17.3 一元二次方程根的判别式

4
有实数根
拓展提升 2、如果关于x的一元二次方程 mx2-2(m+2)x+m+5 没有实数根，试
判断关于x的方程 (m-5)x2-2(m-1)x+m=0 的根的情况.
证明： ∵ 关于x的一元二次方程 mx2-2(m+2)x+m+5 没有实数根
∆＜0
[-2(m+2)]2-4m(m+5)＜0
∴ m≠0
证明：∵ 一元二次方程ax2+bx+1=0 (a≠0) 有两个相等的实数根
∴ ∆= 0， 即 b2-4a=0
∴ b2=4a
∴
ab2

ab2
(a 2)2 b2 4 a 2 4a 4 b2 4

ab2
a2 4a b2
ab2
a2
b2 a
4a a
4
巩固练习 5、已知关于x的方程 x2-2(m+1)x+m2=0. (1) 当m取何值时，方程有两个实数根； (2) 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数 根，并求这两个根.
特别指出： 当 ∆≥0时， 有两个实数根. 反过来， 当方程有两个不相等的实数根时， ∆＞0；
当方程有两个相等的实数根时， ∆= 0； 当方程没有实数根时， ∆＜0.
特别指出： 当方程有两个实数根时， ∆≥0.
当堂训练 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 5x2-3x-2=0
解： ∵ △=b2-4ac= (-3)2 - 4×5×(-2) =49 ＞0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根.
解：(2) ∵ ∆=[-3(m-1)]2-4m(2m-3) =(m-3)2 ≥0
∴ x b
b2 2a

4ac
.
b
234(amc102) m.
(m
-
3)
∴
x1

3(m
1) (m - 3) 2m
4m 6 2m
2 3 m
3(m 1) (m - 3)
x2
2m
1
∴ 无论m为何值，方程总有一个固定的根是1.
4、已知：关于x的一元二次方程 mx2-3(m-1)x+2m-3=0 (m为实数)
(论m为何值，方程总有一个固定的根； (3) 若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.
当m＞4且m≠5时， 方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0 有两个不相等的实数根.
提升练习 3、已知关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+4( k- 1
2
(1) 求证：无论k取何值，方程总有实数根；
)=0.
证明 : (1)
∵
△=b2-4ac=
[-(2k+1)]2
-
4×4(k-
1 2
)
=4k2+4k+1 - 16k - 8
当堂训练 不解方程，判别下列方程根的情况： (2) 25y2+4=20y
解： 把原方程化为标准形式，得
25y2-20y+4=0 ∵ △=b2-4ac= (-20)2 - 4×25×4 =0 ∴ 原方程有两个相等的实数根.
注意： 利用一元二次方程根的判别式时， 一定要把方程化为标准形式.
当堂训练 不解方程，判别下列方程根的情况：
则方程（ A ）
A.有两个不相等的实数根
a与c异号， 即 ac ＜ 0
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
△=b²-4ac ＞0
D.根的情况无法确定
方程有两个不相等的实数根
注意： 若一元二次方程中a和c异号， 则方程一定有两个不相等的实数根.
对应练习
2016x²-2017x-2018=0
方程有两个不相等的实数根
因为 a≠0， 所以
(1) 当 b2-4ac>0 时， b2 4ac 是正实数， 因此， 方程有
两个不相等的实数根：
b b2 4ac
x1
2a
,
x2 b
b2 4ac 2a
探究新知
前面，通过配方，得到一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)
的求根公式：
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的根有几种情况？ 它们的根的情况由哪个因 素来决定的呢？ 何时有两个不相等的实数根？ 何时有两个相等 的实数根？ 何时没有实数根？ 一元二次方程的根为什么会出现 不同的情况呢？
探究新知
前面，通过配方，得到一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)
的求根公式：
x b b2 4ac 2a
课前热身 用公式法解下列方程. (3) (x-2)(1-3x)=6
解： 将原方程化成标准形式，得
3x2-7x+8=0 ∵ a=3， b=-7， c=8 ∴ b2 - 4ac= (-7)2 - 4×3×8 = 49-96 =-47 ＜0 ∴ 原方程没有实数根.
注意： 当 b2 - 4ac＜0 时， 方程没有实数根；
∴ x b
b2 2a

