冀教版数学九年级上册(同步练习)《26.4 解直角三角形的应用--数学活动 测量电视转播塔的高度》

《解直角三角形的应用--数学活动测量电视转播塔的高度》
同步练习
1．(2016福州，9,3分)如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是
上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）2．(2016·云南)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
4．（
首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）
A．169米 B．204米 C．240米 D．407米
5．（2016.山东省泰安市，3分）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）
A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63 6．（2016·江苏苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）
A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m
7．（2016•辽宁沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）
A． B．4 C．8D．4
1．（2016·黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为
海里/小时．
2．（2016·湖北十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为（30+10）米．（结果保留根号）
3. （2016年浙江省宁波市）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A 处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为10+1 m（结果保留根号）．
4．(2016福州，18,4分)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．
5．（2016·上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208 米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）
6．(2016大连，15，3分)如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．
1. （2016·湖北鄂州）（本题满分9分）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局
加大了在南海的巡逻力度。

一天，
岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国
籍的船只停在C处海域。

如图所示，AB＝60()2
6+海里，在B处测得C在北
偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测
得AD＝120()2
6-海里。

（1）（4分）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC
（结果保留根号）
（2）（5分）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，
我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁
的危险？
（参考数据：2＝1.41，3＝1.73，6＝2.45）第1题图
参考答案
一、选择题
1．
【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，
在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，
∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，
则P的坐标为（cosα，sinα），
故选C．
【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
2．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
3．
【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；
故选：B．
4．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=CD•tan33°，
在Rt△BCO中，OD=CD•tan∠BCO=CD•tan21°，
∵AB=110m，
∴AO=55m，
∴A0=AD﹣OD=CD•tan33°﹣CD•tan21°=55m，
∴CD==≈204m，
答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．
故选B．
【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．
5．
【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，
MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，
∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，
∴∠PNA=44°，
∴PA=PNsin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）
故选：B．
【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．6．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，
∴AD=4sin60°=2（m），
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，
∴AC==2（m）．
故选B．
7．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB=，
即cos30°=，
∴BC=8×=4；
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．二、填空题
1．
【解答】解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，
在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，
∴CQ=AQ=40，
∴BC=40+40=3x，
解得：x=．
即该船行驶的速度为海里/时；
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．2．
【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，
∴HD=x﹣30+10=x﹣20，
在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°，
∴tan30°=，
∴=，
解得x=30+10．
∴河的宽度为（30+10）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
3.
【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE•tan60°=10（m），
∴BC=CE+BE=10+1（m）．
∴旗杆高BC为10+1m．
故答案为：10+1．
【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
4．
【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a
∴∠AEB=90°，
∴tan∠ABC===．
故答案为．
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．
【解答】解：由题意可得：tan30°===，
解得：BD=30，
tan60°===，
解得：DC=90，
故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m），
故答案为：208．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．6．
【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，
在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°，
∴PC=PA=×18=9，
在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°，
∴PB=≈≈11，
答：此时渔船与灯塔P的距离约为11海里．
故答案为11．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
三、解答题
1.
【解答】解：⑴作CE⊥AB于E, 设AE＝x （1分）
则在△ACE中,CE=√3 x AC=2 x
在△BCE中，BE=CE=√3 x BC=√6 x （2分）
由AB=AE＋BE ∴x＋√3 x=60(√6＋√2)
解得x=60√2 （3分）
所以AC=120√2(海里) ，BC=120√3 (海里) （4分）
⑵作DF⊥AC于F, （1分）
在△AFD中,DF=√3/2DA （2分）
∴DF=√3/2×60(√6－√2)=60(3√2－√6) ≈106.8＞100 （4分）
所以无触礁危险. （5分）。