2023年广东省东莞市八校中考数学二模试卷及答案解析

2023年广东省东莞市八校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）6的倒数是（）
A．B．﹣0.6C．D．6
2．（3分）中国空间站俯瞰地球的高度约为400000米，将400000用科学记数法表示应为（）
A．4×105B．4×106C．40×104D．0.4×106 3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（）
A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6
5．（3分）在，，﹣，π，2023这五个数中，无理数的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
6．（3分）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（）A．7B．5C．3D．2
7．（3分）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
8．（3分）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）
A．7B．8C．9D．10
9．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（）A．B．C．D．
10．（3分）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）
A．100°40'B．99°80'C．99°40'D．99°20'
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：a2b﹣4b＝．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．
14．（3分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为cm．
15．（3分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…
新运算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③．其中正确的是．
16．（8分）先化简，再求值（1+）÷，其中x＝﹣1．
17．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
18．（8分）为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：A （合唱社团）、B（陶艺社团）、C（数独社团）、D（硬笔书法），七年级共有120名学生选择了C课程．为了解选择C课程学生的学习情况，张老师从这120名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制，单位：分）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）80～90分这组的数据为：81、89、84、84、84、86、85、88、83，则这组数据的中位数是分、众数是分；
（2）根据题中信息，可以估算七年级选择C课程的学生成绩在70～90分的人数是______人；
（3）七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程C．他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程A或课程B的概率．
19．（9分）如图，已知平行四边形OABC 中，点O 为坐标原点，点A （3，0），C （1，2），函数y ＝（k ≠0）的图象经过点C ．（1）求k 的值及直线OB 的函数表达式：（2）求四边形OABC
的周长．
20．（9分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a 千米每千米行驶费用：
元
新能源车
电池电量：60千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：a 千米每千米行驶费用：_____元
（1）用含a 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
21．（9分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O
，E 是CD 中点，连接OE ．过点C 作CF ∥BD 交OE 的延长线于点F ，连接DF ．求证：（1）△ODE ≌△FCE ；（2）四边形OCFD 是矩形．
22．（12分）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点D，使△ACD的周长最小，求点D的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴右侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
2023年广东省东莞市八校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据倒数的定义即可求解．相乘等于1的两个数互为倒数．
【解答】解：6的倒数是，
故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：400000＝4×105．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；
B．tan30°＝，因此选项B不符合题意；
C.＝2，因此选项C不符合题意；
D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法，掌握零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法的计算方法是正确判断的前提．
5．【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．【解答】解：在，，﹣，π，2023中，
，﹣，2023是有理数，，π，是无理数，共2个，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数，求一个数的立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
6．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝3，x1•x2＝1，进而即可求解．【解答】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝1，
∴x1+x2﹣x1•x2＝3﹣1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．
8．【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设共有x支队人伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比寒，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
9．【分析】先根据三角形中位线的性质得到EF∥BC，EF＝BC，则可判断△OEF∽△OBC，
利用相似比得到＝，然后根据比例的性质得到的值．
【解答】解：∵中线BE、CF交于点O，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴＝＝，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．10．【分析】先根据反射角等于入射角求出∠2的度数，再求出∠5的度数，最后根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，
∴∠2＝∠1＝40°10'，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，
∵入射光线l与出射光线m平行，
∴∠6＝∠5＝99°40'．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理推理是解此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．
【解答】解：a2b﹣4b＝b（a2﹣4）＝b（a+2）（a﹣2）．
故答案为：b（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．【分析】先表示出“Δ”．再根据没有实数根，判别式小于0求解．【解答】解：根据题意得：Δ＝9﹣4m＜0，
解得：m＞2.25，
故答案为：m＞2.25．
【点评】本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键．
13．【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．【解答】解：由图象可得OB与直径重合，
∵BO⊥AC，
∴OA＝OC，
∵A（﹣2，0），
∴C（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．
14．【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．【分析】根据题中的新定义法则判断即可．
【解答】解：根据题意得：①log216＝log224＝4，原计算正确，
②log525＝log552＝2，原计算错误，
③＝log22﹣1＝﹣1，原计算正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．【分析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1+）÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．17．【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；
（2）证明：∵∠C＝90°，点E是边AB的中点，
∴AE＝BE＝CE＝AB，
∵AC＝BE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
18．【分析】（1）根据中位数和众数的定义分别进行求解即可；
（2）用总人数乘以70～90分的人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩同时选到课程A或课程B的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）把这些数从小到大排列为：81、83、84、84、84、85、86、88、89，则这组数据的中位数是84分，
∵84出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是84分；
故答案为：84，84；
（2）根据题意得：
120×＝64（人），
答：估算七年级选择C课程的学生成绩在70～90分的人数是64人；
故答案为：64；
（3）根据题意列树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中他俩同时选到课程A或课程B的概率有2种，
则他俩同时选到课程A或课程B的概率是．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．【分析】（1）根据函数y＝（k≠0）的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线OB的函数解析式；
（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）依题意有：点C（1，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝xy＝2，
∵A（3，0）
∴CB＝OA＝3，
又CB∥x轴，
∴B（4，2），
设直线OB的函数表达式为y＝ax，
∴2＝4a，
∴a＝，
∴直线OB的函数表达式为y＝x；
（2）作CD⊥OA于点D，
∵C（1，2），
∴OC＝，
在平行四边形OABC中，
CB＝OA＝3，AB＝OC＝，
∴四边形OABC的周长为：3+3+＝6+2，
即四边形OABC的周长为6+2．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴＝0.6，＝0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
21．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出∠COD ＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形
的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；
（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果；
（3）由（2）的结论，得出r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r＝，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴，
∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
23．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接CB交对称轴于点D，当C、B、D三点共线时，△ACD的周长最小，求出直线BC的解析式，再求D点坐标即可；
（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，过点M作MN⊥对称轴于N，可证明△BPH≌△PMN（AAS），设P（1，t），则M（1+t，t+2），求出M点坐标为（2，3）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线BG，过点M作MG⊥BG于G，可证明△BPH≌△BMG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1+，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1+，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接CB交对称轴于点D，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AD＝BD
∴AC+AD+CD＝AC+CD+BD≥AC+BC，
当C、B、D三点共线时，△ACD的周长最小，
∵C（0，3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
∴D（1，2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，过点M作MN⊥对称轴于N，如图，
∵∠BPM＝90°，
∴∠BPH+∠MPN＝90°，
∵∠BPH+∠PBH＝90°，
∴∠MPN＝∠PBH，
∵BP＝PM，∠MNP＝∠PHB，
∴△BPH≌△PMN（AAS），
∴BH＝PN，PH＝MN＝1，
设P（1，t），则M（1+t，t+2），
∴t+2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
解得t＝1或t＝﹣2，
∴M（2，3）或（﹣1，0），
∵M点在对称轴的右侧，
∴M点坐标为（2，3）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
如图，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线BG，过点M作MG⊥BG于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBG+∠MBG＝90°，
∵∠PBG+∠PBH＝90°，
∴∠MBG＝∠PBH，
∵BP＝BM，∠PHB＝∠MGB＝90°，
∴△BPH≌△BMG（AAS），
∴BH＝BG＝2，PH＝MG，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M点在对称轴的右侧，
∴M点坐标为（1+，﹣2）；
如图，当P点在M点下方时，
同理可得M（3+t，2），
∴2＝﹣（3+t）2+2（3+t）+3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，
∴M（1+，2）；
综上所述：M点的坐标为（2，3）或（1+，﹣2）或（1+，2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键。