4二次函数与一元二次方程——教师版

4.二次函数与一元二次方程
难度：易
1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）
A．（7
2
，0）B．（3，0）C．（
5
2
，0）D．（2，0）
【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，
根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，
即x2﹣1＝2，得x2＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故选：B．
2．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx＝5的解为（）
A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，
∴ b
2 2，
解得：b＝﹣4，
∴关于x的方程为x2﹣4x＝5，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
故选：D．
3．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x1 1.1 1.2 1.3 1.4
y﹣1﹣0.490.040.59 1.16那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（）
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
4．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（）
A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m 有实数根的条件是（）
A．m≥﹣4B．m≥0C．m≥5D．m≥6
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，
∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．
故选：A．
6．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1．
故答案为：﹣1或2或1．
难度：中
7．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（）
x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
y﹣0.80﹣0.54﹣0.200.220.72
A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4【解答】解：∵﹣0.20＜0＜0.22，
∴2.0＜x1＜2.2．
故选：C．
8．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）
A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4
【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx 与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
9．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0一定有一个解为：x＝﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x 2a
2a 1，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
10．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，
∴△ 2 2 4b＞0 b 0
，
解得b＜1且b≠0．故选：A．
11．若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则1
x1
1
x2
的值为．
【解答】解：
设y＝0，则2x2﹣4x﹣1＝0，
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，
∴x1+x2 4
2 2，x1•x2
1
2，
∴1
x1
1
x2
x1 x2
x1⋅x2
4，
故答案为：﹣4．
12．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣a．
（1）若抛物线与x轴有两个交点，求a的取值范围；
（2）当代数式x2﹣2x﹣1的值为负整数时，求x的值；
（3）设抛物线与y轴的交点A与顶点B所在直线与x轴交于点C，抛物线与x轴的右交点为D，是否存在C，D两点关于y轴对称的情况？如果不存在，说明理由；如果存在，求此时a的值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴4+4a＞0，
∴a＞﹣1；
（2）设y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，顶点为（1，﹣2），
∴当y＝﹣2时，x＝1，
当y＝﹣1时，即y＝x2﹣2x﹣1＝﹣1，解得x＝0或2，
故x的值为1或0或2；
∴x的值为﹣1；
（3）
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣a，
∴对称轴为x 2
2 1，
∴顶点坐标为（1，﹣a﹣1），
∵x＝0时，y＝﹣a，
∴点A坐标为（0，﹣a），
设直线AB解析式为y＝kx+b，代入A、B点得：k＝﹣1，b＝﹣a，∴直线AB解析式为y＝﹣x﹣a，
∴点C坐标为（﹣a，0），
∵C，D两点关于y轴对称，
∴点D坐标为（a，0），
∵点D在抛物线上，代入点D得：a2﹣2a﹣a＝0，解得：a＝3，∵a＞﹣1，
∴a＝3符合题意，
∴此时a的值为3．
难度：难
13．若函数y＝mx2+（m+2）x 1
2m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）
A．0B．0或2C．2或﹣2D．0，2或﹣2
【解答】解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，
∵函数y＝mx2+（m+2）x 1
2m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（m+2）2﹣4m（1
2
m+1）＝0且m≠0，
解得：m＝±2，
②当函数是一次函数时，m＝0，
此时函数解析式是y＝2x+1，和x轴只有一个交点，
故选：D．
14．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）
A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2
【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x 2a
2a 1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C ．a
m 23
D ．点P 1（t ，y 1），P 2（t +1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞1
3时，y 1＜y 2
【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x b
2a 1，
∴b ＝﹣2a ＜0，
∴ab ＜0，所以A 选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间，所以B 选项的结论正确；把B （0，﹣2），A （﹣1，m ）代入抛物线得c ＝﹣2，a ﹣b +c ＝m ，而b ＝﹣2a ，∴a +2a ﹣2＝m ，∴a
m 2
3
，所以C 选项的结论正确；∵点P 1（t ，y 1），P 2（t +1，y 2）在抛物线上，
∴当点P 1、P 2都在直线x ＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时t ≥1；
当点P 1在直线x ＝1的左侧，点P 2在直线x ＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时0＜t ＜1且t +1
﹣1＞1﹣t ，即1
2
＜t ＜1，
∴当1
2＜t ＜1或t ≥1时，y 1＜y 2，所以D 选项的结论错误．
故选：D ．
16．已知关于x 的函数y ＝（m ﹣1）x 2+2x +m 图象与坐标轴只有2个交点，则m ＝
．
【解答】解：（1）当m ﹣1＝0时，m ＝1，函数为一次函数，解析式为y ＝2x +1，与x 轴
交点坐标为（ 1
2，0）
；与y 轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m ﹣1≠0时，m ≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m ﹣1）m ＞0，
解得，（m 1
2）
2＜5
4，
解得m m
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，
这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m
故答案为：1或0或1 5 2
．
17．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．【解答】解：如图1中，当m＞0时，
∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，
图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D），
此时最低点P（m，﹣m2+m），
当m＝0时，显然不符合题意有两个交点，
当m＜0时，如图2中，
图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D）与x轴只要一个交点不符合题意，∴当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，
当抛物线顶点在x轴上时，△＝4m2﹣4m＝0，
∴m＝1或0（舍弃），
∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，最低点P（m，﹣m2+m），所以顶点组成抛物线：
y＝﹣x2+x＝﹣（m 1
2）
2 1
4，且过定点（
1
2
，
1
4
），
第11页（共11页）∴观察图象可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取
值范围是12
＜x 1＜1，故答案为12
＜x 1＜1．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为
．
【解答】解：设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，
∵抛物线的对称轴过点（1，0），与x 轴的一个交点是P （4，0），
∴与x 轴的另一个交点Q （﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0＝4a ﹣2b +c ，
∴4a ﹣2b +c ＝0，
故答案为：0
．。