=，故在点()1,1处的切线方程为()131y x -=-，化简整理得320x y --=. 故选：A.【点睛】本题主要考查用导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题.5.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B ､C ､D 中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择，其他号码只想在1､3､6､9中选择，则他车牌号码可选的所有可能情况有（ ） A. 180种 B. 360种C. 720种D. 960种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码､第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法， 第二个号码只能从字母B ､C ､D 中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法， 则共有5×3×64=960种， 故选：D.【点睛】本题考查排列､组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有4×4×4种选法，而不是A 43种，属于基础题.6.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A.85B.65C.45D.25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =，3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程8. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A. 12种 B. 18种C. 24种D. 48种【答案】C 【解析】试题分析：先将甲、乙两机看成一个整体，与另外一机进行全排列，共有种排列方法，且留有三个空；再从三个位置中将丙、丁两机进行排列，有种方法；由分步乘法计数原理，得不同的着舰方法有种.考点：排列组合.9.下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：11ˆyb x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,32)，根据剩下数据，得到线性回归方程：22ˆyb x a =+，相关系数为2r ；则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<<【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可判断正负相关，得出12,r r 为正，再结合剔除点前后的回归直线，即可比较出12,r r .【详解】由散点图分布图可知,变量x 和y 成正相关，所以1201,01r r <<<< ， 在剔除点(10,32)之后，且可看出回归直线22ˆyb x a =+的线性相关程度更强,2r 更接近1. 所以1201r r <<< . 故选:A.【点睛】本题主要考查散点图的正负相关以及变量的相关性，相关系数r 的意义：①当散点分布呈正相关，0r >；负相关，0r <；②0||1,||r r <<越接近1，说明两个变量越具有线性相关关系，即线性关系越强.10.设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为( )A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.11.有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（ ） A. 216 B. 729 C. 540 D. 420【答案】C 【解析】 【分析】首先确定各医院所去医生人数，先分类：1,1,4；1,2,3；2,2,2，这样第一步把6名医生按这个数字分组，然后三组分到三个医院，分组中要注意平均分组和不平均分组有． 【详解】人数进行分组共有三种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2，若分组分1,1,4，共有4113621132290C C C N A A ⋅⋅=⋅=；若分组分1,2,3，共有321326313360N C C C A =⋅⋅⋅=； 若分组分2,2,2，共有2223642333390C C C N A A ⋅⋅=⋅=.∴不同分派方法种数为540N =.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查平均分组和不平均分组问题，实际解题中还要注意分组后组与组之间有无区别．12.已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A. 16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D. 746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 下面讨论()g x 的单调性：当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减；当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,x e ∈时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减；当1a e >时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立， 只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥⎪⎝⎭，即可得111,154lna ae +<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置） 13.若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z 的虚部为______. 【答案】3- 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则可得出复数z 的一般形式，进而可得出复数z ，由此可得出结果. 【详解】因为()3223z i i i =-=+，所以23z i =-，故z 的虚部为3-. 故答案为：3-.【点睛】本题考查共轭复数虚部的求解，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 14.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A =“取出的两个球颜色不同”，事件B =“取出一个红球，一个白球”，则()|P B A =________________. 【答案】313【解析】 【分析】先分别求出事件A 、B 选法种数，由古典概率和条件概率公式可求得答案.【详解】事件A 的选法有11111123243426C C C C C C ++=种，事件B 的选法有11236C C =种， 所以292626()45P A C ==，2962()15P AB C ==，()()3()13P AB P B A P A ==∣.故答案为：313.【点睛】本题考查古典概率和条件概率公式，属于基础题.15.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．【答案】125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-， ∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．16.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种． 【答案】20 【解析】 【分析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出．【详解】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种，当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种， 综上故有10+10＝20种，故答案为20.【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.三､解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知二项式31nx x ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）8；（2）28. 【解析】 【分析】⑴观察31nx x ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式(311rn rrr nT C x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8. （2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝84833881rr rrr C x C x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题．18. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. （Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）分布列见解析，期望52． 【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则5431()=6542P A =⨯⨯ （Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P ==⨯==⨯⨯ 所以X 的分布列为所以1125E()1236632X =⨯+⨯+⨯=． 考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．19.已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+． （1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 【答案】（1）4a b ==；（2）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为44y x =+，建立方程，即可求得a ，b 的值；（2）利用导数的正负，可得()f x 的单调性，从而可求()f x 的极大值．试题解析：（1）()()24xf x eax a b x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=． 故4b =，8a b +=． 从而4a =，4b =． （2）由（1）知，()()2414xf x ex x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln 2x =-或2x =-． 从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当()2,ln2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．20.对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：分值[)0,10 [)10,20 [)20,30 [)30,40场数 10204030（1）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率.（2）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.（结论不要求证明）（3）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分.【答案】（1）0.72；（2）甲更稳定；（3）2380.. 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算，即可得出结果；（2）根据频率分布直方图与统计表，分析成绩的集中程度，即可得出结论；（3）根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平分值. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.048100.024100.480.240.72⨯+⨯=+=；即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72；（2）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中在[)20,30，由乙的得分统计表可得，乙的成绩比较分散，所以甲更稳定； （3）因为组距为10，所以甲在区间[)[)[)[)0,10,10,20,20,30,30,40上得分频率值分别为8100，20100，48100，24100. 设甲的平均得分为S ， 则()5815202548110035242380S ⨯+⨯+⨯+==⨯．. 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求概率，以及求平均值等问题，属于基础题型.21.随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表： 一周时间内进行网络搜题的频数区间男生频数 女生频数 []0,10 184(]10,20 108(]20,30 1213(]30,40 615(]40,50410将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.（1）根据已有数据，完成下列22⨯列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？经常使用网络搜题偶尔或不用网络搜题合计男生女生合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取4人，记经常使用网络搜题的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bcxa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：()2P x m≥0.050 0.010 0.001m 3.841 6.635 10.828【答案】（1）填表见解析，在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关；（2）分布列见解析，()12 5E X=.【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意34,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，由此求出随机变量X的分布列和数学期望.【详解】（1）根据题意填写22⨯列联表如下：经常使用网络搜题 偶尔或不用网络搜题 合计 男生 22 28 50 女生 38 12 50 合计 6040100计算观测值 ()2210022123828326.635505060403K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关.（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法抽取一人，抽到经常使用网络搜题的学生的概率为6031005=. 由题意34,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()040433160155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()31433961155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()2224332162155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()334332163155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()44433814155625P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P16625 96625 216625 216625 81625()312455E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题. 22.已知函数()ln(1)(1)1(R)f x x k x k =---+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()2*ln 2ln 3ln 4ln 2,N 34514n n nn n n -+++⋯+<≥∈+. 【答案】（1）函数()f x 的递增区间为1(1,)k k+，函数()f x 的递减区间为1(1,)k ++∞；（2）1k；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）对函数()f x 求导得1()1k kxf x x +-'=-，对k 进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，0k ≤时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，而(2)0f >，()0f x ≤不成立，故0k >，由（1）可得max 1()(1)f x f k=+，即可求出k 的取值范围；（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在(1)+∞，恒成立，即ln(1)2x x -<-，进而换元可得22ln 1n n <-，所以ln 112n n n -<+，即可得证. 试题解析：（1）定义域为()1,+∞，()1111k kx f x k x x +-=-='-- 若0k ≤，()101f x k x =-≥-'，()f x 在()1,+∞上单调递增 若0k >，()11k k x k f x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-， 所以，当()0f x '>时，111x k <<+，当()0f x '<时，11x k>+ 综上：若0k ≤，()f x 在()1,+∞上单调递增； 若0k >，()f x 在11,1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减 （2）由（1）知，0k ≤时，()210f k =->不可能成立； 若0k >，()0f x ≤恒成立()max 110f x f k ⎛⎫⇔=+≤⎪⎝⎭，11ln 0f k k ⎛⎫+=-≤ ⎪⎝⎭，得1k ≥综上，1k ≥.（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，即()ln 12x x -<- 令()2*1N ,1x nn n -=∈>，得22ln 1nn <-，即ln 112n n n -<+ ln2ln3ln4ln 3451n n +++++ ()1123122224n n n --<++++=，得证. 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。
重庆市七校联盟2019-2020学年高二上学期联考数学(文)试卷
一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目的要求） 1．（原创）设 i 为虚数单位,则复数 z = i(2 − i) 对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
有 16 种,则 P( A) = 16 = 4 . 20 5
………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解：（1）因 f (x) = 2x3 + ax 2 + bx + 1 ,故 f ' (x) = 6x 2 + 2ax + b ，
……2 分
从而 f ' (x) = 6(x + a )2 + b − a 2 ,即 y = f ' (x) 关于直线 x = − a 对称,
数.
