第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩

九笔 100 150
铅笔 300 260
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
进货单价 圆珠笔 钢笔 铅笔 6 9 3
销售单价 8 12 4
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份 九月
总进货额
总销售额
200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
方阵的幂 设A是n阶方阵，k是正整数，k个A连乘称为
A的k次幂，记作 Ak ，即
约定A0=I
Ak AA
k个
A
相关结论：
A A A
k l
k l
,(A ) A
k l
kl
其中k,l为正整数．
一般地
( AB) k Ak B k
§2.1 矩阵的基本运算
矩阵的多项式 ：
f ( A) am Am am1 Am1
1 2 3 A 0 1 2 1 2 1
求AB
1 2 B 0 3 1 2
§2.1 矩阵的基本运算
例2.2
1 2 设 A 3 4
求AB，BA
B 5 1 2 1
注：⑴矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠BA. 若对A、B有AB=BA，则称A与B是可交换的.
AE(i(k))：相当于用非零数k 乘矩阵A的第i列；
AE(i,j(k))：相当于A的第i列乘k加到第j列上．
§2.1 矩阵的基本运算
推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个
m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初 等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
PP 1 2
a11 a12 T A a 1n
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
§2.1 矩阵的基本运算
相关性质： 1. (AT)T=A
2. (A+B)T=AT+BT
3. (kA)T=kAT （k为常数） 4. (AB)T=BTAT
n ( n 1) 2
l n2
n 1
l
nl
0
ln

(n为任意自然数）．
§2.1 矩阵的基本运算
线性方程组的矩阵表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
k 1
s
由这个定义可知： 1）矩阵A、B相乘的条件：矩阵A的列数=矩 阵B的行数.
§2.1 矩阵的基本运算
2）矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵 C的列数等于矩阵B的列数。 3）矩阵乘法法则：乘积C的第i行第j列的元素
Cij等于矩阵A的第i行的元素与矩阵B的第j列
的对应元素乘积之和。
例2.1 设
为n阶方阵A的m次多项式
a1 A a0 I
0 2 2-2x+3 例2.5 设 A 且 f(x)=x 1 1
求f(A)
§2.1 矩阵的基本运算
例2.6
用数学归纳法证
l 1 0 0 l 1 0 0 l
n
ln 0 0
nl
n 1 n
§2.1 矩阵的基本运算
例2.1
1 2 3 设 A 0 1 5
且A-2X=B,求X
1 1 3 B 2 4 2
§2.1 矩阵的基本运算
二、矩阵的乘法 1．矩阵乘法的定义
引例 某文化用品商店售圆珠笔、钢笔和铅笔三 种，每种商品的进货单价和数量如下表。
§2.1 矩阵的基本运算
1 1 例2.3 设 A 1 1
求AB
1 1 B 1 1
注：⑵由AB=0一般不能得到A=0或B=0.
1 2 例2.4 设 A 2 4
求AB，AC
7 1 1 3 B C 1 2 2 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 a11 0 a21 0 a31 1
a13 a23 a33
a12 a22 a32
a14 a24 a34
上述过程也可以等同于：
a11 a 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a11 a C 2 C3 a24 21 a34 a31 a13 a23 a33 a12 a22 a32 a14 a24 a34
第二章
矩阵的运算与矩阵的秩
本章要点流程:
首先介绍矩阵的基本运算 进一步了解分块矩阵 重点学习可逆矩阵 认识矩阵的秩 最后对齐次线性方程组解的作了讨论
§2.1 矩阵的基本运算
§2.1
矩阵的基本运算
一、矩阵的线性运算
定义2.1设矩阵A=(aij ) m× n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B （2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
即：
E(i,j)A： 相当于交换A的第i行与第j行；
E(i(k))A： 相当于用非零数k乘矩阵A的第i行；
E(i,j(k))A：相当于A的第j行乘k加到第i行上；
§2.1 矩阵的基本运算
同理： （2）对A施行某种初等列变换，相当于 对A右乘一个相应的n阶初等矩阵.
