20-21版：专题拓展课三 竖直面内圆周运动模型及临界问题（创新设计）

专题拓展课三竖直面内圆周运动模型及临界问题
【学习目标要求】 1.通过建立竖直面内圆周运动的轻绳模型，应用动力学方法分析临界问题。

2.通过建立竖直面内圆周运动的轻杆模型，分析与绳模型的区别。

3.会通过分析临界状态，找到临界条件，解决临界问题。

拓展点1竖直面内圆周运动的轻绳模型
1.模型概述
无支撑物(如球与绳连接，沿内轨道运动的“过山车”等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻绳模型”。

2.模型特点
比较项目特点
情景图示
弹力特征弹力可能向下，也可能等于零
受力示意图
力学方程mg＋F T＝m v2 r
临界特征F T＝0，即mg＝m v2
r，得v＝gr
v＝gr的意义物体能否过最高点的临界点
【例1】(2020·深州中学高一月考)杂技演员在做“水流星”表演
时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内
做圆周运动。

如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm(g
＝10 m/s2) 。

求：
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。

解析(1)杯子运动到最高点时，设速度为v时水恰好不流出，水的重力刚好提供
其做圆周运动的向心力， 根据牛顿第二定律得mg ＝m v 2
L 代入数据解得v ＝ 6 m/s 。

(2)对水研究，在最高点时由水的重力和杯底的弹力的合力提供水做圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得F N ＋mg ＝m v ′2
L 代入数据解得F N ＝2.5 N
由牛顿第三定律知水对杯底的压力大小为2.5 N 。

答案 (1) 6 m/s (2)2.5 N
【针对训练1】 如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R ，要使体重为mg 的乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( ) A.0 B.gR C.2gR
D.3gR
解析 由题意知F N ＋mg ＝2mg ＝m v 2
R ，故速度大小v ＝2gR ，选项C 正确。

答案 C
拓展点2 竖直面内圆周运动的轻杆模型
1.模型概述
有支撑物(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)的竖直面内的圆周运动，称为“轻杆模型”。

2.模型特点
比较项目
特点
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程mg±F N＝m v2 r
临界特征v＝0，即F
向
＝0，此时F N＝mg
v＝gr的意义F N表现为拉力还是支持力的临界点
【例2】(2020·甘南藏族自治州一中高一期中)如图所示，小球A
质量为m＝0.5 kg。

固定在长为L＝0.2 m的轻细直杆一端，并随
杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。

如果小球经
过最高位置时，杆对球的作用力为拉力，拉力大小等于球的重力
(g取10 m/s2)。

求：
(1)球在最高点时的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为4 m/s，杆对球的作用力的大小；
(3)如果把其中轻细杆变成等长的轻绳，小球刚好能通过最高点的速度为多大。

解析(1)在最高点，由牛顿第二定律可得
mg＋F＝m v21 L
得v1＝2gL＝2 m/s。

(2)在最低点，由牛顿第二定律可得
F′－mg＝m v22 r
得F′＝45 N。

(3)当速度最小时，重力提供向心力，有mg＝m v23 L
得v3＝gL＝ 2 m/s。

答案(1)2 m/s(2)45 N(3) 2 m/s
【针对训练2】如图所示，质量为2m，且内壁光滑的导管弯成圆周轨道竖直放置，质量为m的小球，在管内滚动，当小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，此时小球的速度多大？(轨道半径为R，重力加速度为g)
解析小球运动到最高点时，导管刚好要离开地面，说明此时小球对导管的作用力竖直向上，大小为F N＝2mg
分析小球受力如图所示
则有F N′＋mg＝m v2 R，
由牛顿第三定律知，F N′＝F N
可得v＝3gR
答案3gR
拓展点3水平面内圆周运动的临界问题
1.涉及常见三种力
(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0或不被拉断的最大值。

(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0。

(3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值。

2.常用解题方法
(1)极限法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象显露，达到尽快求解的目的。

(2)假设法
有些物理过程转化没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题。

因此分析时先假设出临界状态，然后再分析判定。

(3)数学方法
将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式，求得临界条件，具体步骤如下：
①对物体进行受力分析。

②找到其中可以变化的力以及它的临界值。

③求出向心力(合力或沿半径方向的合力)的临界值。

④用向心力公式求出运动学量(线速度、角速度、周期、半径等)的临界值。

【例3】如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B 的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：
(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；
(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。

解析(1)两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，有μ·2mg＝2mω21·2l
解得ω1＝μg 2l，
故角速度为μg
2l时，绳上刚好出现拉力。

(2)当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，对A有μmg－T＝mω22l
对B有μ·2mg＋T＝2mω22·2l
联立解得ω2＝3μg 5l
故角速度为3μg
5l时，A、B开始与转盘发生相对滑动。

答案(1)μg
2l(2)
3μg
5l
【针对训练3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，
其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝45°，一条长为L的
轻绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看成质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。

求：
(1)当v1＝gL
6时，绳对物体的拉力大小；
(2)当v2＝3gL
2时，绳对物体的拉力大小。

解析当物体刚要离开锥面时，锥面对物体没有支持力由牛顿第二定律得
F T cos θ－mg＝0，F T sin θ＝m v20
L sin θ
解得v0＝2gL 2。

(1)因v1＜v0，此时锥面对物体有支持力，设为F N1物体受力分析，如图甲所示，则有
F T1cos θ＋F N1sin θ－mg＝0
F T1sin θ－F N1cos θ＝m
v21 L sin θ
解得F T1＝32＋1
6mg。