………………………………12 分
18. (本小题满分 12 分) 解：（1）因为 x = 80 + 75 + 70 + 65 + 60 = 70 ,
5
…………………1 分
y = 70 + 66 + 68 + 64 + 62 = 66 , …………………2 分 5
∑5
xi yi = 80 × 70 + 75 × 66 + 70 × 68 + 65 × 64 + 60 × 62 = 23190 ,…3 分
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程
∧∧
∧
y = b x + a ;(参考数值: 80 × 70 + 75 × 66 + 70 × 68 + 65× 64 + 60 × 62 = 23190 ，
重庆市七校联盟2019-2020学年高二上学期联考数学(理)试卷
重庆市七校联考高二数学理科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.(原创)在复平面内，复数)21(i i z -=的共轭复数为 A ．i --2 B.i -2 C.i +-2 D. i +22.(原创)若2017201722102017)21(x a x a x a a x ++++=- ，则=+++2017321a a a aA ．2 B. 1 C.1- D. 2-3.用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0（R b a ∈,）”,假设的内容是 A.b a ,至少有一个不为0 B.b a ,至少有一个为0 C.b a ,全不为0 D.b a ,中只有一个为04.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是循环小数”是假命题，推理错误的原因是A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”，但推理形式错误D.使用了“三段论”，但小前提错误5.(原创)已知随机变量ξ服从正态分布),3(2σN ,68.0)4(=≤ξP ,则)2(≥ξP = A.84.0 B.68.0 C.32.0 D.16.0 6.(原创)已知函数2ln )(+=x a x f ，2)('=e f ，则a 的值为 A ．1- B.1 C.e 2 D.2e7.观察下列各式：1=+b a ，322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ，1155=+b a ，…，则=+1010b aA ．28 B.76 C.123 D.1998.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则)|(A B P 等于A.81B.41C.21D.529. (原创)小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡，若他至少购买一张卡，则不同的买法共有A.6种B.7种C.8种D.9种 10.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是 A.920 B.925 C.380 D.1940011.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.168 12.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示下列关于函数)(x f 的命题： ①函数)(x f y =是周期函数； ②函数)(x f 在[0,2]是减函数；③如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点． 其中真命题的个数是A ．1 B.2 C.3 D.4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.（原创）4)2(y x +展开式中二项式系数最大的项的系数为 .(用数字作答）14.(原创)dx x x ⎰--222)sin 3(= .15.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 种.（用数字作答）16.给出下列命题：①用反证法证明命题“设,,a b c 为实数，且0,0,a b c ab bc ca ++>++>则0,0,0a b c >>>”时，要给出的假设是：,,a b c 都不是正数；②若函数()()2f x x x a =+在2x =处取得极大值，则2a =-或-6；③用数学归纳法证明*1111...(1,)2321n n n n N ++++<>∈-，在验证2n =成立时，不等式的左边是11123++； ④数列}{n a 的前n 项和c S n n -=3，则1=c 是数列}{n a 为等比数列的充要条件； 上述命题中，所有正确命题的序号为 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分)(原创)当m 为何实数时，复数i m m m m m z )82(4622--+---=是 (Ⅰ)实数; (Ⅱ)纯虚数. 18.(本小题满分12分)已知函数x x x f 12)(3+-= (Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数[]1,3)(-∈x x f 当时的最大值与最小值.19.(本小题满分12分)(原创)中秋节吃月饼是我国的传统习俗，设一礼盒中装有9个月饼，其中莲蓉月饼2个，伍仁月饼3个，豆沙月饼 4个，这三种月饼的外观完全相同，从中任意选取3个.(Ⅰ)求三种月饼各取到1个的概率；(Ⅱ)设X 表示取到伍仁月饼的个数，求X 的分布列与数学期望. 20.(本小题满分12分)数列}{n a 满足)(2*∈-=N n a n S n n .(Ⅰ)计算4321,,,a a a a ,并由此猜想通项公式n a ; (Ⅱ)用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想. 21.(本小题满分12分)某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为12.(Ⅰ)求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率;(Ⅱ)如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数ξ的概率分布列和数学期望. 22.(本小题满分12分)设函数),(ln )(2x x b ax x f -+=.)1(21)(2x b x x g -+-=已知曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线与直线01=+-y x 垂直.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数)(x f 的极值点;(Ⅲ)若对于任意的),,1(+∞∈b 总存在],,1[,21b x x ∈使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，求实数m 的取值范围.重庆市七校联考高二数学理科参考答案13. 24 14. 16 15. 150 16.③④ 三．解答题17. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)当⎩⎨⎧=--≠-082042m m m ………………………………3分即2-=m 时，z 是实数； ………………………………5分(Ⅱ)当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=---08204622m m m m m ………………………………7分⎩⎨⎧≠-≠-=⇒4223m m m 且或 ………………………………9分3=∴m 时，z 是纯虚数. ………………………………10分 18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) 由x x x f 12)(3+-=可得123)(2'+-=x x f ………………………2分令0)('>x f 即得22<<-x∴)(x f 的单调递增区间为)2,2(- …………………………4分令0)('<x f 即得22>-<x x 或∴)(x f 单调递减区间为)2,(--∞,),2(+∞.综上所述：)(x f 的单调递增区间为)2,2(-，单调递减区间为)2,(--∞，),2(+∞. …………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知：)(x f 在[]2,3--上单调递减，在[]1,2-上单调递增 ………………………8分又9)3(12)3()3(3-=-⨯+--=-f ……………………………9分16)2(12)2()2(3-=-⨯+--=-f ……………………………10分 111121)1(3=⨯+-=f ……………………………11分∴)(x f 在[]1,3-上的最大值为11，最小值为16- ………………………12分19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) 设三种月饼各取到一个的概率为P ,则 7239141312==C C C C P ………………………………5分 (Ⅱ)由题意可得：X 可能的取值为3,2,1,0 ………………………………6分215)0(3936===C C X P 2815)1(392613===C C C X P 143)2(391623===C C C X P 841)3(3933===C C X P10分X 的数学期望138412143184450215)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………12分 20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) n n a n S -=21121111=⇒-⨯==∴a a S n 时，当 ……………………………1分23222222=⇒-⨯==a a S n 时，当 ……………………………2分 47323333=⇒-⨯==a a S n 时，当 ……………………………3分815424444=⇒-⨯==a a S n 时，当……………………………4分由此猜想)(2121*-∈-=N n a n n n . ……………………………6分(Ⅱ) 证明①当1=n 时，11=a ，结论成立. ……………………………7分②假设)1(*∈≥=N k k k n 且时，结论成立，即1212--=k k k a ………………8分那么1+=k n 时，111122)1(2++++-+=+--+=-=k k k k k k k a a a k a k S S a ………………10分k k a a +=∴+221kk k k k k a a 2122212222111-=-+=+=∴+-+ …………………………11分 所以当1+=k n 时，结论成立，综上所述)(2121*-∈-=N n a n n n 成立. ………………………………12分21. (本小题满分12分)解:（Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A ，“只成功一次”为事件1A ，“一次都不成功”为事件2A ，则：1613)21()21(1)()(1)(1)(5055152121=--=--=+-=C C A P A P A A P A P故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为1316.………………6分 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5.则41)21()2(2===ξP ；41)21()3(312===C P ξ，163)21()4(413===C P ξ，165)21()21()21()5(514515505=++==C C C P ξ．………………10分 ∴ξ的分布列为：11分∴ξ的数学期望：)(ξE =113557234544161616⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………12分 22. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题可知，函数)(x f 的定义域为),0(+∞ …………………………1分)11(2)(-+='x b ax x f∴a b a f 2)111(2)1(=-+=' ………………………………3分因为曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线与直线01=+-y x 垂直，故112-=⋅a ∴21-=a ………………………………4分(Ⅱ)由（I ）得x bbx x x b x x f +--=-+-='2)11()(（0>x ）00)(2=-+='b bx x x f 得令(*)b b 42+=∆①时或时，即当04-042><>+=∆b b b b (*)式有两个根.24,242221b b b x b b b x ++-=+--=当4-<b 时，.0,021>>x x）上单调递增，，（）上单调递减，在区间，在区间（1220)(x x x x f ）上单调递减，在区间（∞+1x .此时为极大值点为极小值点，12x x x x == 当0>b 时，.0,021<>x x）上单调递减，（）上单调递增，在区间，在区间（∞+110)(x x x f ,此时点为极大值点，无极小值1x x = ……………………6分 ②时时，即当04-042≤≤≤+=∆b b b 无极值点。
