5圆周运动全解

0
A B
例5一转盘绕竖直轴在水平面内转动,质量分别为 M和m 的A、B两物体用长为L的轻绳连接后放在盘上,A 正好 在转轴处, A、B间连线正好沿半径方向伸直 ， A、B 与盘之间的最大静摩擦力均为正压力的 K倍（1）如要A 物体相对盘无滑动趋势,盘转动的角速度的最大值是多 大？（2）如要A、B与盘间无相对滑动,盘转动的角速 度的最大值又是多大？
B f f A
l2 l1
O′ T O
求解圆周运动问题，关键是明确向心力的来源，即什么力 充当向心力．现将常见的几种情况归纳如下． (1)水平面内的匀速圆周运动
例如：放在水平圆盘上的物体随圆盘转动、火车转弯、锥摆等问 题．
(2)竖直平面内的圆周运动
例如：物体通过拱桥或凹桥的问题；绳子一端系一个物体，在竖直 面内做圆周运动的问题．
mv 2 mg tan q = = mR sin q w2 R sin q 2r R cos h v gR tan sin , T 2 2
v g g
可见，θ越大,即h越小, v 越大,T 越小。
例在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车 向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路 面与水平面间的夹角为θ．设拐弯路段是半径为R的圆 弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于 FN 前进方向)摩擦力等于零，θ应等于
A 2m B m C m
答案ABC
例4．如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物 块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连， 开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与 水平转台间最大静摩擦力均为重力的 m 倍，当转台的 角速度达到多大时线上出现张力?当转台的角速度达到 多大时A物块开始滑动?
六、离心运动与近心运动： 1 离心现象（1） 做匀速圆周运动的物体，在所受 合力突然消失，物体沿所在位置的切线方向飞出去 （2）当提供向心力的合外力小于做圆周运动所需要 的向心力，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动 物体作离心运动的条件： 2 向心运动 当提供向心力的合外力大于 做圆周运动所需要的向心力， 物体离圆心越来越近，即为 2 向心运动 F m r
3大小：a向 = r =ω r= T
2
= 4 π n r = vw
五、向心力：1、物体做圆周运动时，受到的指向圆心 的合力。是产生向心加速度的原因
2 v2 4 π r 2 2 2 大小：F =ma =m =m ω r = m = 4 π n rm = vwm 向 向 2 r T
2 向心力不做功
六、匀速圆周的特点
皮带传动（齿轮传动,摩擦传动）的两轮,在皮带不打 滑的的条件下，两轮边缘各点的线速度大小相等，
【例 2】如图所示，直径为 d 的纸制圆筒，正以角速度ω
绕轴 O匀速转动，现使枪口对准圆筒，使子弹沿直径穿过
，若子弹在圆筒旋转不到半周时在筒上留下a，b两弹孔，
已知aO与Ob夹角为φ，则子弹的速度为 ω
O φ ω b a O b ω O φ
练习 在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长 L=0.1m的细线相连接的A、B两小物块，已知A距轴心0的 距离 r1=0.2m，A、B的质量均为m=1Kg,它们与盘面间的 相互作用的摩擦力最大值为其重力的 0.3倍 （ g=10m/s2),试求： （1）当细线刚要出现拉力时， 圆盘转动的角速度为多大？（2）当 A、B与盘面刚要发 生相对滑动时，细线受到的拉力为多大？
0 A
Hale Waihona Puke B0`例1 弹簧一端固定在转轴上,另一端与小球相连,小球在 光滑的水平面上绕轴做匀速圆周运动，已知弹簧的劲 度系数为K,小球的质量为m,转动周期为T,求弹簧的伸 长量。
例2 质量相等的小球A.B分别固定在轻杆的中点及端 点,当杆在光滑的水平面上绕0做匀速圆周运动,求杆 OA段及AB段对球的拉力之比
M
r O m
例 6 质量为 M 的物体用细绳通过光滑水平平板中央的 光滑小孔与质量为 m1 、 m2 的物体相连， M 做匀速圆周 的半径为r1,角速度为 1，若将m1和m2之间的细线剪断 ，仍做匀速圆周运动，其稳定后的半径为 r2, 角速度 为2,则以下关系正确的是 A r2=r1 2<1
1 物体做运匀速圆周运动的条件：必须受到大小不变， 方向始终与速度方向垂直并沿半径指向圆心的力的作 用，即物体受到的合外力必须全部用来改变线速度方 向而不改变线速度的大小
2、特点： 线速度大小不变、方向时刻改变
F t F
角速度 转速 周期不变
向心加速度大小不变，方向时刻改变 F n 向心力大小不变，方向时刻改变 七 变速圆周运动 -----合外力沿半径方向的分力提供向 心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向；合 外力沿轨道切线方向的分力使物体产生切线加速度， 改变速度的大小；
.
