北师大版八年级数学上册课件：1-2一定是直角三角形吗
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直角三角形的两锐角有什么关系？
直角三角形的两个锐角互为余角．
什么是勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、
b,斜边为c，那么
a
a2b2 c2
即 直角三角形两直角边的平方和等 勾 于斜边的平方。
c
b 弦
股
新课导入
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段, 一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两 个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就 得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
BD
C
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
7.将直角三角形的三边同时扩大相同的倍数
后，得到的三角形是（ A）.
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5.
8.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则
△ABC是 （A ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
∴ ∠C=∠C1=90° .
5∶12∶13 D.
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
AC=250海里;在△ABC中
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
∴ ∠C=∠C1=90° . 直角三角形的两个锐角互为余角．
再见！
在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是
港口2小时后，则两船相距（ ）
试说明△ABC 为直角三角形.
直角三角形的两个锐角互为余角．
2
2
A．90° B．60° C．45° D．30°
③ 8,15,17满足a +b =c ,可以构成直角三角形. 2 2 2 已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开
港口2小时后，则两船相距（ ）
试说明△ABC 为直角三角形.
你能否判断△ABC是直角三角形？并说明理N 由.
简要说明：
A
A1
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB, 在C1N上截取C1A1=b=CA,
b
c
连接A1B1.
Ca
B
C1
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得
A1B12=a2+b2=AB2 .
∴ A1B1=AB .
∴ △ABC≌△A1B1C1 . （SSS）
例题讲解
例1．一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个
零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零
件各边尺寸如图（b）所示，这个零件合格吗？
C
13
C
D
D
5
(a)
4
12 (b)
A
B
A3B
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是
2
比一比看谁能行
AC2-AB2=2502-2402
试说明△ABC 为直角三角形. 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？
如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
A
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
例题讲解
例4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与
你的同伴交流。
A
2
E
2
易知:△ABE，△DEF，△FCB
D
1
均为直角三角形
F 由勾股定理知
4
3 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25
90
如果一个三角形中有12两0 边的平方和等于第三60边 的平方12，0 那么这个三角形是否60就 是直角三角形呢？
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与
3∶4∶6 C.
在Rt△A1C115B01中，由勾股定12理,得 13
150 30
24
25
30
15
17
∴ A1B1=AB .
即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2 ∴ △BEF是直角三角形
做一做
比一比看谁能行
１.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ B ）
A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24
C.a=6,b=8,c=10
D.a=3,b=4,c=5
2. 若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可以是（C ）
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
比一比看谁能行
试判断△ABC的形状. 在C1N上截取C1A1=b=CA,
而且AC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2 ，
通过本节课的学习， 请谈谈你的收获？
请继续关注勾股定理的探讨！
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船
转弯后，是否沿正西方向行？
解:由题意画出相应的图形
C
AB=240海里,BC=70海里,
AC=250海里;在△ABC中
北
B
AC2-AB2=2502-2402
=(250+240)(250-240)
=4900=702=BC2 即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
AC=250海里;在△ABC中
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
BC2=5,AB2=10,因为AC=BC,
所以∠ABC=∠BAC=45°.
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
出一个更有说服力的理由吗? 90
A. 2∶3∶4 B. 3∶4∶6 C. 5∶12∶13 D. 4∶6∶7
3. 已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航
行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航
行，离开港口2小时后，则两船相距（ D ）
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
4.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( C )
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
现在明白古埃及人 的这种做法有道理 了吧！
如果一个三角形中有两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是否就是直 角三角形呢？
合作探究
（一)提出问题 下面有三组数分别是一个三角形的三边
长a,b,c: ①5问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用 量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
A.等边三角形;B.钝角三角形; C.直角三角形;D.锐角三角形
做一做
比一比看谁能行
5.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三
角形的面积是（B ）cm2 .
A
A.250 B.150 C.200 D.不能确定
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，
AD=12，AC=20，则△ABC是（D ）.
∴ ∠C=∠C1=90° .
∴ △ABC是直角三角形.
B1 M
结论
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
提问1 同学们还能找出哪些勾股数呢？
提问2 今天的结论与前面学习的勾股定理 有哪些异同呢？
提问3 到今天为止，你能用哪些方法判断一 个三角形是直角三角形呢？
那么这个三角形是直角三角形.
