2023江苏省扬州市数学中考真题及答案

2023年江苏省扬州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．±3
2．（3分）若（ ）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（ ）A．a B．2a C．ab D．2ab
3．（3分）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．频数分布直方图
4．（3分）下列图形是棱锥侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（ ）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
6．（3分）函数y＝的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC 长可以是（ ）
A．1B．2C．6D．8
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②B．②③C．②D．③④
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝ ．
11．（3分）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 ．12．（3分）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
2510501005001000150020003000每批粒
数n
2494492463928139618662794发芽的
频数m
1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931
发芽的
频率
（精确
到
0.001）
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
14．（3分）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 cm．
15．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体
压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m3．
16．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
17．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为 ．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD 的面积比为3：5，那么线段FC的长为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（2﹣）0﹣+tan60°；
（2）÷（b﹣a）．
20．（8分）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（8分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m87
八年级参赛学生成绩85.585n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断 （填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
22．（8分）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择A景点的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．23．（10分）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
24．（10分）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE
相交于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin B＝，⊙O的半径为3，求AC的长．
26．（10分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
27．（12分）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC
．
（1）当α＝60°时，BC＝ ；当BC＝2时，α＝ °；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．
①a＝ ；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求
菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的
同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
2023年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）实数﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．±3
【分析】根据绝对值的定义即可求得答案．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）若（ ）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（ ）A．a B．2a C．ab D．2ab
【分析】根据单项式乘单项式法则（或根据单项式除以单项式法则）求出答案即可．【解答】解：2a3b÷2a2b＝a，
即括号内应填的单项式是a，
故选：A．
【点评】本题考查了单项式乘单项式法则，能熟记掌握单项式乘单项式法则是解此题的关键．
3．（3分）空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ）
A．条形统计图B．折线统计图
C．扇形统计图D．频数分布直方图
【分析】根据扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小即可得到答案．
【解答】解：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图．
故选：C．
【点评】此题考查的是扇形统计图的特点，掌握其特点是解决此题关键．
4．（3分）下列图形是棱锥侧面展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．
【解答】解：四棱锥的侧面展开图是四个三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键．
5．（3分）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（ ）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
【解答】解：∵3＜4＜5，
∴＜＜，
即＜2＜，
则a＞b＞c，
故选：C．
【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）函数y＝的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】函数y＝的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限．
【解答】解：由函数y＝可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
故选：A．
【点评】考查了函数的图象，函数y＝的图象是双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
7．（3分）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC 长可以是（ ）
A．1B．2C．6D．8
【分析】作△ABC的高AD、CE．根据锐角三角形的三条高均在三角形的内部得出BC＞BD，AB＞BE．解直角三角形求出2＜BC＜8，即可求解．
【解答】解：如图，作△ABC的高AD、CE．
∵△ABC是锐角三角形，
∴AD、CE在△ABC的内部，即BC＞BD，AB＞BE．
∵在直角△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴BD＝AB•cos B＝4×＝2，
∴BC＞2；
又∵BC＝＜＝＝8，
∴2＜BC＜8，
∴综观各选项，BC可以为6．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高，三角形的三边关系，得出BC的范围是解题的关键．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增
大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②B．②③C．②D．③④
【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞0时，抛物线开口向上对称轴为x＝＝＞0，当x＜0时，y随x
的增大而减小，当x＞时，y随x的增大而增大，函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为　2.345×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2345000＝2.345×106．
故答案为：2.345×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）分解因式：xy2﹣4x＝　x（y+2）（y﹣2）　．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），
故答案为：x（y+2）（y﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（3分）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为　6　．【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键．
12．（3分）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
2510501005001000150020003000每批粒
数n
2494492463928139618662794发芽的
频数m
1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931
发芽的
频率
（精确
到
0.001）
这种绿豆发芽的概率的估计值为　0.93　（精确到0.01）．
【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．
【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　k＜1　．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4﹣4k＞0是解题的关键．
14．（3分）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为　5　cm．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
则×2πr×24＝120π，
解得：r＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