b
a
解： t=d/v= (π-φ）/ ω
∴v=dω/ (π-φ）
a
dω/ (π-φ）
例 一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径 r0=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。 当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电 机提供动力。自行车车轮的半径R1=35cm，小齿轮的半 径R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转 速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行 车轮之间无相对滑动）
圆周运动 圆周运动的定义：轨迹是圆周的运动叫圆周运动 一、线速度:反映物体运动的快慢 1、物体通过的弧长与通过这段弧长所用的时间之比，表 示为：v=ΔL/Δt （圆周运动速度也称作线速度） 2、方向 圆周各点的切线方向 （时刻在变化） 3 匀速圆周运动的定义：物体沿着圆周运动，如果在相 等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫做匀速圆周运 动 A’
A B
例 6 细绳一端系着质量 M=0.6 千克的物体，静止在水 平面，另一端通过光滑小孔吊着质量 m=0.3 千克的物 体， M 的中点与圆孔距离为 0.2 米，并知 M 和水平面的 最大静摩擦力为 2 牛，现使此平面绕中心轴线转动， 问角速度 在什么范围 m会处于静止状态？ (g取 10米/ 秒2)
在国际单位制，周期的单位是秒。s DL 2p r Dq 2p v= = w= = Dt T Dt T 2p r v = wr = = 2p rn T
四 向心加速度a：
1、任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心， 这个加速度叫做向心加速度。指向圆心，时刻在变化
2 描述线速度方向变化快慢的物理量，即只改变速度 2 的方向 v2 4 π r 2 2 2
例3 如图是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上 等间距地放者许多半成品产品，A轮处有光电记数器， 它可以记录通过A处的产品数目。已知测得轮A、B的半 径rA=20cm,rB=10cm 相邻两产品距离为30cm,1分钟内 有41个产品通过A处（1 ）产品随传送带移动的速度的 大小（2）A、B轮轮缘上的两点P、Q及A轮半径中点M的 线速度大小和方向及角速度大小（3）如果A轮是通过 摩擦带动C轮转动，rc=5cm,求出轮的角速度,标出转动 方向
M
B r2>r1 2<1
C r2<r1 2=1
r
O m1 m2
D r2>r1 2=1
答案B
例7 如图所示的水平转盘可绕竖直轴00`旋转盘上水平 杆上穿着两个质量均为m的小球A和B,现将A和B分别 置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连，已知两 球与杆之间的最大静摩擦力都是fm,分析转速从零逐渐 增大,两球对轴保持相对静止的过程中，在满足下列条 件下， 与m、r、fm关系式（1）绳中出现张力时（2） A球所受摩擦力改变方向时（3）两球对轴刚要滑动时
0
A
B
【例3】A、B 两球质量分别为 m1与m2，用一劲度系数为k 的弹簧相连 , 一长为 l1 的细线与 A 相连 , 置于水平光滑桌 面上 , 细线的另一端拴在竖直轴 OO` 上 , 如图所示 , 当 m1 与 m2均以角速度ω绕OO`做匀速圆周运动时,弹簧长度为l2 求（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？ （2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？
A Q B M P
C
例1:光滑水平面上0点，固定一根钉子，把绳子的一端 套在钉子上，另一端系一个小球使小球在桌面上做匀速 圆周运动 例2一圆盘可绕通过圆盘中心且垂直于盘面的水平面内 的匀速圆周运动竖直轴转动，圆盘上放置一小木块 A她 随圆盘一起运动做匀速圆周运动