2、若三角形ABC的三边a,b,c 比 一 比 看 谁 能 行
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开
满足a +b +c +50=6a+8b+10c 港口2小时后，则两船相距（ ）
2 2 2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
实验结果
① 5,12,13满足a +b =c ,可以构成直角三角形; 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
2
2
2
三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
② 7,24,25满足a +b =c ,可以构成直角三角形; 2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，
=4900=702=BC2
12，13，满足52+122=132， ∴三角形BDC是直角三角形。
S四边 A B 形 CSD A B D SBDC 1 2341 2512 6因此3四 0边3形6ABCD的面积为36平方厘米
例题讲解
例3.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240
海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，
解:由题意画出相应的图形
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
而且AC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2 ，
BF2=32+42=25
即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开
直角三角形，∠DBC是直角。
因此这个零件符合要求。
例题讲解
例2．如图，四边形ABCD中，已知∠DAB=900 ，AD=3cm， AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
解：连结BD，在Rt△ABD中， 由勾股定理得BD=5cm. 又∵在三角形BDC中，三边分别是5，
180
180
0
0
5
7
8
猜想
从刚才的分组实验，有什么样的结论发 现吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗?
论证结论
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开 港口2小时后，则两船相距（ ）
如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
b=2mn,c=m ＋n , (m、n为任意正整数,m>n） 2 ∴三角形BDC是直角三角形。
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
B
所以△ABC是等腰直角三角形且∠ACB＝90°，
C
所以∠ABC=∠BAC=45°.
做一做
比一比看谁能行
10.如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
①②
④ ⑤
③ ⑥
答案： ④⑤是直角三角形 ①②③⑥不是直角三角形
做一做
思考题：
比一比看谁能行
1、已知 a,b,c是三角形的三边长，a=m －n , 2 2 钝角三角形 D.
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
做一做
比一比看谁能行
9. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正
方形的顶点，则∠ABC的度数为（C ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解析】选C.根据勾股定理可知AC2=5,
BC2=5,AB2=10,因为AC=BC,
A
而且AC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2 ，
直角三角形的两个锐角互为余角．
什么是勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、
b,斜边为c，那么
a
a2b2 c2
即 直角三角形两直角边的平方和等 勾 于斜边的平方。
c
b 弦
股
新课导入
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段, 一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两 个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就 得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
BD
C
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
7.将直角三角形的三边同时扩大相同的倍数
后，得到的三角形是（ A）.
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5.
8.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则
△ABC是 （A ）
A.直角三角形 B.锐角三角形
∴ ∠C=∠C1=90° .
5∶12∶13 D.
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
AC=250海里;在△ABC中
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
∴ ∠C=∠C1=90° . 直角三角形的两个锐角互为余角．
再见！
在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是
港口2小时后，则两船相距（ ）
试说明△ABC 为直角三角形.
直角三角形的两个锐角互为余角．
2
2
A．90° B．60° C．45° D．30°
③ 8,15,17满足a +b =c ,可以构成直角三角形. 2 2 2 已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开
港口2小时后，则两船相距（ ）
试说明△ABC 为直角三角形.
你能否判断△ABC是直角三角形？并说明理N 由.
简要说明：
A
A1
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB, 在C1N上截取C1A1=b=CA,
b
c
连接A1B1.
Ca
B
C1
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得
A1B12=a2+b2=AB2 .
∴ A1B1=AB .
∴ △ABC≌△A1B1C1 . （SSS）
例题讲解
例1．一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个
零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零
件各边尺寸如图（b）所示，这个零件合格吗？
C
13
C
D
D
5
(a)
4
12 (b)
A
B
A3B
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是
2
比一比看谁能行
AC2-AB2=2502-2402
试说明△ABC 为直角三角形. 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？
如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
A
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
例题讲解
例4.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与
你的同伴交流。
A
2
E
2
易知:△ABE，△DEF，△FCB
D
1
均为直角三角形
F 由勾股定理知
4
3 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25
90
如果一个三角形中有12两0 边的平方和等于第三60边 的平方12，0 那么这个三角形是否60就 是直角三角形呢？
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与
3∶4∶6 C.