即：
AE(i,j)：相当于交换A的第i列与第j列；
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 a11 a E (2(k )) A 0 k 0 21 0 0 1 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a11 ka a24 21 a34 a31
ka12 ka22 ka32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
a11 AE(2,3(k )) a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 a14 0 a24 0 a34 0
0 1 0 0
0 k 1 0
上述过程也可以等同于：
a11 a 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a11 a r2 r3 a24 31 a34 a21 a12 a32 a22 a13 a33 a23 a14 a34 a24
Ps AQ1Q2
Qt B
§2.1 矩阵的基本运算
三、矩阵的转置
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
a11 a12 a21 a22 A a m1 am 2 a1n a2 n amn
§2.1 矩阵的基本运算
a11 AE(2(k )) a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 a14 0 a24 0 a34 0
0 k 0 0
0 0 1 0
0 a11 0 a21 0 a31 1
l 0 0 l lI 0 0 0 0 l
称为数量矩阵
§2.1 矩阵的基本运算
称矩阵(-1)A=(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A． 矩阵的减法：A-B=A+(-B)=(aij-bij)
矩阵的加法 矩阵的线性运算 数与矩阵的乘法
§2.1 矩阵的基本运算
0 a11 0 a21 0 a31 1
a12 a22 a32
a13 ka12 a23 ka22 a33 ka32
a14 a24 a34
§2.1 矩阵的基本运算
定理2.1 设Am×n= (a )m×n,则：
ij
（1）对A施行某种行初等变换，相当于对A 左乘一个相应的m阶初等矩阵.
a12 a22 ka32 a32
a13 a23 ka33 a33
a24 ka34 a34 a14
§2.1 矩阵的基本运算
a11 AE(2,3) a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
1 a14 0 a24 0 a34 0
．
AX B
§2.1 矩阵的基本运算
2. 矩阵与初等矩阵的乘积
例如：计算下列矩阵与初等阵的乘积
1 0 0 a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14 a a a a E (2,3) A 0 0 1 a a a a 21 22 23 24 31 32 33 34 0 1 0 a31 a32 a33 a34 a21 a22 a23 a24
运算规律（设为A ,B,C同型矩阵，k,s,l为给定的数） 1) A+B=B+A （交换律）
2) (A+B)+C=A+(B+C),
(ks)A=k(sA)=s(kA) （结合律）
3) k(A+B)=kA+kB ,(k+s)A=kA+sA （分配律）
4) A+O=A
5) A+(-A)=O
6) 1· A=A；0· A=O; l· O 0
§2.1 矩阵的基本运算
例2.7
1 2 T T 设A 1 3 0 , B 0 3 ; 求B A . 1 2
a12 ka22 a32
a13 ka23 a33
a14 ka24 a34
1 0 0 a11 a E (2,3(k )) A 0 1 k 21 0 0 1 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a11 a ka a24 31 21 a34 a31
注：⑶若AB=AC，且A≠0,则一般不能得到B=C.
§2.1 矩阵的基本运算
矩阵乘法满足的运算律： 1) (AB)C=A(BC) （结律合）
k(AB)=(kA)B=A(kB)
2) A(B+C)=AB+AC （分配律）
(B+C)A=BA+CA 3) 设Am×n， 则ImA=AIn=A
§2.1 矩阵的基本运算
系数矩阵：
A
a11 a12 a a 21 22 am1 am 2
a1n a2 n amn
§2.1 矩阵的基本运算
a11 a12 a a 21 22 am1 am 2
a1n x1 b1 a2 n x2 b2 amn xn bm
矩阵C与A、B之间 有什么关系？
矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的元 素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.2 设 A=(aij) m×s ，B=(bij)s×n ，那么称 C=AB=(cij) m×n 为矩阵A与B的乘积.其中
cij aik bkj (i 1,2 m; j 1,2 n)
十月
220×6+150×9+260× 3
220×8+150×12+260×4
§2.1 矩阵的基本运算
200 100 300 A 220 150 260
定义矩阵
6 8 B 9 12 3 4
200 6 100 9 300 3 200 8 100 12 300 4 C 220 6 150 9 260 3 220 8 150 12 260 4