331函数的单调性与导数(上课用)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

2 x3
a -1时，（f x）在(0,1)上是增函数 所以a的范围是[-1，+）
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说明:
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号问题需要单独验证
5、若f (x) ax ,则f ' (x) ax ln a(a 0)；
6、若f (x) ex ,则f ' (x) ex；
7、若f 8、若f
( (
x) x)
loga ln x,
x,则f ' ( 则f ' (x)
x)
1.
x
1 ln
a
(a
0,
且a
0)；
x
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二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
(3) f (x) sin x x, x (0, );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
解: (3) 因为 f (x) sin x x, x (0, ), 所以
f (x) cos x 1 0.
所以, 函数 f (x) sin x x在 x (0, )上单调递减.
(4) 因为 f (x) 2x3 3x2 24x 1 , 所以 f (x) 6x2 6x 24
当 f (x) 0 , 即 x 1 17 或x 1 17 时, 函
数 f (x) 单调递增;
2
2
当 f (x) 0 , 即 1 17 x 1 17 时, 函数 f (x)
单调递减.
2
单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f (x) 0, 可知 f (x)在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
f (x) 0.
综上, 函数 f (x)图象
大致形状如右图所表示.
O1
4
x
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例2 判断以下函数单调性, 并求出单调区间:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) x2 2x 3;
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数， 则 f(x) 在G上含有严格单调性。
(3) f (x) sin x x, x (0, );
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1. 解: (1) 因为 f (x) x3 3x , 所以
f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0. 所以, 函数 f (x) x3 3x 在 x R 上单调递增.
(2) 因为 f (x) x2 2x 3, 所以
(, b )
2a
2a
(2) a 0
由 f (x) 0, 得 x b , 即函数 f (x)递增区间
是 (,
b
2a ) ; 对应地, 函数递减区间是
(Байду номын сангаасb ,)
2a
2a
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练习 3.求证: 函数 f (x) 2x3 6x2 7在 (0,2)内是减函数. 解: f (x) 2x3 6x2 7 f (x) 6x2 12x. 由 f (x) 0, 解得 0 x 2 , 所以函数 f (x) 递减区间是 (0,2,)即函数 f (x在) (0,2内)是减函
2
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练习
判断以下函数单调性, 并求出单调区间:
(1) f (x) x2 2x 4; (2) f (x) ex x;
(3) f (x) 3x x3;
(4) f (x) x3 x2 x.
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归纳:
1、求可导函数f(x)单调区间步骤： (1)求f’(x) (2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）
G 称为单调区间
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概念回顾
画出以下函数图像，并依据图像指出每个函数单调区间
y1 x
y x2 2x 1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和
（0, ＋∞）
在（－ ∞ ，1）上 在(－ ∞,＋∞)
上分别是减函数。但 是减函数，在（1, 上是增函数
在定义域上不是减函 数。
＋∞）上是增函数。
O
t
(C)
O
t
(D)
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普通地, 假如一个函数在某一范围内导数 绝对值较大, 那么函数在这个范围内改变得快, 这时, 函数图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b) 或 (a,0)内图象 “陡峭”,在 (b,) 或 (, a) 内图象平缓.
f '(x)>0,即a - 2 在x （0，1]上恒成立
而g(x)
1 x3
x3 在（0，1]上单调递增，
g(x)max g(1)=-1
a〉-1
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增例2：
已知函数（ f x）
2ax
1 x2
，x
(0,1],若（ f x）在
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
当a 1时，f '(x) 2 对x （0，1）也有f '(x)〉0
1.3.1 函数单调性与导数
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基本初等函数导数公式
1、若f (x) c,则f ' (x) 0；
2、若f (x) xn (n Q ),则f ' (x) nxn1；
3、若f (x) sin x,则f '(x) cos x；
4、若f (x) cos x,则f '(x) sin x；
2
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小结:
1.在某个区间(a,b)内,假如 f (x) 0,那么函数 y f (x)
在这个区间内单调递增; 假如 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)
在这个区间内单调递减. 假如恒有 f '(x) 0 ，则 f (x)是常数。
2.求可导函数f(x)单调区间步骤：
(1)求f’(x)
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练习 2.讨论二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)单调区间.
解: f (x) ax2 bx c(a 0) f (x) 2ax b.
(1) a 0
由 f (x) 0, 得 x b , 即函数 f (x)递增区间
是 (
b
2a ,); 对应地, 函数递减区间是
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）
3.证实可导函数f(x)在(a,b)内单 调性方法： (1)求f’(x) (2)确认f’(x)在(a,b)内符号 (3)作出结论
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作业: : P13 1—9
选做10
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数.
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例1：求参数的范围 若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
a1 3
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增例2：求参数
已知函数（ f x）
2ax
1 x2
，x
(0,1],若（ f x）在
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x)
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增
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观 察: 下列图(1)表示高台跳水运动员高度 h 随时间 t 改变函
数 h(t) 4.9t 2 6.5t 1图0象, 图(2)表示高台跳水运动员
速度 v 随时间 t 改变函数
v(t) 4图.9象t . 6.5
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时
间运动状态有什么区分?
h
①运动员从起跳到
最高点,离水面高度h随 时间t 增加而增加,即
v
(1)
(2)
t
Oa
b
h(t)是增函数.对应地,
t
v(t) h(t) 0
Oa b
②从最高点到入水,运动员离水面高度h随时间t增加 而降低,即h(t)是减函数.对应地, v(t) h(t) 0
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观察下面一些函数图象, 探讨函数单调性与其导函数正 负关系.
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例1 已知导函数 f (x) 以下信息: 当1 < x < 4 时, f (x) 0;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f (x) 0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f (x) 0. 试画出函数 f (x) 图象大致形状.
解: 当1 < x < 4 时, f (x) 0, 可知 f (x)在此区间内
y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,假如 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 假如 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
假如恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是?。 常数
本题用到一个主要转化：
m≥f(x)恒成立 m f(x)max m f(x)恒成立 m f(x)min
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例3：方程根问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（f x)=0 方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0.
f (x) 2x 2 2(x 1). 当 f (x) 0 , 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递增; 当 f (x) 0 , 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递减.
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例2 判断以下函数单调性, 并求出单调区间:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) x2 2x 3;
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(1)函数单调性也叫函数增减性； (2)函数单调性是对某个区间而言，它是个局部概
念。这个区间是定义域子集。
(3)单调区间：针对自变量x而言。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函怎数样，利用则导为数单研调究递减区间。
以前,我们用定义来判断函数函单数调单性调.在性假呢?设x1<x2前提 下,比较f(x1)与f(x2)大小,在函数y=f(x)比较复杂情况下, 比较f(x1)与f(x2)大小并不很轻易.假如利用导数来判断 函数单调性就比较简单.
2、证实可导函数f(x)在(a,b)内单调性方法： (1)求f’(x) (2)确认f’(x)在(a,b)内符号 (3)作出结论
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例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水体积相同)注入 下面四种底面积相同容器中, 请分别找出与各容器对应水高 度h与时间t函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)