15．（3分）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于　0.6　m3．
【分析】设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P＝，把V＝3m3时，p＝8000Pa代入解析式求出k值，得到P关于V的函数解析式，再根据气球内的气体压强大于40000Pa得到关于V的不等式，从而确定正确的答案．
【解答】解：设气球内气体的压强p（Pa）与气球体积V（m3）之间的函数解析式为P＝．
∵当V＝3m3时，p＝8000Pa，
∴k＝Vp＝3×80000＝24000，
∴p＝，
∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，
∴p≤40000时，气球不爆炸，
∴≤40000，
解得：V≥0.6，
∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3．
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
16．（3分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为　96　．
【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝4，c＝20，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
【解答】解：由图可得，
a2+b2＝c2，
∴且a、b均大于0，
解得，
∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，
故答案为：96．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b的值．
17．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，以点B为圆心，适当长为半
径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为 ．
【分析】如图，过点D作DH⊥BC于点H．证明DA＝DH，利用面积法求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于点H．
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15中，
BC＝＝＝17，
∵DA⊥AB，DH⊥BC，BE平分∠ABC，
∴DA＝DH，
∵S△ABC＝S△ABD+S△DCB，
∴×8×15＝×8×AD+×17×DH，
∴AD＝DH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
18．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B′处，如果四边形ABFE与四边形EFCD 的面积比为3：5，那么线段FC的长为 ．
【分析】连接BB'，过点F作FH⊥AD，设CF＝x，则DH＝x，BF＝1﹣x，根据已知条
件，分别表示出AE、EH、HD，证明△EHF≌△B'CB，得出EH＝B'C＝﹣2x，在Rt△B'FC中，根据勾股定理建立方程即可解答．
【解答】解：如图，连接BB'，过点F作FH⊥AD，
∵已知正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，
∴S四边形ABFE＝，
设CF＝x，则DH＝x，BF＝1﹣x，
∴S四边形ABFE＝，
即，
解得AE＝x﹣，
∴DE＝1﹣AE＝，
∴EH＝ED﹣HD＝，
由折叠的性质可得BB'⊥EF，
∴∠1+∠2＝∠BGF＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
又FH＝BC＝1，∠EHF＝∠C，
∴△EHF≌△B'CB（ASA），
∴EH＝B'C＝，
在Rt△B'FC中，B'F2＝B'C2+CF2，
∴（1﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（2﹣）0﹣+tan60°；
（2）÷（b﹣a）．
【分析】（1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值进行计算即可；
（2）根据分式的乘除运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+
＝1﹣；
（2）原式＝•
＝﹣．
【点评】本题考查实数及分式的运算，它们的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20．（8分）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21．（8分）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
平均数众数中位数七年级参赛学生成绩85.5m87
八年级参赛学生成绩85.585n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　80　，n＝　86　；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断　＞　（填“＞”
“＜”或“＝”）；
（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出m和n的值；
（2）根据方差公式分别计算出和即可；
（3）从平均数、和中位数进行分析即可．
【解答】解：（1）七年级成绩中80分的最多有3个，所以众数m＝80，
将八年级样成绩重新排列为：76，77，85，85，85，87，87，88，88，97，
所以中位数n＝＝86，
故答案为：80，86；
（2）∵七年级的方差是＝×[（74﹣85.5）2+3×（80﹣85.5）2+（86﹣85.5）2+2×（88﹣85.5）2+（89﹣85.5）2+（91﹣85.5）2+（99﹣85.5）2]＝46.05，
八年级的方差是＝×[（76﹣85.5）2+（77﹣85.5）2+3×（85﹣85.5）2+2×（87﹣
85.5）2+2×（88﹣85.5）2+（97﹣85.5）2]＝31.25，
∴＞；
故答案为：＞；
（3）因为平均数相同，七年级的中位数较大，所以七年级的成绩较好．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．
22．（8分）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择A景点的概率为 ；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．【分析】（1）由概率公式直接可得答案；
（2）先画出树状图，共有9种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．【解答】解：（1）甲选择A景点的概率为，
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是．
【点评】本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
【分析】设甲同学步行的速度为xkm/h，则乙同学骑自行车的速度为4xkm/h，根据甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲同学步行的速度为xkm/h，则乙同学骑自行车的速度为4xkm/h，
由题意得：﹣＝，
解得：x＝3.6，
经检验，x＝3.6是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝4×3.6＝14.4，
答：乙同学骑自行车的速度为14.4km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．（10分）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE 相交于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；
（2）连接AC，依据三角形重心的性质，即可得到S△ACN＝S△ACH，再根据CH是△ACD 的中线，即可得出S△ACN＝S△ACD，进而得到S平行四边形AMCN＝S平行四边形ABCD，依据▱AMCN的面积为4，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AM∥CN，
同理可得，四边形AECG是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图所示，连接AC，
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴点N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，
∴S△ACN＝S△ACH，
又∵CH是△ACD的中线，
∴S△ACN＝S△ACD，
又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线，
∴S平行四边形AMCN＝S平行四边形ABCD，
又∵▱AMCN的面积为4，
∴▱ABCD的面积为12．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形重心性质的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sin B＝，⊙O的半径为3，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，求得∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，等量代换得到∠BCD＝∠A，求得∠BDO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到OB＝5，求得BC＝OB+OC＝8，设AC＝3x，AB＝5x，根据勾股定理得到BC＝＝4x＝8，于是得到结论．
【解答】解：（1）直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，
∴，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）∵sin B＝＝，OD＝3，
∴OB＝5，
∴BC＝OB+OC＝8，
在Rt△ACB中，sin B＝＝，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝＝4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出m取值范围，再表示出w与m的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可．
【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m≥（40﹣m），
解得m≥，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
27．（12分）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC ．
（1）当α＝60°时，BC＝　2　；当BC＝2时，α＝　30或210　°；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为　2π　．
【分析】（1）当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，可得△ABC是等边三角形，故BC＝AB＝2；当BC＝2时，过A作AH⊥BC于H，分两种情况画出图形，可。