二次函数中最值问题(学生版)

二次函数与几何综合专题
----线段最值问题
将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！原理：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；对称（翻折）、平移．
策略：对称（翻折）→化同为异、化异为同；化折为直．
两村一路（异侧）和最小
两村一路（同
侧）和最小
两路一村和最小
两村两路和最小
两村一路和最小
两村一路（同侧）差最大 两村一路（异侧）
差最大
例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．
（2）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作//PN y 轴交AC 于N ，求线段PN 的最大值及此时点P 的坐标．
（3）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作PH AC ⊥于H ，求线段PH 的最大值及此时点P 的坐标．
（4）直线AC 下方的抛物线上有一动点P ，过点P 作//PN y 轴交AC 于N ，过点P 作PH AC ⊥于H ，求PNH △周长的最大值及此时点P 的坐标．
（5）在抛物线对称轴上找一点N，使得BCN
△周长的最小值及此时点N的坐标．
△的周长最小，求BCN
⊥交AC于点M，求CM的最小值．
（6）在线段OA上找一点N，连接NC，作NM NC
MN=，求四边形BNMC周长的最小值及（7）在抛物线对称轴上有两动点N、M（点N在点M上方），且1
此时M的坐标．
-最大，求点N的坐标．
（8）在对称轴上找一点N，使得NA NC
二次函数与几何综合专题
---- 胡不归和阿氏圆问题
【胡不归最值问题】 求BC +kAC 的最小值．
解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN=k ，即
CH
k AC
，CH=kAC ．
将问题转化为求BC+CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．
【实例分析】
1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且tan ∠CBD =4
3，如图所示． （1）求抛物线的解析式；
（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；
②连结PB ，求3
5PC +PB 的最小值．
CH=kAC
sin α=
CH AC
=k
H
D
αA B
C
M M
C
B
A
α
D
H
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M 为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．
3．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，−83
），与x 轴交于A 、B 两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AE AB
的值．
（3）在（2）的条件下，点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，√5
5
FC +BF 的值最小．并求出这个最小值．
（4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当
√5
5
FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
【阿氏圆最值问题】
计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB ②计算出这两条线段的长度比OP
k OB
= ③在OB 上取一点C ，使得
OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC
k PB
=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值
【实例分析】
1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(3A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且33OB OA OC ==，OAC ∠的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ⊥轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ． （1）求抛物线的解析式；
（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值； （3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，1
2
HC 为半径作H ，点Q 为H 上的一个动点，求
1
4
AQ EQ +的最小值．
2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段AB绕点A逆时针旋转120°，点B刚好与点C重合，点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，以点B为圆心，以1为半径画圆，若点Q为⊙B上的一个动点，连接AQ，CQ，求AQ+CQ 的最小值．
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）如图①，若点D为抛物线的顶点，以点B为圆心，3为半径作⊙B．点E为⊙B上的动点，连接A，
DE，求DE+AE的最小值．
（2）如图②，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以点H为圆心，1为半径作⊙H，点Q是⊙H 上一动点，连接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；
（3）如图③，点D是抛物线上横坐标为2的点，过点D作DE⊥x轴于点E，点P是以O为圆心，1为半
径的⊙O上的动点，连接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．
4．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C 上的一个动点，求BQ+FQ的最小值．
【课后练习】
1．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．
（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；
（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′
（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+QB的最小值．
2．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；
（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．
3.抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．
（1）试求二次函数及一次函数的解析式；
（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；
（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线
BC于点F，当EF+√2
2CF的值最大时，求点E的坐标．
4.如图①，直线y＝﹣x﹣3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图①，点P在第三象限内的抛物线上．
①连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；
②在①的条件下，G为x轴上一点，当PG+√55AG取得最小值时，求点G的坐标；
（3）如图②，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
Math唐老师。