2019—2020学年度第二次联考：高2020级文科数学试题
重庆市名校联盟2019～2020学年度第二次联合考试文科数学试题（高2020级）【命题：重庆市名校联盟命题组】（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 不等式0)1)(6(>+-x x 的解集是A ．()6,1-B ．()1,6-C ．()(),16,-∞-+∞D ．()(),61,-∞-+∞2． 下列说法正确的是A ．方向相同的向量叫相等向量B ．单位向量的长度为1C ．若||||=，则 =D ．若//,//a b b c ，则//a c 3． 数列1，41，91，161，…的一个通项公式为 A ．n a n 1=B ．21na n =C ．1(2)n a n n =+D ．na n 21=4． 已知)1,(),2,6(x b a =-=，且//，则x 等于A ．13B ．13-C ．3D ．3-5． 在等差数列{}n a 中，已知11=a ,55=a ,则=3aA ．1B ．2C ．3D ． 46． 在ABC ∆中，45,60==B A ，23=a ，则=bA．B．CD7． 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00301y y x y x 的点(),x y 组成的图形的面积是A ．4B ．5C ．7D ．88． 已知2|||==，2)()2(-=-⋅+，则a 与b 的夹角为A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 9． 在等比数列}{n a 中，,4,24231=+=+a a a a 则=+86a aA ．16B ．32C ．64D ．12810．b a ,为非零实数，已知0>ab 且b a >，则下列不等式恒成立的是A ．ba 11< B ．22b a > C ．b a >D ．bc ac >11．已知数列}{n a 中，,4,221==a a ,12n n n a a a -=++则=2018aA ．4B ．-4C ．2D ．-212．如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，E 在边AC 上且满足→→=AC AE 31,CD 与BE 交于点P ,若→→→+=AC y AB x AP ,则=+y xA ．51 B ．52 C ．53 D ．54第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列{}n a 满足：287n a n n =-+，则数列{}n a 中最小项是第________项.14．若)1,2(=a ，)3,1(-=b，则||b a -= .15．在ABC △中，角C B A ,,对的边分别为,,,c b a 若b C a =cos 2，则ABC ∆的形状一定是三角形.16．已知02,0,0=-+>>xy y x y x ，则2x y +的最小值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量)1,3(),3,1(--==. （Ⅰ）求b a ⋅；（Ⅱ）若)(λ+⊥，求λ的值.18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知95=a ，93=S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足2cos cos a c bC B-=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =4a c +=，求ABC ∆的面积.20．（本小题满分12分）已知,x y 满足不等式组00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是D ，（Ⅰ）当4t =时，在下图中画出平面区域D ，并求y x z -=的取值范围； （Ⅱ）若目标函数96z x y =+的最大值的变化范围是[20,22]，求t 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且).(23*∈-=N n a S n n （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设,1log 223+=n n a b 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T .22．（本小题满分10分）2()f x x bx c =++（b 、c 为常数），方程()f x x =的两个实数根为1x ，2x 且满足1210,1x x x >->.（Ⅰ）若实数0x 满足,)(00x x f =则称0x 为函数)(x f 的一个不动点.设,8,5=-=c b 求)(x f 的不动点；（Ⅱ）设10t x <<，比较()f t 与1x 的大小.重庆市名校联盟2019～2020学年度第二次联合考试文科数学答案（高2020级）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1—12：CBBDC BABCA AC12．由CD 与BE 交于点P 可设→→=BE BP λ,→→=DC DP μ,D 为AB 的中点，→→=ACAE 31则→→→→→→→→→→→+-=-+=-+=+=AC AB AB AC AB AB AE AB BE AB AP 3)1()31()(λλλλλ→→→→→→→→→→+-=-+=-+=+=AC AB AD AC AD AC AD DC AD AP μμμμμμ21)1()(∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-μλμλ3211 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5153μλ ∴→→→+=AC AB AP 5152∴51,52==y x ∴ 53=+y x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 415.等腰 16.8 16． 02=-+xy y x ∴121=+yx ∴844424422)21()2(2=+=⋅+≥+++=+⋅+=+xyy x x y y x y x y x y x当且仅当xyy x =4即4,2==y x 时取等 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）（I ）b a⋅=33--=32- ……………………………………（6分） （II ） )(b a b λ+⊥∴0432)(2=+-=+⋅=+⋅λλλb a b b a b∴23=λ………………………………………………（12分）18. （本小题满分12分） （I ） {}n a 为等差数列∴9415=+=d a a 9332233113=+=⨯+=d a d a S ∴2,11==d a ………………………………………………（4分） ∴12-=n a n ………………………………………………（6分）（II ）22)121(n nn S n =⋅-+=………………………………………………（12分）19. （本小题满分12分） （I ）2cos cos a c bC B-= ∴C b B c B a cos cos cos 2=-∴C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-………………（3分） ∴A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=∴ 21cos =B∴3π=B ………………………………………………（6分）(II) B ab b a b cos 2222-+=∴3cos 22)(82πac ac c a --+=∴38=ac ………………………………………………（10分） ∴232233821sin 21=⨯⨯==∆B ac S ABC ………………（12分）20. （本小题满分12分）（I ）当4t =时，平面区域D 如图所示…………………（3分）如图，画出直线0=-y x ，然后进行平行移动和可行域相交，可知在)0,2(A 和)2,0(C 分别取得最大值和最小值，所以y x z -=的取值范围]2,2[-………………（6分） （II ）设1:24l x y +=与2:2l x y t +=交于点B ，联立1l 和2l 的方程824(,)33t t B --∴……………………………………………………………（9分） 当96z x y =+经过B 点时，z 取最大值3(8)2(24)16[20,22]max Z t t t ∴=-+-=+∈[4,6]t ∴∈………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（I ）当1=n 时,,23111-==a S a .11=∴a由)(23*∈-=N n a S n n 可得),2(2311≥-=--n a S n n 两式相减可得:),23()23(11---=-=--n n n n n a a S S a 即：,231-=n n a a ∴数列}{n a 是以1为首项，23为公比的等比数列， .)23(1-=∴n n a ............6分 （II ）由（1）得,121log 223-=+=n a b n n=n T 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n 11++n n b b ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1) +)12)(12(1+-n n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋… ＋(12n －3－12n －1)+)121121(+--n n ] ＝12+n n.....................................................12分 22．（本小题满分10分）证明：（I ）由x x x x f =+-=85)(2可得2=x 或,4=x故)(x f 的不动点为2和4..............................................................................4分 （II ）22111()()f t x t bt c x bx c -=++-++11()()t x t x b =-++，又121211x x b x b x +=-∴+=-，而111212,1,1x t b x t x x x x -<++∴-<-∴>-11110()()0()t x t x t x b f t x -<∴-++>∴>...............................10分（其它解法酌情给分）。
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数()12z i i =-的共轭复数为 （） A ．2i -- B ．2i -C ．2i -+D ．2i +【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】()122z i i i =-=+， 2z i ∴=-．故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．2．若2017220170122017(12)x a a x a x a x-=+++⋯⋯+，则1232017a a a a ++⋯+=（） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】在所给的等式中，分别令0x =，1x =，可得要求式子的值． 【详解】2017220170122017(12)x a a x a x a x -=+++⋯⋯+，令0x =，可得01a =． ∴再令1x =，可得012320171a a a a a +++⋯+=-，则12320172a a a a ++⋯+=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题．3．用反证法证明“若,a b ∈R ，220a b +=，则a ，b 全为0”时，假设正确的是（ ） A ．a ，b 中只有一个为0 B ．a ，b 至少一个为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 至少有一个不为0【答案】D【解析】分析：根据反证法的概念，把要证的结论否定后，即可得到所求的反设. 详解：由题意可知，由于“22,,0a b R a b ∈+=，则,a b 全为0”的否定为“,a b 至少有一个不为0”，故选D.点睛：本题主要考查了反证法的定义的理解与应用，正确理解反证法的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.4．