概率论-1-3随机事件的概率

B
又 (B A) A ，
A
得 P(B) P( A) P(B A).
于是 P(B A) P(B) P(A). 又因 P(B A) 0，故P(A) P(B)
(3) 对于任一事件 A, P(A) 1.
证明 A S P( A) P(S) 1, 故P( A) 1.
(4) 设 A 是 A 的 对 立 事 件, 则 P( A) 1 P( A).
请同学们思考.
医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的 病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活 .” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说： “但你是幸运的．因为你找到了我，我已经看过 九个病人了，他们都死于此病.”
医生的说法对吗?
二、概率的定义与性质
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使 概率论有了迅xun速的发展.
概率论与数理统计及其应用
第三节随机事件的概率
• 一、频率的定义与性质 • 二、概率的定义与性质 • 三、小结
引言
一、频率的定义与性质 1. 定义
在相同的条件下, 进行了n 次试验 ,在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 f A 称为事件 A 发 生的频数.比值 f A 称为事件 A 发生的频率,并记
解
（1）、P( ABC
)
P(
A
B
C)
1
P( A
B
C)
3 8
P(A B C) 1 P(ABC ) 5 8
（2） 1 p
例3 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列
32 三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
f
0.502 0.498 0.512
1.0 在
1
25 0.50 处波动较小
0.2 2 24 0.48
0.4
18 0.36
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
0.8
27 0.54 258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机 波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现 出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是 在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.
实验者
德 摩根 蒲丰
K 皮尔逊
K 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
柯尔莫哥洛夫资料
1. 概率的定义 设 E 是随机试验, S 是它的样本空间.对于 E
的每一事件 A 赋予一个实数,记为 P( A) ,称为事
件 A 的概率,如果集合函数P()满足下列条件:
(1) 非负性: 对于每一个事件 A, 有 0 P(A) 1;
(2) 规范性 : 对于必然事件 S,有 P(S) 1;
则 An ,且 Ai Aj , n1
由概率的可列可加性得
i j.
P
P
n1
An
n1
PAn
P P 0
,且 A B,则 P(A) P(B), P(B A) P(B) P(A).
证明 因为 A B,
所以 B A (B A).
单事件的概率去计算复合事件的概率
(*)例1 设 P(A) P(B) P(C) 1 ,
4
P(AB) 0, P(AC) P(BC) 1 , 16
则 A, B,C 全不发生的概率为_ _ _ ，A, B,C 至少有一个事件，发生的概率为_ _ _ 例2设 P(AB) P(AB), P( A) p, 则 P(B) 为_ _ _
解：(1)由图示得 ,
P(B A) P(B) 故 P(B A) P(B) 1 .
2
A
BS
(2) 由图示得
P(B A) P(B) P(A)
1 2
1 3
1 6
.
BA
S
(3) 由图示得
P(B A) P(B A) P(B) P(AB)
1 2
1 8
3 8
A AB B S
三、小结
• 我们介绍了概率的公理化定义，它给出 了概率所必须满足的最基本的性质，为 建立严格的概率理论提供了一个坚实的 基础。由概率所满足的三条假设，我们 推导出概率的几条重要性质。它们在计 算时很有用，尤其是加法公式。由公式 可用简单事件的概率去计算复合事件的 概率
作业B： orn: 25 Apr. 1903 in p23 Tambov, Tambov
2题，5题
province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in
Moscow, Russia
• 作业:1题
作业：
三、小结（续）
1.频率波动n 概率稳定.
2.概率的主要性质
（1）0 PA 1，PS 1，P 0；
（2）P A 1 PA；
（3）PA B PA PB PAB；
（4）设A，B为两个事件，且A B，则
PA PB，PB A PB PA.
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov
(3)可列可加性: 设 A1, A2 ,是两两互不相容的
事件,即对于 i j, Ai Aj , i, j 1, 2,,则有
PA1 A2 An P(A1) P(A2 ) P(An )(*)
P(
A1
A2
)
P(
A1)
P(
A2
)
(**) 文档.doc
2. 性质
(1) P() 0.
(*)证明 An (n 1,2,),
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
15124
123 4 5 6 7
试验 序号
n5
n 50
n 500
nH
f
nH
f
nH
2
0.4
22 0.44 251
随3 n的增0.6大, 频率在 25 12f处呈波现0动.5出0较稳大定24性9
0.2
21 0.42 256
n 成 Rn ( A).
例
抛硬币100次，有40次正面朝上，则A={正面 朝上}，在这100次试验中发生的频数为40，
频率为 40 .
100
2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 Rn ( A) 1;
(2) R(S) 1, R() 0;
(3) 若 A1, A2, , Ak 是两两互不相容的事件,则 R( A1 A2 Ak ) Rn ( A1) Rn ( A2 ) Rn ( Ak ).
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大 1 . 2
重要结论
由大量的试验得出同一个结论，频率具有稳定 性. 当 n 较小时频率波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值（在第三章的伯努力大数 定理将表明，当试验次数充分大时，事件A的频 率接近于事件A的概率） ，这个稳定值从本质上 反映了事件在试验中出现可能性的大小．因此， 在某种意义上可以把频率的稳定值称为事件A的 概率（概率的统计定义），但概率的统计定义在 实际使用中有局限性。
证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
所以 1 PS P A A PA PA
P A 1 P A 文档.doc
(5) (加法公式) 对于任意两事件A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB).
证明由图可得
A B A (B AB),
n 个事件和的情况
P( A1 A2 An )
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An ).
1i jk n
我们介绍了概率的公理化定义， 它给出了概率所必须满足的最基本的性质， 为建立严格的概率理论提供了一个坚实的 基础。由概率所满足的三条假设，我们推 导出概率的几条重要性质。它们在计算时 很有用，尤其是加法公式。由公式可用简
A AB B
且A B AB
故PA B PA P(B AB)
又由性质2得 P(B AB) P(B） P( AB).
因此 PA B PA P(B） P(AB).
那么，P( A1 A2 A3 ) =？
推广 三个事件和的情况
P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A2 A3 ) P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).