第九章 数字信号处理中的有限字长效应
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在信号幅度方面，令模拟信号乘一个比例因子A，以满足A/D动态 范围（A/D变换器总是定点制的）。记为
x(n) Axa (t) tnT Axa (nT)
在动态范围内可表示为：
1
2b 2
x(n)
1
2b 2
（ b 是二进制位数）
21
如令采样值为 xˆ(n) ，则量化误差（绝对误差）为：
第九章 数字信号处理中的有限字长效应
引言 二进制数的表示及其对量化的影响 A/D变换的量化效应 数字滤波器的系数量化效应 极限环振荡 系数量化对数字滤波器的影响
1
9.1 引言
数字信号字长有限，引起误差。一般有三种原因 模数转换（A/D）的量化效应 系数用有限位二进制数表示的量化效应 数字运算中的有限字长效应
1 A
，则
4 x
S N
10
lg
1 16
2 e
6b 1.25
(dB)
b 越大信噪比越高
例如，给定 S N 要求 40dB ，求 b 最少为多少位。
提高信噪比的方法：
增大输入信号，但受限于A/D变换器的动态范围
增加字长 b ，但受限于输入信号 xa (t) 的本身信噪比
28
二、量化噪声通过线性系统
系统的线性性质使加性噪声的输入在输出端也产生加性响应， 如下图所示：
x(n) h(n)
e(n)
y(n) x(n) h(n) e(n) h(n) y(n) f (n)
由于 e(n) 是白噪，故其自协方差、自相关是 函数，即
ree (n) Rxx (n) e2 (n)
x10
a0
b i 1
ai 2i
1 1 22
1
2 8
6 8
反 码:
x10
a0 (1 2b )
b i 1
ai 2i
(1)(1 23 ) 1 22
7 8
2 8
5 8
反码与补码关系：
x反 2 x 2b x补 2b x补 x反 2b
b
QT [ x] 1 ai 2i i 1
b1
截尾误差： ET QT [ x] x ai 2i 0 ib1
ET 0
14
b1
反码时： x 1 ai 2i 2b1 i 1
截尾后：
b
QT [ x] 1 ai 2i i 1
绝对误差：
2c
2
ER
2c
2
即
2c
2
Rx
2c
2
2c1 x 2c
18
（1）对正数： 2c－1 x 2c
若
R
为正，则
R 2c－1
Rx
2c
2
∴ R
若
Rຫໍສະໝຸດ Baidu
为负，则
R 2c－1
Rx
2c
2
∴ R
总之 R
e(n) Q[x(n)] x(n) xˆ(n) x(n)
量化后如果采用补码表示，则误差范围为：
（1）舍入量化时：
2 eR (n) 2
， 2b
（2）截尾量化时：
eT (n) 0
22
一、量化误差的统计分析
通常假定 e(n)
平稳随机序列 与抽样信号不相关 序列本身的任意两个值之间不相关（白噪声序列） 在误差范围内是均匀分布 故采样量化过程可用下图表示：
而是选靠得最近的量化层的标准值，故其误差总在 之间
2
即
2 ER 2
， 2b ，
ER QR[x] x
3.浮点制的截尾
浮点与阶数 c 有关，相对误差 Q[ x] x 更重要。
x
（1）对正数： ET 0
绝对误差： 2c T x 0 ， x 0 ，2c1 x 2c
相对误差： 0 T 2 x 0
概括起来，浮点制截尾的相对误差范围应为
原码、反码 2 T 0
补码
0
2
T
T 0, 2,
x 0 x 0
17
4.浮点制的舍入
记
ER QR[x] x
，
R
QR[ x] x
x
c 尾数误差在 之间，阶码为 2
11
截尾误差
b1
ET QT [ x] x ai 2i 0 ib1
最大截尾误差
b1
ETmax 2i (2b 2b1 ) ib1
即
(2b 2b1 ) ET 0
令 2b ，称为“量化步阶”或“量化步长”或“量化宽度”。
6
x原
1
x
x
0 x1 1 x 0
b
( x)10 (1)a0 ai 2i i 1
例：+0.25 0.010 -0.25 1.010
加减不方便，需判断正负及相减绝对值大小。
7
2.补码（又称“2的补码”）