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 （） A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 【答案】C【解析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的. 【详解】大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式， ∴推理形式错误.故选：C. 【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的． 5．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，()40.68P ξ≤=，则()2P ξ≥=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.16【答案】B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称，由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=，则()2410.320.320.36P ξ≤≤=--=， 所以()20.360.320.68P ξ≥=+=． 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．已知函数()2f x alnx =+，()'2f e =，则a 的值为 （） A ．1- B ．1C ．2eD ．2e【答案】C【解析】根据题意，求出函数的导数，将x e =代入可得2ae=，变形可得答案． 【详解】根据题意，函数()ln 2f x a x =+，则()a f x x'=， 若()2af e e'==，则2a e =. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.【考点】观察和归纳推理能力.8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( )A ．18B ．14C ．25D ．12【答案】B【解析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.9．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( ) A ．7种 B ．8种 C ．6种 D ．9种 【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC 电话卡”，分三类完成：买1张IC 卡，买2张IC 卡，买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC 卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC 卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法． 10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是 A ．920 B ．925 C ．380 D ．19400【答案】D【解析】试题分析：击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以其概率为11311143119454454580100400P=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选D.【考点】独立重复试验的概率.11．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．72 B．120 C．144 D．168【答案】B【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A=⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A=⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.12．已知函数的定义域为，部分对应值如下表：的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点。
2019-2020学年重庆市主城区七校高二下学期期末联考数学试题 Word版
绝密★启用前重庆市主城区七校2019-2020学年下学期期末联考高二数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（改编）若21i z i =+（其中i 是虚数单位）,则z =（ ）A ．4B ．2C ．1 D2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（ ）A ．0.55B ．0.86C ．0.65D ．0.973．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.24．（改编）曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为（ ）A ．3x －y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．3x ＋y －4＝0D ．x ＋3y －4＝05．（改编）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B ，C ，D 中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）A ．180种B ．360种C ．720种D ．960种6．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝（ ）A ．85B ．65C ．45D ．257．（改编）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x(万元)4 2 35 销售额y(万元)49 26 39 54根据上表可得回归方程+=a x b y 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元8．（改编）我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰。
重庆市七校联盟2019_2020学年高二数学上学期联考试题理(含解析)
重庆市七校联盟2019-2020学年高二数学上学期联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.在复平面内，复数的共轭复数为A. B. C. D.2.若，则A. 2B. 1C.D.3.用反证法证明命题“若，则a、b全为、”，其反设正确的是A. a、b至少有一个不为0B. a、b至少有一个为0C. a、b全不为0D. a、b中只有一个为04.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但推理形式错误D. 使用了“三段论”，但小前提错误5.已知随机变量服从正态分布，，则A. B. C. D.6.已知函数，，则a的值为A. B. 1 C. 2e D.7.观察下列各式：，，，，，，则A. 28B. 76C. 123D. 1998.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则A. B. C. D.9.小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，则不同的买法共用A. 7种B. 8种C. 6种D. 9种10.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是A. B. C. D.11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A. 72B. 120C. 144D. 16812.的导函数的图象如图所示．下列关于函数的命题：函数是周期函数；函数在是减函数；如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；当时，函数有4个零点．其中真命题的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题）13.展开式中二项式系数最大的项的系数为______用数字作答14.______．15.将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种16.给出下列命题：用反证法证明命题“设a，b，c为实数，且，，则，，”时，要给出的假设是：a，b，c都不是正数；若函数在处取得极大值，则或；用数学归纳法证明，在验证成立时，不等式的左边是；数列的前n项和，则是数列为等比数列的充要条件；上述命题中，所有正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共6小题）17.当m为何实数时，复数是Ⅰ实数；Ⅱ纯虚数．18.已知函数判断函数的单调性求函数当时的最大值与最小值．19.中秋节吃月饼是我国的传统习俗，设一礼盒中装有9个月饼，其中莲蓉月饼2个，伍仁月饼3个，豆沙月饼4个，这三种月饼的外观完全相同，从中任意选取3个．Ⅰ求三种月饼各取到1个的概率；Ⅱ设X表示取到伍仁月饼的个数，求X的分布列与数学期望．20.数列满足Ⅰ计算，，，，并由此猜想通项公式；Ⅱ用数学归纳法证明Ⅰ中的猜想．21.某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为．求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望．22.设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．Ⅰ求a的值；Ⅱ求函数的极值点；Ⅲ若对于任意，总存在，，使得成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，令，可得．再令，可得，则，故选：D．在所给的等式中，分别令，，可得要求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由于“a、b全为、”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：A．把要证的结论否定之后，即得所求的反设．本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为、”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，不符合三段论推理形式，推理形式错误，故选：C．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些”，不难得到结论．演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S 中所有元素都具有性质三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5.【答案】B【解析】解：根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，由于，所以，所以，则，所以．故选：B．直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果．本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，则，若，则；故选：C．根据题意，求出函数的导数，将代入可得，变形可得答案．本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为123，即，．故选：C．观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．8.【答案】B【解析】解：事件“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、、、，，事件“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有，．故选：B．用列举法求出事件“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求，同理求出，根据条件概率公式即可求得结果．此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．9.【答案】A【解析】解：要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买l张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有种．故选：A．利用已知条件，分类列出不同的买法种数即可．本题考查排列组合的实际应用，考查计算能力．10.