例3．可绕固定的竖直轴O转动的水平转台上，有一质量 为m的物块A，它与转台表面之间的动摩擦因数为μ，物 块A通过一根线拴在轴O上，开始时，将线拉直，物体A处 在图位置，令平台的转动角速度ω由零起逐渐增大，在 连线断裂以前 [ ] A．连线对物块A的拉力有可能等于零 B．平台作用于物块A的摩擦力不可能等于零 C．平台作用于物块A的摩擦力有可能沿半径指向外侧 D当物体A的向心加速度a>ug时，线对它的拉力T=maa-umg
解：大小齿轮间、摩擦小轮 和车轮之间和皮带传动原理 相同，两轮边缘各点的线速 度大小相等，由v=2πnr可 大齿轮 知 链条 摩擦小轮
小发电机
车轮
小齿轮
转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮间和轮轴的原理相同，两轮 上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间 的转速之比n1∶n2=2∶175
F m r
2
例 1 如图所示，两个轮通过皮带传动，设皮带与轮之 间不打滑， A 为半径为 R 的 O1 轮缘上一点， B 、 C 为半径 为 2R 的 O2 轮缘和轮上的点， O2C=2R/3 ，当皮带轮转动 时，A、B、C三点的角度之比ωA：ωB：ωC = 2：1：1 ABC三点的线速度之比v A ：vB：vC = 3：3：1 三点的向心加速度之比aA：aB：aC= 6： 3： 1 B A O2 O1 C 同轴转动的物体上各点的角速度相等
a N a
α
a
mg
例2:内壁光滑的圆锥筒轴线垂直于水平面,圆锥筒固 定不动,有两个质量相同（均为m）的小球紧贴内壁， 圆筒与轴线的夹角为a
例3、 质量为m的飞机,以速率v在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小为？
火车转弯 F
F合
G
N a N a mg a

mg
本题的分析方法和结论适 用于圆锥摆、火车转弯， 飞机在水平面内做匀速圆 周运动的问题。共同点是 由重力和弹力的合力提供 向心力，向心力方向水平 。
例．小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速 圆周运动，试分析图中的 θ（小球与半球球心连线跟 竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。（小 球的半径远小于R） O N
小球做匀速圆周运动的圆心在和 R 小球等高的水平面上（不在半球 的球心），向心力F 是重力G 和 支持力N 的合力，所以重力和支 G 持力的合力方向必然水平。如图 所示： （式中h 为小球轨道平面到球心的高度） θ F
解题步骤：
1 明确研究对象，确定它在哪个平面做匀速圆周运动，找到 圆心和半径。 2 明确研究对象在某个位置所处的状态，进行受力分析，分 析哪些力提供了向心力
3 根据向心力公式列出方程，对结果进行必要的讨论说明。
例1 将一质量为m的摆球用长为L的细线吊起上端固定， 使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面 旋转，这样就构成一个圆锥摆，设摆线与竖直方向的夹 角为a
二 角速度：描述物体绕圆心转动的 快慢的物理量
O θ r
A
1 物体在这段时间转过的角与所用时 Dq w= 间的比值，这个比值叫做角速度。 Dt
2、角速度的单位是 rad/s，读作弧度每秒 或s-1 θ的单位是弧度（rad）。 1rad是弧长为圆半径的一段圆弧所对的圆心角。 3、匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。 三 转速与周期： 描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。 1 转速 n：物体单位时间内转过的圈数。 单位为转每秒（r/s) 或（ r/min) 2 周期T：物体沿圆周运动一周所用的时间。
A
o 答案:ABD
例 A、B、C三个物体放在旋转转台上，动摩擦因数均为 u,A的质量为2m,B、C质量均为m,A、B离轴R,C离轴2R,则当 圆台旋转时，（设ABC都没有滑动，如图所示） A C物体的向心加速度最大
B B物体的静摩擦力最小
C 当圆台转速增大时，C比A先滑动
D 当圆台转速增大时，B比A先滑动