x补
x 2－
x
0 x1 1 x 0
29
自协方差在
n
0
时是噪声功率，得到白噪的功率是
2 e
，
该噪声通过 h(n) 的过滤，产生的噪声功率为
2 f
E[ f 2(n)]
E
h(m)e(n m)
h(l)e(n l)
m0
l0
h(m)h(l) Ee(n m)e(n l) m0 l0
h(m)h(l) e2 (m l) m0 l0
h2
(m
)
2 e
m0
30
2 f
h2
(m)
2 e
m0
把 h(m) 看成信号，
按帕塞瓦尔定理：时域能量（功率）= 频域能量（功率），
上式还可以写成：
自协方差进行分析。对任何分布的白噪总有自协方差是 (n) 函数，
其功率谱是一常数。对舍入误差也是如此，用数学定量表示为：
ree(n) Ee(m) me e(m n) me e2 (n)
用 e(n) 描述是绝对误差的概念，实际中相对误差也很重要，我们
对随机信号的振幅求相对误差没有意义，因均值为零时，振幅误差
19
（2）对负数： 2c x 2c1
同理可得 R
概括起来，浮点制舍入的相对误差范围应为
R
20
9.3 A/D变换的量化效应
A/D是从模拟信号经采样转化为数字信号，而数字信号总是有限 字长的，故与原信号相比产生一定的误差，分析A/D量化效应当目的 在于选择合适的字长以满足信噪比指标。另外，模拟信号必须是带宽 有限的，才能以2倍带宽以上的采样频率进行采样，而不产生混叠失真。
ET 0 12
（2）对负数：
原码时：
b1
x ai 2i i 1
截尾后：
b
QT [ x] ai 2i i 1
b1
截尾误差： ET QT [ x] x ai 2i 0 ib1
0 ET
13
补码时： 截尾后：
b1
x 1 ai 2i i 1
3
2. 浮点二进制数（类似于科学记数法）
c
x 2 M
M 是尾数，c 是指数，称阶码。 运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。
优点：动态范围大 缺点：运算速度慢，加法和乘法都会产生舍入或截尾误差
4
3. 分组浮点二进制数
一组数共用一个阶码，从而节省了存储器。
定点：10.1001
x 1 21 0 20 1 21 0 22 0 23 1 24 2.5625
10
三、量化方式——舍入与截尾
尾数的截尾或舍入处理引起的误差取决于： 二进制数的位数 数的运算方式（定点或浮点） 负数的表示法（原码、补码或反码） 尾数的处理方法（舍入或截尾）
1. 定点制截尾 （1）对正数：
b1
x ai 2i i 1
截尾后：
b
QT [ x] ai 2i b b1 i 1
浮点： 0.11 2010
x 0 20 1 21 1 22 2121020 0.75 22 3
5
二、负数的表示法 1.原码 记尾数以整数位为符号位，
a0 .a1a2a3 ab
符号位 尾数（b位） 尾数以数的绝对值表示，又称“符号-幅度码”。
相对误差： 2 T 0
16
（2）对负数： 原码及反码时： 0 ET
绝对误差： 0 T x 2c ， 2c x 2c1
相对误差： 2 T 0 x 0
补码时： ET 0
绝对误差： 2c T x 0 ，
b
( x)10 a0 ai 2i i 1
例：+0.25 -0.25
0.010 1.110
利用补码，可把加减法统一为加法。
另一种求补码的方法称为“求反加1”，即各位求反，末位加1。
8
3.反码：又称“1的补码”，各位求反0， 1，1 0
x反
x
1.111 1 x
b1
截尾误差：ET QT [ x] x ai 2i 2b 2b1 0 ib1
0 ET
概括起来，定点制截尾的误差范围应为
正数及补码负数
ET 0
原码负数及反码负数 0 ET
15
2.定点制舍入
十进制舍入是四舍五入，类似地二进制舍入不是简单截尾，
other
me E[eR(n)]
2
eR
p(e)de
0
2
E[] 表示求统计平均。
24
方差为：
2 e
E[(e(n)
me
)2 ]
2
(e
me
)2
p(e)de
2
2
2
e2
de
e3
e3
2 22b