【答案】C【解析】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率，故停止射击时甲射击了两次的概率；故选：C．根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，关键是要根据题意将事件是分类互斥事件或分步相互独立事件，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．11.【答案】B【解析】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是种；将中间2个空位安排2个小品类节目，有种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是种；则同类节目不相邻的排法种数是，故选：B．根据题意，分2步进行分析：、先将3个歌舞类节目全排列，、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．12.【答案】D【解析】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：为假命题，与上单调性相反，但原函数图象不一定对称．为真命题．因为在上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当时，也满足时，的最大值是2；为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，有2个零点，也可以是3个零点．综上得：真命题只有．故选D．先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．13.【答案】24【解析】解：展开式中的通项公式为，故第项的二项式系数为，故当时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项的系数为，故答案为：24．由题意利用二项式展开式的通项公式、二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】16【解析】解：，故答案为：16．由定积分的定义进而求解．考查定积分的计算，属于基础题．15.【答案】150【解析】【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时根据分类计数原理得到结果．本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有种结果，根据分类计数原理知共有种，故答案为：150．16.【答案】【解析】解：假设是a，b，c不都是正数；所以不正确；函数，则，若在处取得极大值，则时方程的根，所以，解得或，当时，时，时，，所以是极小值点，与题意矛盾，所以不正确；时，左边加到，所以正确；由题意，时，，若是等比数列，则，，即，所以是必要条件；当时，，时，，是等比数列，所以是充分条件，所以正确．故答案为：．对每个命题逐个分析，判断它的正确与否．考查本题考查了命题的真假判断与应用，属于简单题．17.【答案】解：Ⅰ当，即时，z为实数；Ⅱ当，即，得时，z是纯虚数．【解析】Ⅰ由虚部为0求解m的值；Ⅱ由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数的基本概念，是基础题．18.【答案】解：，令得，当或时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；由可知在上是减函数，在上是增函数，且，，，函数在上的最大值为11，最小值为．【解析】本题考查了导数与函数单调性，函数最值的关系，属于中档题．令求出极值点，判断的符号得出单调性；根据的单调性和区间端点函数值计算最值．19.【答案】解：Ⅰ设三种月饼各取到一个的概率为P，则；Ⅱ由题意可得：X可能的取值为0，1，2，3，所以，，，．所以的数学期望．【解析】Ⅰ直接利用组合数的应用求出概率的值．Ⅱ首先求出X的分布列，进一步求出X的数学期望．本题考查的知识要点：组合数的应用，数学期望的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20.【答案】解：Ⅰ当时，，所以．当时，，所以．同理：，．由此猜想．Ⅱ证明：当时，左边，右边，结论成立．假设且时，结论成立，即，那么时，，所以，所以，这表明时，结论成立．由知对一切猜想成立．【解析】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当时，猜想也成立，是解题的难点和关键．Ⅰ通过，2，3，4，直接计算，，，，并由此猜想通项公式；Ⅱ直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．21.【答案】解：Ⅰ记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件，“一次都不成功”为事件，则：．故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为分Ⅱ的可能取值为2，3，4，5．则；，，每对一个得1 分分2 3 4 5P分分【解析】Ⅰ记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件，“一次都不成功”为事件，则：由此能求出该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．Ⅱ的可能取值为2，3，4，分别求出，，，的值，由此能求出的分布列和．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．22.【答案】解：Ⅰ，所以，所以分Ⅱ，其定义域为，，令，当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故在区间无极值点；当时，，令，有，，，当时，，即，得在上递减；当时，，即 0'/>，得在上递增；当时，，即，得在上递减．此时有一个极小值点和一个极大值点．当时，，令，有，，当时，，即 0'/>，得在上递增；当时，，即，得在上递减．此时唯一的极大值点，无极小值点．综上可知，当时，函数有一个极小值点和一个极大值点．当时，函数在上有无极值点；当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点；分令，，则若总存在，，使得成立，即总存在，，使得成立，即总存在，，使得成立，即，因为，所以，即在上单调递增，所以，即对任意成立，即对任意成立．构造函数：，，，当时，，在上单调递增，对于任意，．所以分【解析】Ⅰ求出函数的导数，得到，求出a的值即可；Ⅱ求出的导数，结合二次函数的性质，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极值点即可；Ⅲ令，，求出的导数，得到，问题转化为即对任意成立．构造函数：，，通过讨论函数的单调性，求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．。
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数()12z i i =-的共轭复数为 （） A ．2i -- B ．2i -C ．2i -+D ．2i +【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】()122z i i i =-=+Q ， 2z i ∴=-．故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 2．若2017220170122017(12)x a a x a x a x -=+++⋯⋯+，则1232017 a a a a ++⋯+=（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】在所给的等式中，分别令0x =，1x =，可得要求式子的值． 【详解】2017220170122017(12)x a a x a x a x -=+++⋯⋯+Q ，令0x =，可得01a =． ∴再令1x =，可得012320171a a a a a +++⋯+=-，则12320172a a a a ++⋯+=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题．3．用反证法证明“若,a b ∈R ，220a b +=，则a ，b 全为0”时，假设正确的是（ ） A ．a ，b 中只有一个为0 B ．a ，b 至少一个为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 至少有一个不为0【答案】D【解析】分析：根据反证法的概念，把要证的结论否定后，即可得到所求的反设. 详解：由题意可知，由于“22,,0a b R a b ∈+=，则,a b 全为0”的否定为“,a b 至少有一个不为0”，故选D.点睛：本题主要考查了反证法的定义的理解与应用，正确理解反证法的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.4．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 （） A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 【答案】C【解析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的. 【详解】Q 大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式， ∴推理形式错误.故选：C. 【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的． 5．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，()40.68P ξ≤=，则()2P ξ≥=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.16【答案】B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称，由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=，则()2410.320.320.36P ξ≤≤=--=， 所以()20.360.320.68P ξ≥=+=． 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．已知函数()2f x alnx =+，()'2f e =，则a 的值为 （） A ．1- B ．1C ．2eD ．2e【答案】C【解析】根据题意，求出函数的导数，将x e =代入可得2ae=，变形可得答案． 【详解】根据题意，函数()ln 2f x a x =+，则()a f x x'=， 若()2af e e'==，则2a e =. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.【考点】观察和归纳推理能力.8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( )A ．18B ．14C ．25D ．12【答案】B【解析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.9．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( ) A ．7种 B ．8种 C ．6种 D ．9种 【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC 电话卡”，分三类完成：买1张IC 卡，买2张IC 卡，买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC 卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC 卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法． 10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是 A ．920 B ．925 C ．380 D ．19400【答案】D【解析】试题分析：击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以其概率为11311143119454454580100400P=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选D.【考点】独立重复试验的概率.11．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．72 B．120 C．144 D．168【答案】B【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A=⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A=⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.12．已知函数的定义域为，部分对应值如下表：的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点。