(2)因v2＞v0，则物体离开锥面，设绳与竖直方向的夹角为α，如图乙所示。

则F T2cos α－mg＝0，F T2sin α＝m
v22 L sin α
解得F T2＝2mg。

答案(1)32＋1
6mg(2)2mg
【题目示例】
【例1】如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为F T，拉力F T与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是()
A.数据a与小球的质量有关
B.数据b与小球的质量无关
C.比值b
a只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a 、b 和g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径
【例2】 如图所示，一轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F N ，小球在最高点的速度大小为v ，F N －v 2图像如图所示。

下列说法正确的是( )
A.当地的重力加速度大小为R
b B.小球的质量为a
b R
C.v 2＝c 时，杆对小球弹力方向向上
D.若v 2＝2b ，则杆对小球弹力大小为2a 【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。

2.模型建构
(1)轻绳模型：①v ＞gR 时绳子的弹力F ＝m v 2
R －mg ，方向竖直向下 ②v ＝gR 时绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件 (2)轻杆模型
①v ＞gR 时轻杆对物体的弹力F ＝m v 2
R －mg ，方向竖直向下
②v ＝gR 时轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度。

③v ＜gR 时轻杆对物体的弹力F N ＝mg －m v 2
R ，方向竖直向上。

【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。

如例1：F T ＋mg ＝m v 2
r 。

2.根据物理方程整理成函数关系。

如例1：F T ＝m r v 2
－mg 。

3.将物理方程与一次函数相对应。

如例1：F T ＝m r v 2－mg ――→对应
y ＝kx ＋b 。

4.根据函数思想对应物理图像分析求解。

【详细分析】
【例1】 当v 2＝a 时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则有mg ＝m v 2
r ，解得v 2＝gr 即a ＝gr ，故与物体的质量无关，A 错误；当v 2＝2a 时，对物体受力分析，则有mg ＋b ＝m v 2
r ，解得b ＝mg ，故与小球的质量有关，B 错误；根据以上分析可知：b a ＝m
r ，与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，C 错误；若F ＝0，由图知v 2
＝a ，则有mg ＝m v 2r ，解得r ＝a
g ，当v 2＝2a 时，则有mg ＋b
＝m v 2r ，解得m ＝b
g ，D 正确。

答案 D
【例2】 通过图分析可知：当v 2＝b ，F N ＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即mg ＝m b R ，g ＝b
R ，A 错误；当v 2＝0，F N ＝a 时，重力与弹力F N 大小相等，即mg ＝a ，所以m ＝a g ＝a
b R ，B 正确；当v 2＞b 时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v 2＝
c ＞b 时，杆对小球的弹力方向竖直向下，C 错误；若v 2＝2b 时，mg ＋F N ＝m 2b
R ，解得F N ＝a ，方向竖直向下，D 错误。

答案 B 【题后感悟】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。

2.对一次函数y ＝kx ＋b 要非常熟练，会用会画。

3.熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。

1.(竖直面内圆周运动绳模型)(多选)如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是()
A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座位仍可能产生压力
C.人在最低点时对座位的压力等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
解析当人与保险带间恰好没有作用力，由重力提供向心力mg＝m v20
R，得临界速
度为v0＝gR；当速度v0≥gR时，人与座椅产生挤压，没有保险带，人也不会掉下来，故A错误，B正确；人在最低点时，加速度方向竖直向上，根据牛顿第
二定律F N－mg＝m v2
R分析可知，人处于超重状态，有F N＞mg，由牛顿第三定律
可知人对座位的压力大于mg，故C错误，D正确。

答案BD
2.(竖直面内圆周运动杆模型)(2020·四川棠湖中学高一月考)如图
所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球；另一端固定在光滑的水
平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度
为v，下列叙述中不正确的是()
A.v的值可以小于gl
B.当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C.当v由gl值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D.当v由gl值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
解析细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A
正确；根据F
向＝m
v2
l知，速度增大，向心力增大，故B正确；当v＝gl，杆
的作用力为零，当v＞gl时，杆子表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C正
确；当v ＜gl 时，杆子表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D 错误。

答案 D
3.(圆周运动的临界问题)(2020·四川棠湖中学高一月考)如图，水平桌面中心O 处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端各系质量M ＝0.6 kg 的物体A 和m ＝0.3 kg 的物体B ，A 的中心与圆孔的距离为0.2 m 。

(g 取10 m/s 2)
(1)如果水平桌面光滑且固定，求A 物体做匀速圆周运动的角速度ω应是多大？ (2)如果水平桌面粗糙，且与A 之间的最大摩擦力为1 N ，现使此平面绕中心轴线水平转动，角速度ω在什么范围内，A 可与平面处于相对静止状态？
解析 (1)若水平桌面光滑固定，则A 做圆周运动靠拉力提供向心力，则有F ＝Mrω2，F ＝mg 解得ω＝
mg
Mr ＝
3
0.6×0.2
rad/s ＝5 rad/s
(2)若水平桌面粗糙，当角速度最大时，有 F ＋f m ＝Mrω21，F ＝mg 代入数据解得ω1＝103
3rad/s
当角速度最小时，有F －f m ＝Mrω22，F ＝mg 代入数据解得ω2＝56
3 rad/s ， 所以563 rad/s ≤ω≤103
3 rad/s A 可与平面处于相对静止状态。

答案 (1)5 rad/s (2)563 rad/s ≤ω≤103
3 rad/s。