3 e 3 e 12 12
研究目的 选择合适的字长 作误差分析
返回
2
9.2 二进制数的表示及其对量化的影响 二进制最基本算法：
定点制、浮点制、成组浮点制
一、3种算术运算方法
1. 定点二进制 二进制小数点位置固定不变，运算中动态范围小， 有溢出现象。
通常将数值范围压缩在-1与1之间，还要进行尾数处理 （舍入或截尾） 优点：快速简单，只有乘法才出现舍入或截尾误差 缺点：动态范围小，为防溢出，信号压缩降低了信噪比。
2
2
（2）对定点补码截尾方式：
01
2b
me E[eT (n)]
ede
2
2
有直流分量
2 e
E[(e(n)
me
)2
]
0
e
2
1
de
2
22b
2
12 12
与舍入情形相同
25
对随机序列，常用自相关函数或去掉均值后的自相关函数，又称
x 2
2b
x
0 x1 1 x 0 0 x1 1 x 0
（其中1.111…1为b+1位）
例：+0.25 0.010 -0.25 1.101
9
原 码 :
x10
(1)a0
b i 1
ai 2i
(1)1 1 22
2 8
1.010补 码 :
正负相互抵消也为零，但实际有误差，故采用振幅平方，即信号功率
与噪声功率的相对比较来度量（相对误差），称之为信噪比，是信号
功率比噪声功率大多少倍。记信号功率为
2 x
，则
2 x
2 e
舍入处理
2 x
22b 12
12
22b
2 x
26
实际采用对数方式
S N
10
lg
2 x
2 e
6.02b
10.79
10
lg
2 x
(dB)
信号功率越大，信噪比越高；随着字长的增加，信噪比也增大。
若输入信号幅度压缩，则有：
输入信号为 Ax(n) 时，
S ＝10lg N
A2
2 x
2 e
6.02b
10.79
10
log10
2 x
20log10
A
因此压缩输入信号幅度，将使信噪比减小。
27
如取
xa (t) tnT xˆ(n) e(n)
23
所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性，
尤其是一阶矩（均值） me
和二阶矩（方差）
2 e
。
（1）对定点舍入量化方式， e(n)的概率密度函数为：
p[e(n)]
1
0
其均值为：
2 eR(n) 2
x(n) Axa (t) tnT Axa (nT)
在动态范围内可表示为：
1
2b 2
x(n)
1
2b 2
（ b 是二进制位数）
21
如令采样值为 xˆ(n) ，则量化误差（绝对误差）为：
第九章 数字信号处理中的有限字长效应
引言 二进制数的表示及其对量化的影响 A/D变换的量化效应 数字滤波器的系数量化效应 极限环振荡 系数量化对数字滤波器的影响
1
9.1 引言
数字信号字长有限，引起误差。一般有三种原因 模数转换（A/D）的量化效应 系数用有限位二进制数表示的量化效应 数字运算中的有限字长效应
1 A
，则
4 x
S N
10
lg
1 16
2 e
6b 1.25
(dB)
b 越大信噪比越高
例如，给定 S N 要求 40dB ，求 b 最少为多少位。
提高信噪比的方法：
增大输入信号，但受限于A/D变换器的动态范围
增加字长 b ，但受限于输入信号 xa (t) 的本身信噪比
28
二、量化噪声通过线性系统
系统的线性性质使加性噪声的输入在输出端也产生加性响应， 如下图所示：
x(n) h(n)
e(n)
y(n) x(n) h(n) e(n) h(n) y(n) f (n)
由于 e(n) 是白噪，故其自协方差、自相关是 函数，即
ree (n) Rxx (n) e2 (n)
x10
a0
b i 1
ai 2i
1 1 22
1
2 8
6 8
反 码:
x10
a0 (1 2b )
b i 1
ai 2i
(1)(1 23 ) 1 22
7 8
2 8
5 8
反码与补码关系：
x反 2 x 2b x补 2b x补 x反 2b
b
QT [ x] 1 ai 2i i 1
b1
截尾误差： ET QT [ x] x ai 2i 0 ib1
ET 0
14
b1
反码时： x 1 ai 2i 2b1 i 1