重庆市九校联盟高二上学期联考数学(文)试题解析版
2019-2020学年重庆市九校联盟高二上学期联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A B I =（ ） A ．{}1,3 B ．{}2 C ．∅ D ．{}1,2,3【答案】B【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组成，所以{}2A B ⋂=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 2．极坐标方程化为直角坐标方程是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：原极坐标方程可化为，所以其化为直角坐标方程是，即，故答案选．【考点】极坐标方程和平面直角坐标方程之间的关系．3．若复数满足12z i =+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】求得z ，由此求得z 在复平面内对应的点以及对应的象限. 【详解】依题意12z i =-，对应的点为()1,2-，位于第四象限.故选：D 【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.4． “因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直”，补充以上推理的大前提正确的是（ ） A ．菱形都是四边形 B ．四边形的对角线都互相垂直 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】C【解析】根据三段论的知识确定正确选项. 【详解】根据小前提和结论可知，大前提为菱形的对角线互相垂直. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三段论的理解，属于基础题.5．曲线323y x x =-+在1x =处的切线方程为（ ） A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．10x y ++= D ．10x y +-=【答案】A【解析】求得曲线在1x =处的切线斜率和切点坐标，由此求得切线方程. 【详解】依题意，'2'132,|321x y x y ==-=-=，且切点为()1,2，所以切线方程为21y x -=-，化简得10x y -+=. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属于基础题. 6．二次函数243y x x =-+ 在区间(]1,4 上的值域是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(]0,3C ．[]1,3-D ．(]1,3-【答案】C【解析】利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质，求得函数在区间(]1,4上的值域. 【详解】由于()221y x =--，函数的对称轴为2x =，开口向上，所以当2x =时函数有最小值为1-，当4x =时，函数有最大值为3，所以函数在区间(]1,4 上的值域为[]1,3-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题. 7．运行如图的程序框图，则输出s 的结果是（ ）A ．16B ．2524C ．34D ．1112【答案】B【解析】试题分析：210n =<成立，第一次循环，12s =，224n =+=； 410n =<成立，执行第二次循环，113244s =+=，426n =+=； 610n =<成立，执行第三次循环，，628n =+=；810n =<成立，执行第四次循环，1112512824s =+=，8210n =+=； 1010n =<不成立，输出s 的值为2524，故选B. 【考点】算法与程序框图8．给出下列四个命题：①“02x <<”是“2x <”成立的必要不充分条件②命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；③命题“0R x ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++>”④如果命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么命题q 一定是真命题；其中为真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】C【解析】根据充分、必要条件的知识，判断①的正确性；根据否命题的知识，判断②的正确性；根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断③的正确性；根据含有逻辑联结词命题真假性的知识，判断④的正确性. 【详解】①，由于()()0,2,2-∞Ü，所以“02x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件，所以①错误.②，根据否命题的知识可知，②正确.③，特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以③错误. ④，由于“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，所以p 假q 真，所以④正确. 综上所述，真命题的个数是2个. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件，考查否命题，考查全称命题与特称命题，考查含有逻辑联结词命题真假性，属于基础题.9．若0.52a =，3log 2b =，2log 0.2c =，则 （ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】利用“0,1分段法”判断出三者的大小关系. 【详解】 由于0.503322221,0log 2log 31,log 0.2log 10a b c =>=<=<==<=，所以a b c >>.故选：A 【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()3f x f x +=-，当()2,0x ∈-时，()22f x x =，则()10f =（ ）A ．2-B ．2C ．98-D ．98【答案】A【解析】利用已知条件，化简求得()10f 的值. 【详解】由于()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()3f x f x +=-，当()2,0x ∈-时，()22f x x =，所以()()()()()()()()1073434131232f f f f f f f f =+=-+==+=-=--+=-()()()()22131212f f f ==-+=--=-⨯-=-.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的性质求函数值，属于基础题.11． ()2()log 3a f x x ax =-+在()3,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()1,2C ．(]1,3D ．(]1,4 【答案】D【解析】根据二次函数的性质，结合复合函数单调性同增异减列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】 函数23y xax =-+的开口向上，对称轴为2a x =，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.根据复合函数单调性同增异减可知21323330a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪-+≥⎪⎩，解得14a <≤，所以实数a 的取值范围是(]1,4.故选：D 【点睛】本小题主要考查对数型复合函数的单调性，属于中等题.12．已知()f x 是R 上的可导函数，且对x R ∀∈均有()()f x f x '>，则以下说法正确的是（ ） A ．()()201820180f e f >B ．()()201820180f e f <C ．()()201820180f e f = D ．()2018f 与()20180e f 的大小无法确定 【答案】A【解析】构造函数()()x f x g x e=，利用导数研究()g x 的单调性，由此判断出正确选项. 【详解】构造函数()()x f x g x e =，依题意()()()''0xf x f xg x e-=>，所以()g x 在R 上递增，所以()()20180g g >，即()()2018020180f f e e>，即()()201820180f e f >⋅. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数比较大小，属于基础题.二、填空题13．函数()()lg 1f x x =+的定义域为______. 【答案】(]1,3-【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数，对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意29010x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得331x x -≤≤⎧⎨>-⎩，解得13x -<≤，所以函数()f x 的定义域为(]1,3-.故答案为：(]1,3- 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.14．i 是虚数单位，复数20171+ii z =，则复数z =______.【解析】根据复数乘方运算、复数除法运算以及复数模的运算，求得正确结果. 【详解】依题意，()()() 201720161111111111222i ii i i iz ii i i i i+-+======+++++-，所以22112222z⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：22【点睛】本小题主要考查复数运算，属于基础题.15．图，，，分别包含，，和个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含个互不重叠的单位正方形.【答案】【解析】图1中包含1个单位正方形，图2在图1的基础上增加了4个单位正方形，有1+4=5个单位正方形，图3在图2的基础上增加了2×4=8个单位正方形，有5+5=13个单位正方形，图4在图3的基础上增加了3×4=12个单位正方形，有13+12=25个单位正方形．由此规律可知，第n个图在第1n-个图的基础上增加了4(1)n-个单位正方形，所以第n个图中有211141424(1)4(1)12212nn n n n+-+⨯+⨯++-=⨯⨯-+=-+L个单位正方形16．已知()2xf x=，()()212,3122,11x xg xg x x⎧-+-≤≤-⎪=⎨--<≤⎪⎩，则在区间()3,1-上方程()()0f xg x-=有______个实数解.【答案】4【解析】求得()g x在()3,1-上的解析式，画出()f x和()g x的图象，根据图象判断()()0f xg x-=的实数解的个数.【详解】当11x-<≤时，321x-<-≤-，所以()()22221g x g x x=-=-所以()()2212,3121,11x x g x x x ⎧-+-≤≤-⎪=⎨⎪--<≤⎩.注意到()()21231y x x =-+-≤≤-可化为()()222131x y x ++=-≤≤-，表示的图象是圆的上半部分.而()22111y x x =--<≤可化为()221114y x x +=-<≤，表示的图象是椭圆的上半部分.由此画出()f x 和()g x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有4个交点，所以()()0f x g x -=的实数解有4个.. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查方程的根的个数判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．实数m 取什么数值时，复数z =()2221i 1m m z m m +-=+-+分别是：（1）实数？ （2）纯虚数？【答案】（1）1m =；（2）2m =-.【解析】（1）复数为实数，则虚部为零，由此列方程，结合分式分母不为零，求得m 的值.（2）复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零，由此列式求得m 的值. 【详解】（1）由210m -=且10m +≠得，1m =. 所以，当1m =时，z 是实数；（2）由222011010m m m m m ⎧+-=⎪+⎪⎪+≠⎨⎪-≠⎪⎪⎩得，2m =-.