初三下数学课件(北师大)-商品利润中的取值问题

【规范解答】(1)最高销售单价为 50(1＋40%)＝70 元，设 y 与 x 的函数关系
式为 y＝kx＋b，则6700kk＋ ＋bb＝ ＝430000 ，解得kb＝ ＝－100100 ，∴y 与 x 之间的函数 关系式为 y＝－10x＋1000，x 的取值范围是 50≤x≤70； (2)w＝(x－50)y＝(x－50)(－10x＋1000)＝－10x2＋1500x－50000＝－10(x －75)2＋6250，a＝－10＜0，图象开口向下．对称轴为直线 x＝75，自变量 的取值范围是 50≤x≤70，在此条件下，y 随 x 的增大而增大，所以，当 x ＝70 时，w 最大值＝－10(70－75)2＋6250＝6000 元．当销售单价定为 70 元时， 所获得的利润有最大值，最大值为 6000 元． 【方法归纳】这里不能说 x＝75 时，w 有最大值 6250，应该考虑 x 的取值 范围.
解：(1)根据题意得，y＝250－10(x－25)＝－10x＋500(30≤x≤38)；
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元．w＝(x－20－a)(－10x＋500)＝－ 10x2＋(10a＋700)x－500a－10000(30≤x≤38)，对称轴为 x＝35＋12a，且 0 ＜a≤6，则 35＜35＋21a≤38，则当 x＝35＋12a 时，w 取得最大值，∴(35＋ 12a－20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1960，∴a1＝2，a2＝58(不合题意舍去)， ∴a＝2.
知识点：利用二次函数求利润的取值问题
求解最大利润问题的基本步骤： (1)引入自变量，用含自变的代数式分别表示 单件利润 及 销售量 ； (2)建立关于 销售利润 的函数表达式； (3)根据 函数关系式 求出最大值及取得最大值时的 自变量 的值．
1．某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若
每件商品售价为 x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商店所获利润 y 元
与售价 x 元的函数关系式为( B )
A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
2．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利 y(元)与销售量 x(件)满
10．(通辽中考)当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加 喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求， 订购该科幻小说若干本，每本进价为 20 元．根据以往经验：当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就 减少 10 本，书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之 间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)书店决定每销售 1 本该科幻小说，就捐赠 a(0＜a≤6)元给困难职工，每 天扣除捐赠后可获得最大利润为 1960 元，求 a 的值．
(3)当 20≤x≤60 时，每天销售利润不低于 4800 元．
解：(1)y＝50－110x(0≤x≤160，且 x 是 10 的整数倍)； (2)w＝(50－110x)(180＋x－20)＝－110x2＋34x＋8000；
(3)w＝－110x2＋34x＋8000＝－110(x－170)2＋10890.当 x＜170 时，w 随 x 增 大而增大，且 0≤x≤160，∴当 x＝160 时，w 最大＝10880，当 x＝160 时，y ＝50－110x＝34.
4 时，L 取得最大值，最大值为 3.
答：4 月份的平均利润 L 最大，最大平均利润是 3 元/千克．
5．将进货单价为 90 元的某种商品按 100 元售出时，能卖出 500 个，价格每
上涨 1 元，其销售量就减少 10 个．为了获得最大利润，售价应为( B )
A．20 元
B．120 元
C．130 元
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接
写出结果．
解：(1)当 1≤x＜50 时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000，当
50≤x≤90 时，y＝(200－2x)×(90－30)＝－120x＋12000，综上所述：y＝
9．某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间 空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用．根据规定， 每个房间每天的房价不得高于 340 元．设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的整数倍)． (1)设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取 值范围； (2)设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
足关系式 y＝－x2＋50x－500，则要想获得最大利润每天必须卖出( B )
A．20 件
B．25 件
C．30 件
D．40 件
3．出售某种手工艺品，若每个获利 x 元，一天可售出(8－x)个，则当 x＝ 4 元
时，一天出售该种手工艺品的总利润 y 最大．
4．小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在 1 月份至 7 月份的 市场行情进行统计分析后得出如下规律： ①该蔬菜的销售价 P(单位：元/千克)与时间 x(y(单位：元/千克)与时间 x(单位：月份)满足二次函数 关系 y＝ax2＋bx＋10. 已知 4 月份的平均成本为 2 元/千克，6 月份的平均成本为 1 元/千克． (1)求该二次函数的解析式； (2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润 L(单位：元/ 千克)最大？最大平均利润是多少？(注：平均利润＝销售价－平均成本)
解 ： (1) 将 x ＝ 4 、 y ＝ 2 和 x ＝ 6 、 y ＝ 1 代 入 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ 10 ， 得 ：
16a＋4b＋10＝2 36a＋6b＋10＝1
，解得： a＝14 b＝－3
，∴y＝41x2－3x＋10；
(2)根据题意，知 L＝P－y＝9－x－(14x2－3x＋10)＝－14(x－4)2＋3，∴当 x＝
－2x2＋180x＋20001≤x＜50 －120x＋1200050≤x≤90
；
(2)当 1≤x＜50 时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为 x＝45，当 x＝
45 时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当 50≤x≤90 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＝50 时，y 最大＝6000，综上所述，该商品第 45 天时， 当天销售利润最大，最大利润是 6050 元；
11．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x(1≤x≤90)
天的售价与销量的相关信息如下表：
时间 x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90
售价(元/件) x＋40
90
每天销量(件) 200－2x
已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元．
(1)求出 y 与 x 的函数关系式；
D．9000 元
6．一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件．根据
销售统计，一件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获
得的利润最大，每件需降价的钱数为( A )
A．5 元
B．10 元
C．0 元
D．36 元
7．某商场购进一批单价为 20 元的日用商品，如果以单价 30 元销售，那么 半月内可销售出 400 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少， 即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 20 件，当销售量单价是 35 元时， 才能在半月内获得最大利润． 8．某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子．根据经验估计， 每多种一颗树，平均每棵树就会少结 5 个橘子．设果园增种 x 棵橘子树，果 园橘子总个数为 y 个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多．
销售中的最大利润问题． 【例】某商场购进一批单价为 50 元的商品，规定销售时单价不低于进价， 每件的利润不超过 40%.其中销售量 y(件)与所售单价 x(元)的关系可以近似 的看作如图所示表示的一次函数．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； (2)设该公司获得的总利润(总利润＝总销售额－总成本)为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关系式，当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多 少？ 【思路分析】(1)y 与 x 之间是一次函数关系，且已知它们之间的两组对应值， 故可求出关系式；(2)利用“总利润＝总销售额－总成本”可找出 w 与 x 间 的关系．