截尾后：
b
QT [ x] 1 ai 2i i 1
绝对误差：
2c
2
ER
2c
2
即
2c
2
Rx
2c
2
2c1 x 2c
18
（1）对正数： 2c－1 x 2c
若
R
为正，则
R 2c－1
Rx
2c
2
∴ R
若
Rຫໍສະໝຸດ Baidu
为负，则
R 2c－1
Rx
2c
2
∴ R
总之 R
e(n) Q[x(n)] x(n) xˆ(n) x(n)
量化后如果采用补码表示，则误差范围为：
（1）舍入量化时：
2 eR (n) 2
， 2b
（2）截尾量化时：
eT (n) 0
22
一、量化误差的统计分析
通常假定 e(n)
平稳随机序列 与抽样信号不相关 序列本身的任意两个值之间不相关（白噪声序列） 在误差范围内是均匀分布 故采样量化过程可用下图表示：
而是选靠得最近的量化层的标准值，故其误差总在 之间
2
即
2 ER 2
， 2b ，
ER QR[x] x
3.浮点制的截尾
浮点与阶数 c 有关，相对误差 Q[ x] x 更重要。
x
（1）对正数： ET 0
绝对误差： 2c T x 0 ， x 0 ，2c1 x 2c
相对误差： 0 T 2 x 0
概括起来，浮点制截尾的相对误差范围应为
原码、反码 2 T 0
补码
0
2
T
T 0, 2,
x 0 x 0
17
4.浮点制的舍入
记
ER QR[x] x
，
R
QR[ x] x
x
c 尾数误差在 之间，阶码为 2
11
截尾误差
b1
ET QT [ x] x ai 2i 0 ib1
最大截尾误差
b1
ETmax 2i (2b 2b1 ) ib1
即
(2b 2b1 ) ET 0
令 2b ，称为“量化步阶”或“量化步长”或“量化宽度”。
6
x原
1
x
x
0 x1 1 x 0
b
( x)10 (1)a0 ai 2i i 1
例：+0.25 0.010 -0.25 1.010
加减不方便，需判断正负及相减绝对值大小。
7
2.补码（又称“2的补码”）
x补
x 2－
x
0 x1 1 x 0
29
自协方差在
n
0
时是噪声功率，得到白噪的功率是
2 e
，
该噪声通过 h(n) 的过滤，产生的噪声功率为
2 f
E[ f 2(n)]
E
h(m)e(n m)
h(l)e(n l)
m0
l0
h(m)h(l) Ee(n m)e(n l) m0 l0
h(m)h(l) e2 (m l) m0 l0
h2
(m
)
2 e
m0
30
2 f
h2
(m)
2 e
m0
把 h(m) 看成信号，
按帕塞瓦尔定理：时域能量（功率）= 频域能量（功率），
上式还可以写成：
自协方差进行分析。对任何分布的白噪总有自协方差是 (n) 函数，
其功率谱是一常数。对舍入误差也是如此，用数学定量表示为：
ree(n) Ee(m) me e(m n) me e2 (n)
用 e(n) 描述是绝对误差的概念，实际中相对误差也很重要，我们
对随机信号的振幅求相对误差没有意义，因均值为零时，振幅误差
19
（2）对负数： 2c x 2c1
同理可得 R
概括起来，浮点制舍入的相对误差范围应为
R
20
9.3 A/D变换的量化效应
A/D是从模拟信号经采样转化为数字信号，而数字信号总是有限 字长的，故与原信号相比产生一定的误差，分析A/D量化效应当目的 在于选择合适的字长以满足信噪比指标。另外，模拟信号必须是带宽 有限的，才能以2倍带宽以上的采样频率进行采样，而不产生混叠失真。
ET 0 12
（2）对负数：
原码时：
b1
x ai 2i i 1
截尾后：
b
QT [ x] ai 2i i 1
b1
截尾误差： ET QT [ x] x ai 2i 0 ib1
0 ET
13
补码时： 截尾后：
b1
x 1 ai 2i i 1
3
2. 浮点二进制数（类似于科学记数法）
c
x 2 M
M 是尾数，c 是指数，称阶码。 运算中动态范围大，但阶码占用存储空间。
优点：动态范围大 缺点：运算速度慢，加法和乘法都会产生舍入或截尾误差
4
3. 分组浮点二进制数
一组数共用一个阶码，从而节省了存储器。
定点：10.1001