当2m =-时，z 是纯虚数. 【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数的值，属于基础题.18．随着中国教育改革的不断深入，越来越多的教育问题不断涌现.“衡水中学模式”入驻浙江，可以说是应试教育与素质教育的强烈碰撞.这一事件引起了广大市民的密切关注.为了了解广大市民关注教育问题与性别是否有关，记者在北京，上海，深圳随机调查了100位市民，其中男性55位，女性45位.男性中有45位关注教育问题，其余的不关注教育问题；女性中有30位关注教育问题，其余的不关注教育问题. （1）根据以上数据完成下列2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否关注教育与性别有关系？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）见解析；（2）不能【解析】（1）根据表格所提供数据，补全2×2列联表. （2）计算2K 的值，对比题目所给数据，判断不能出在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为关注教育与性别有关系. 【详解】（1）根据以上数据建立一个2×2列联表：（2）将2×2列联表将的数据代入公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得()221003010451575254555K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1003.03033=≈ 因为3.030<5.024，所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为关注教育与性别有关系. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题.19．假设某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料，试求：（1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，a y bx =-）y2.23.8 5.5 6.5 7.0（1）y 与x 之间的线性回归方程；（2）当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？【答案】（1） 1.2308ˆ.0yx =+（2）12.38万元 【解析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2）令10x =，代入回归直线方程，由此求得维修费用的估计值. 【详解】 （1）由已知得：()12345645x =++++=， ()12.23.8 5.5 6.57.055y =++++=， 512 2.23 3.84 5.55 6.567.0112.3i ii x y=⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，222225122345690ii x==++++=∑，所以51522215112.3545ˆ 1.2390545i ii i i x y x ybx x ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，$ˆ5 1.2340.08ay bx =-=-⨯=， ∴线性回归方程为$1.230.08y x =+.（2）当10x =时，$1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）， 即当使用10年时，估计维修费用是12.38万元. 【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，并利用回归直线方程进行预测，属于基础题. 20．已知函数在处有极小值．（1）求、的值； （2）求出函数的单调区间．【答案】单调增区间为和，函数的单调减区间为．【解析】(1)由已知，可得f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，①又f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ，∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0.②由①②解得(2)由(1)得函数的解析式为f (x )＝x 3－x 2－x . 由此得f ′(x )＝3x 2－2x －1. 根据二次函数的性质， 当x <－或x >1时，f ′(x )>0； 当－<x <1时，f ′(x )<0. 因此，在区间和(1，＋∞)上，函数f (x )为增函数；在区间上，函数f (x )为减函数．21．已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行. （1）求实数a 的值；（2）若函数()22y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.（3）记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值. 【答案】（1）1a =；（2）5ln 224m +≤<；（3）152ln 28- 【解析】（1）利用导数和切线的斜率列方程，解方程求得a 的值. （2）由（1）求得()f x 的解析式.构造函数()()()220h x f x m x xx =+-+>，利用导数研究()h x 的单调性，以及极值，结合()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.（3）利用导数，结合根与系数关系，求得()g x 两个极值点的关系式，将()()12g x g x -表示为只含1x 的表达式，由此利用导数求得()()12g x g x -的最小值，由此求得k 的取值范围.【详解】 （1）1()f x a x'=-， ∵函数()ln f x x ax =-在2x = 处的切线l 与直线230x y +-=平行， ∴()11222k f a '==-=-，解得1a =； （2）由（1）得()ln f x x x =-，∴函数()()2223ln 0y f x m x x x x x m x =+-+=-++>，令()()23ln 0h x x x x m x =-++>，则()()()211123x x h x x x x--'=-+=， 令()0h x '=得11x =，21x =，列表得：∴当1x =时，()h x 的极小值为()12h m =-，又15ln 224h m ⎛⎫=--⎪⎝⎭，()22ln 2h m =-+∵函数()22y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点∴102(1)0(2)0h h h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩即5ln 204202ln 20m m m ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩，解得5ln 224m +≤<.（3）Q ()()21ln 12g x x x b x =+-+，∴()()()21111x b x g x x b x x-++'=+-+=，令()0g x '=得()2110x b x -++=，∵1x ，2x 是()g x 的极值点，∴121x x b +=+，121=x x ，∴211x x =， ∵32b ≥，∴121215210x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<=⎪⎩解得：1102x <≤，∴()()()()()22112121221ln12x g x g x x x b x x x -=+--+-， ()2221121112111112ln 2ln ,0222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令()221112ln ,022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x F x x x xx --'=--=<，∴()F x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；∴当12x =时()min 1152ln 228F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴k 的最大值为152ln 28-. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22．已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（1）l ： 21y x =+， C ：()2211x y +-=；（2）【解析】（1）消去参数t 求得直线l 的普通方程，将2sin ρθ=两边同乘以ρ，化简求得圆C 的直角坐标方程.（2）求得直线l 的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得MA MB +的值. 【详解】（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为51253x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①， 将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22525121t t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得22540t t ++=，设12,t t 是方程22540t t ++=的两根，则1225t t +=-，124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t 的几何意义得121225MA MB t t t t +=+=+=. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题. 23．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【解析】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【考点】不等式选讲.。
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重庆市七校联盟2019-2020学年高二上学期联考文科数学试题一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．（原创）设i 为虚数单位,则复数)2(i i z -=对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2．下列图中的两个变量是相关关系的是A.①②B.①③C.②④D.②③3．（原创）已知回归直线斜率的估计值为1.32,样本点的中心为点（2,3）,则回归直线的方程为A.432.1+=∧x y B. 532.1+=∧x y C. 36.032.1+=∧x y D. 32.108.0+=∧x y4．设iiz +=310，则z 的共轭复数为 A ．i 31+- B ． i 31-- C ． i 31+ D ． i 31-5．用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a 是实数,所以02>a ”,你认为这个推理 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的6．用反证法证明命题时，对结论：“自然数c b a ,,中至少有一个是偶数”正确的假设为 A ．c b a ,,都是奇数 B ．c b a ,,都是偶数C ．c b a ,,中至少有两个偶数D ．c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数7．（原创）若图1的框图所给的程序运行结果为20S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．9k =？B ．8k >？C ．?2>kD ．8k ≤？8．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是A.若2k 的观测值为6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确 9．设z y x ,,都是正实数，,1,1,1xz c z y b y x a +=+=+=则c b a ,,三个 A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于210．观察x x 2)('2=，3'44x x =）（，x x sin )cos ('-=，由归纳推理可得：若定 义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记)(x g 为)(x f 的导函数，则=-)(x g A.)