在Rt△A1C115B01中，由勾股定12理,得 13
150 30
24
25
30
15
17
∴ A1B1=AB .
即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2 ∴ △BEF是直角三角形
做一做
比一比看谁能行
１.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（ B ）
A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24
C.a=6,b=8,c=10
D.a=3,b=4,c=5
2. 若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可以是（C ）
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
比一比看谁能行
试判断△ABC的形状. 在C1N上截取C1A1=b=CA,
而且AC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2 ，
通过本节课的学习， 请谈谈你的收获？
请继续关注勾股定理的探讨！
所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船
转弯后，是否沿正西方向行？
解:由题意画出相应的图形
C
AB=240海里,BC=70海里,
AC=250海里;在△ABC中
北
B
AC2-AB2=2502-2402
=(250+240)(250-240)
=4900=702=BC2 即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
AC=250海里;在△ABC中
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
BC2=5,AB2=10,因为AC=BC,
所以∠ABC=∠BAC=45°.
如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
出一个更有说服力的理由吗? 90
A. 2∶3∶4 B. 3∶4∶6 C. 5∶12∶13 D. 4∶6∶7
3. 已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航
行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航
行，离开港口2小时后，则两船相距（ D ）
A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里
4.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( C )
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
现在明白古埃及人 的这种做法有道理 了吧！
如果一个三角形中有两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是否就是直 角三角形呢？
合作探究
（一)提出问题 下面有三组数分别是一个三角形的三边
长a,b,c: ①5问题: 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用 量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
A.等边三角形;B.钝角三角形; C.直角三角形;D.锐角三角形
做一做
比一比看谁能行
5.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm，则这个三
角形的面积是（B ）cm2 .
A
A.250 B.150 C.200 D.不能确定
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，
AD=12，AC=20，则△ABC是（D ）.
∴ ∠C=∠C1=90° .
∴ △ABC是直角三角形.
B1 M
结论
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
提问1 同学们还能找出哪些勾股数呢？
提问2 今天的结论与前面学习的勾股定理 有哪些异同呢？
提问3 到今天为止，你能用哪些方法判断一 个三角形是直角三角形呢？
那么这个三角形是直角三角形.
2、若三角形ABC的三边a,b,c 比 一 比 看 谁 能 行
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开
满足a +b +c +50=6a+8b+10c 港口2小时后，则两船相距（ ）
2 2 2 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
实验结果
① 5,12,13满足a +b =c ,可以构成直角三角形; 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。
2
2
2
三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
② 7,24,25满足a +b =c ,可以构成直角三角形; 2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，
=4900=702=BC2
12，13，满足52+122=132， ∴三角形BDC是直角三角形。
S四边 A B 形 CSD A B D SBDC 1 2341 2512 6因此3四 0边3形6ABCD的面积为36平方厘米
例题讲解
例3.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240
海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，
解:由题意画出相应的图形
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
而且AC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2 ，
BF2=32+42=25
即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开
直角三角形，∠DBC是直角。
因此这个零件符合要求。
例题讲解
例2．如图，四边形ABCD中，已知∠DAB=900 ，AD=3cm， AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
解：连结BD，在Rt△ABD中， 由勾股定理得BD=5cm. 又∵在三角形BDC中，三边分别是5，
180
180
0
0
5
7
8
猜想
从刚才的分组实验，有什么样的结论发 现吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗?
论证结论
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开 港口2小时后，则两船相距（ ）
如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
b=2mn,c=m ＋n , (m、n为任意正整数,m>n） 2 ∴三角形BDC是直角三角形。
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
B
所以△ABC是等腰直角三角形且∠ACB＝90°，
C
所以∠ABC=∠BAC=45°.
做一做
比一比看谁能行
10.如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
①②
④ ⑤
③ ⑥
答案： ④⑤是直角三角形 ①②③⑥不是直角三角形
做一做
思考题：
比一比看谁能行
1、已知 a,b,c是三角形的三边长，a=m －n , 2 2 钝角三角形 D.
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
做一做
比一比看谁能行
9. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正
方形的顶点，则∠ABC的度数为（C ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【解析】选C.根据勾股定理可知AC2=5,
BC2=5,AB2=10,因为AC=BC,
A
而且AC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2 ，