x 1 21 0 20 1 21 0 22 0 23 1 24 2.5625
10
三、量化方式——舍入与截尾
尾数的截尾或舍入处理引起的误差取决于： 二进制数的位数 数的运算方式（定点或浮点） 负数的表示法（原码、补码或反码） 尾数的处理方法（舍入或截尾）
1. 定点制截尾 （1）对正数：
b1
x ai 2i i 1
截尾后：
b
QT [ x] ai 2i b b1 i 1
浮点： 0.11 2010
x 0 20 1 21 1 22 2121020 0.75 22 3
5
二、负数的表示法 1.原码 记尾数以整数位为符号位，
a0 .a1a2a3 ab
符号位 尾数（b位） 尾数以数的绝对值表示，又称“符号-幅度码”。
相对误差： 2 T 0
16
（2）对负数： 原码及反码时： 0 ET
绝对误差： 0 T x 2c ， 2c x 2c1
相对误差： 2 T 0 x 0
补码时： ET 0
绝对误差： 2c T x 0 ，
b
( x)10 a0 ai 2i i 1
例：+0.25 -0.25
0.010 1.110
利用补码，可把加减法统一为加法。
另一种求补码的方法称为“求反加1”，即各位求反，末位加1。
8
3.反码：又称“1的补码”，各位求反0， 1，1 0
x反
x
1.111 1 x
b1
截尾误差：ET QT [ x] x ai 2i 2b 2b1 0 ib1
0 ET
概括起来，定点制截尾的误差范围应为
正数及补码负数
ET 0
原码负数及反码负数 0 ET
15
2.定点制舍入
十进制舍入是四舍五入，类似地二进制舍入不是简单截尾，
other
me E[eR(n)]
2
eR
p(e)de
0
2
E[] 表示求统计平均。
24
方差为：
2 e
E[(e(n)
me
)2 ]
2
(e
me
)2
p(e)de
2
2
2
e2
de
e3
e3
2 22b
3 e 3 e 12 12
研究目的 选择合适的字长 作误差分析
返回
2
9.2 二进制数的表示及其对量化的影响 二进制最基本算法：
定点制、浮点制、成组浮点制
一、3种算术运算方法
1. 定点二进制 二进制小数点位置固定不变，运算中动态范围小， 有溢出现象。
通常将数值范围压缩在-1与1之间，还要进行尾数处理 （舍入或截尾） 优点：快速简单，只有乘法才出现舍入或截尾误差 缺点：动态范围小，为防溢出，信号压缩降低了信噪比。
2
2
（2）对定点补码截尾方式：
01
2b
me E[eT (n)]
ede
2
2
有直流分量
2 e
E[(e(n)
me
)2
]
0
e
2
1
de
2
22b
2
12 12
与舍入情形相同
25
对随机序列，常用自相关函数或去掉均值后的自相关函数，又称
x 2
2b
x
0 x1 1 x 0 0 x1 1 x 0
（其中1.111…1为b+1位）
例：+0.25 0.010 -0.25 1.101
9
原 码 :
x10
(1)a0
b i 1
ai 2i
(1)1 1 22
2 8
1.010补 码 :
正负相互抵消也为零，但实际有误差，故采用振幅平方，即信号功率
与噪声功率的相对比较来度量（相对误差），称之为信噪比，是信号
功率比噪声功率大多少倍。记信号功率为
2 x
，则
2 x
2 e
舍入处理
2 x
22b 12
12
22b
2 x
26
实际采用对数方式
S N
10
lg
2 x
2 e
6.02b
10.79
10
lg
2 x
(dB)
信号功率越大，信噪比越高；随着字长的增加，信噪比也增大。
若输入信号幅度压缩，则有：
输入信号为 Ax(n) 时，
S ＝10lg N
A2
2 x
2 e
6.02b
10.79
10
log10
2 x
20log10
A
因此压缩输入信号幅度，将使信噪比减小。
27
如取
xa (t) tnT xˆ(n) e(n)
23
所谓统计分析就是研究随机过程的统计特性，特别是各阶矩特性，
尤其是一阶矩（均值） me
和二阶矩（方差）
2 e
。
（1）对定点舍入量化方式， e(n)的概率密度函数为：
p[e(n)]
1
0
其均值为：
2 eR(n) 2