(x f B.)(x f - C.)(x g D.)(x g -11．复数21,z z 满足i m m z )4(21-+=，i z )sin 3(cos 22θλθ++=),,(R m ∈θλ,并且21z z =，则λ的取值范围是A. ]1,1[-B. ]1,169[-C. ]7,169[-D. ]7,169[12．已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)('x f ,满足)()('x f x f <,且)2(+x f 为偶函数, 1)4(=f ,则不等式xe xf <)(的解集为A. ),2(+∞-B. ),0(+∞C. ),1(+∞D. ),4(+∞ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．（原创）要证明“1035>+”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 .(填序号)①反证法 ②分析法 ③综合法.14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时,回答如下.甲说:丙没有考满分;乙说:是我考的;丙说:甲说的是真话.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 .15.若不等式042≥++ax x 对一切]1,0(∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .16. （原创）如图，它满足第n 行首尾两数均为n ，则第n 行（n≥2）第2个数是 .三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）（原创）当m 为何实数时，复数i m m m m m z )82(4622--+---=是 （1）实数; （2）纯虚数.18.（本小题满分12分）（原创）A 、B 、C 、D 、E 五位学生的语文成绩x 与英语成绩y (单位:分)如下表:(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ;(参考数值:2319062606465687066757080=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，24750606570758022222=++++)(2)若学生F 的语文成绩为90分,试根据(1)求出的线性回归方程,预测其英语成绩(结果保留整数).（参考公式：∧∧∧+=a x b y ，其中∑∑==∧--=ni ini ii xn xyx n y x b 1221）19．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。
在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示:(1)列出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考)(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并抽取3名幸运选手,求3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间的概率.(参考公式: ))()()(()(22b d dc c a b a bc ad n K ++++-=.其中d c b a n +++=.)20．（本小题满分12分）设12)(23+++=bx ax x x f 的导函数为)('x f ,若=y )('x f 的图像关于直线21-=x 对称,且0)1('=f （1）求实数b a ,的值; （2）求函数)(x f 的极值.21．（本小题满分12分）已知函数xx k x g x x f )1()(,ln )(-==． （1）当k=e 时，求函数)()()(x g x f x h -=的单调区间； （2） 若)()(x g x f ≥恒成立，求实数k 的值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号22．(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程选讲 已知直线l 的方程为4y x =+,圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线l 与圆C 的交点的极坐标；(2) 若P 为圆C 上的动点,求P 到直线l 的距离d 的最大值.23．(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB=2AC ． (1)求证：BE=2AD ；(2)当AC=1，EC=2时，求AD 的长．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设函数122)(+--=x x x f ． (1)求不等式x x f ≤)(的解集；(2)若不等式t t x f -≥2)(在x ∈[-2，-1]时恒成立，求实数t 的取值范围．重庆市七校联考高二数学文科参考答案一．选择题（每题5分，共60分）二．填空题（每题5分，共20分）13、② 14、甲15、[)+∞-,5 16、222+-n n三、解答题17. (本小题满分12分)解：（1）当⎩⎨⎧=--≠-082042m m m ………………………………3分即2-=m 时，z 是实数； ………………………………6分（2）当⎪⎩⎪⎨⎧≠--=---08204622m m m m m (8)分⎩⎨⎧≠-≠-=⇒4223m m m 且或 ………………………………10分3=∴m 时，z 是纯虚数. ………………………………12分18. (本小题满分12分) 解：（1）因为7056065707580=++++=x , …………………1分6656264686670=++++=y , …………………2分231906260646568706675708051=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=ii i yx ,…3分24750606570758022222512=++++=∑=i ix……………4分所以36.0705247506670523190552512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==∧i ii ii xxy x yx b ,……6分 8.407036.066=⨯-=-=∧∧x b y a . ……8分故所求线性回归方程为8.4036.0+=∧x y . ………………9分（2）由(1),当x=90时, 732.738.409036.0≈=+⨯=∧y , ………11分 答:预测学生F 的英语成绩为73分. ………………12分 19. (本小题满分12分) 解 ：（1）22⨯列联表:则706.23100804020)30107010(120))()()(()(222>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=b d dc c a b a bc ad n K …5分 所以有%90的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关. ……6分（2）设事件A 为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间,由已知得20~30岁之间的人数为2人,30~40岁之间的人数为4人,从6人中取3人的结果有20种,事件A 的结果有16种,则542016)(==A P . ………………………12分 20.(本小题满分12分)解：（1）因12)(23+++=bx ax x x f ,故b ax x x f ++=26)(2'， ……2分从而6)6(6)(22'a b a x x f -++=,即)('x f y =关于直线6a x -=对称,从而由题设条件知216-=-a ,解得3=a ………………4分 又由于0)1('=f ,即026=++b a ,解得12-=b . …………5分 (2)由(1)知11232)(23+-+=x x x x f ，)2)(1(61266)(2'+-=-+=x x x x x f ………………6分令0)('=x f ,即0)2)(1(6=+-x x ,解得1,221=-=x x . ………………7分 当)2,(--∞∈x 时, 0)('>x f ,故)(x f 在)2,(--∞∈x 上为增函数; …………9分 当)1,2(-∈x 时, 0)('<x f ,故)(x f 在)1,2(-∈x 上为减函数; ……………10分 当),1(+∞∈x 时, 0)('>x f ,故)(x f 在),1(+∞∈x 上为增函数; …………11分 ∴函数)(x f 极大值为21)2(=-f ,极小值为6)1(-=f . ………12分 21.(本小题满分12分) 解：（1）当e k =时, 22'1)(xex x e x x h -=-=, ……………2分 若e x <<0,则0)('<x h ;若e x >,则0)('>x h ．所以)(x h 是),0(e 上的减函数,是),(+∞e 上的增函数，故函数)(x h 的减区间为),0(e ,增区间为),(+∞e …5分 （2）解：由⑴知22'1)(xk x x k x x h -=-=, 当0≤k 时, 0)('>x h 对0>x 恒成立,所以)(x h 是),0(+∞上的增函数, 注意到0)1(=h ,所以10<<x 时, 0)(<x h 不合题意． ……………7分 当0>k 时,若k x <<0,0)('<x h ;若k x >,0)('>x h ．所以)(x h 是),0(k 上的减函数,是),(+∞k 上的增函数, ……………8分 故只需01ln )()(min ≥+-==k k k h x h ． ………………………9分 令)0(1ln )(>+-=x x x x u ,xxx x u -=-=111)(', 当10<<x 时,0)('>x u ; 当1>x 时,0)('<x u ． 所以)(x u 是)1,0(上的增函数,是),1(+∞上的减函数． 故0)1()(=≤u x u 当且仅当1=x 时等号成立．所以当且仅当1=k 时,0)(≥x h 成立,即1=k 为所求．……………12分 22.(本小题满分10分) 解：（1）直线l:4y x =+,圆C :()2224x y +-=, …………………1分联立方程组()22424y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得22x y =-⎧⎨=⎩或4x y =⎧⎨=⎩, …………………3分 对应的极坐标分别为34π⎛⎫⎪⎝⎭,4,2π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………………5分 （2）[方法1]设()2cos ,22sin P θθ+,则14d πθ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭,当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,d取得最大值2+…………………………………10分[方法2]圆心()0,2C 到直线l=,圆的半径为2,所以P 到直线l 的距离d的最大值为2+…………………………………10分23.(本小题满分10分)证明：(1)连接DE ，由于四边形DECA 是圆的内接四边形，所以：∠BDE=∠BCA …………………………………1分∠B 是公共角， ……………………………2分则：△BDE ∽△BCA ． ……………………………3分 则：ACDE AB BE =， 又：AB=2AC所以：BE=2DE ，CD 是∠ACB 的平分线，所以：AD=DE ， ……………………………………………………4分则：BE=2AD ． ………………………………………………5分（2）由于AC=1，所以：AB=2AC=2． …………………………………………6分利用割线定理得：BD •AB=BE •BC ， ……………………………………………8分由于：BE=2AD ，设AD=t ，则：2（2﹣t ）=（2+2t ）•2t ………………………………………9分解得：t=21， 即AD 的长为21． …………………………………………10分 24.(本小题满分10分)解：（1）=)(x f 2,3,221,13213≥--<<-+--≤+x x x x x x ， x x f ≤)(由, ………………2分解得， x x x ≤+-≤321 ，或 x x x ≤+-<<-13221 ，或 x x x ≤--≥32 ，………………4分 故解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41： ………………………………5分（2）依题意得，不等式[]1,2)(2--∈-≥x t t x f 在时恒成立t t x f -≥⇔2min )(， [],3)(,1,2+=--∈x x f x 且)(x f 在[]1,2--∈x 上单调递增， 所以2512511,1)2()(2min +≤≤-⇒≤-=-=t t t f x f 则 ………………10分。