4ac
.b-2
7 81
24a2c
0.
-
7 4
9
∴
1 x1 2 ,
x2 4
注意： 当 b2 - 4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
课前热身 用公式法解下列方程.
2 x2 3 2 3x
解： 将原方程化成标准形式，得
巩固练习 2、已知关于y的方程 y2-4y+3m=0，问 m 取何值时，这个方程：
(1) 有两个不相等的实数根？ (2) 有两个相等的实数根？ (3) 没有实数根？
解： ∆=b2-4ac =(-4)2-4×1×3m =16-12m
(1) 当方程有两个不相等的实数根时， ∆＞0，
即 16-12m＞0
(3) 2x2 3x 1 0
解：∵ △=b2-4ac= 3 2 - 4×2×1 =-5 ＜0
∴ 原方程没有的实数根.
当堂训练 不解方程，判别下列方程根的情况： (4) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数)
解： ∵ △=b2-4ac= 4k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2 ≥ 0 ∴ 原方程有两个实数根.
沪科版 数学八年级下册
中物理
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的 判别式
回顾 & 思考 ☞
1、解一元二次方程的方法有哪些？ ① 开平方法 ② 配方法 ③ 公式法 ④ 因式分解法
2、说说一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式.
x b b2 4ac （b2 - 4ac≥0）
① 将方程化成标准形式 ax2+bx+c=0，并确定a，b，c的值； ② 计算 △=b2-4ac 的值； ③ 根据 △与0的大小关系 判别一元二次方程根的情况 .
当方程系数中含有字母时， 将 △=b2-4ac 配方后判断
巩固练习
1、在一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0) 中，若a与c异号，
解：(3)∵ m为整数，且方程的两个根均为正整数
∴
x1

2

3 m
必为整数
∴ m=±1 或 m=±3
∴ 当 m=1 时 ，x1=-1； 当 m=-1 时 ，x1=5； 当 m=3 时 ，x1=1； 当 m=-3 时 ，x1=3；
∴ m=-3 或 m=±1
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0) 的根的情况 由 b2-4ac 来确定. 我们把 b2-4ac 叫做 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0) 的 根的判别式， 通常用符号“△”来表示， 即 △=b2-4ac. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
解： 当 m=0 时， 此方程为一元一次方程， 方程有实数根. 当 m≠0 时， 此方程为一元二次方程.
∵ 方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有实数根
∴ ∆=(2m+1)2-4m2 ≥0 解得 m 1 且 m≠0 4
综上所述， 当 m 1 时，关于x的方程 m2x2+(2m+1)x+1=0
当方程系数中含有字母时， 将 △=b2-4ac 配方后判断
当堂训练 不解方程，判别下列方程根的情况：
(5) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 解： ∵ △=b2-4ac= m2-4m+8
=m2-4m+4-4+8 =(m-2) 2 +4 > 0
∴ 原方程有两个不等实根
归纳总结 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的一般步骤：
解： (1) 由题意可得 ∆≥0 即 [-2(m+1)]2-4m2 ≥ 0 解得 m≥ 1 2
∴ 当m≥ 1 时， 方程有两个实数根
2
(2) 取m=0时， 原方程可化为 x2-2x=0
解得 x1=0， x2=2
拓展提升
1、关于x的方程 m2x2+(2m+1)x+1=0 有实数根，求m的 取值范围.
x2 2 3x 3 0 ∵ a=1， b 2 3 , c=3
∴ b2 - 4ac= 2 3 2 41 3 =0
∴ x b
b2
4ac
. b2
2 3 0
4ac 0 .

3
2a
2
∴ x1 x2 3
注意： 当 b2 - 4ac=0 时， 方程有两个相等的实数根；
2a
课前热身 用公式法解下列方程：
(1) 2x2+7x-4=0
(2) x 2 3 2 3x
(3) (x-2)(1-3x)=6
在求解的过程 中，注意观察 b2-4ac 的值.
课前热身 用公式法解下列方程. (1) 2x2+7x-4=0
解： ∵ a=2， b=7， c=-4
∴ b2 - 4ac= 72 - 4×2×(-4)= 81＞0
证明： ∵ △=b2-4ac= (4m+1)2 - 4(2m-1)
=16m2+8m+1 - 8m+4 =16m2+5 ＞0
∴ 不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
巩固练习
4、已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 (a≠0) 有两
个相等的实数根，求
ab2
的值.
(a 2)2 b2 4
因为 a≠0， 所以
(2) 当 b2-4ac=0 时 ， b2 4ac 0 , 因此， 方程有两个
相等的实数根：
x1

x2

b 2a
;
(3) 当 b2-4ac＜0 时， b2 4ac 在实数范围内无意义,
因此方程没有实数根.
概念学习 可见， 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0) 的根的情况 由
=4k2-12k+9
=（2k-3）2 ≥0
∴ 无论k取何值，方程总有实数根
提升练习 4、已知：关于x的一元二次方程 mx2-3(m-1)x+2m-3=0
(m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2) 求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
(3) 若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.
即
m≠0
解得 m＞4 对于关于x的方程 (m-5)x2-2(m-1)x+m=0
当m=5时， 方程有一个实数根； 当m≠5时， ∆1=[-2(m-1)]2-4m(m-5) =4(3m+1) ∵ m＞4 ∴ 3m+1 ＞13
∴ ∆1=4(3m+1)＞0 ∴ 方程有两个不相等的实数根 综上所述， 当m=5时， 方程 (m-5)x2-2(m-1)x+m=0 有一个实数根；
解得 m 4 3
(2) 当方程有两个相等的实数根时， ∆=0，
即 16-12m=0
解得 m 4 3
(3) 当方程没有实数根时， ∆<0，
即 16-12m<0 解得 m 4 3
对应练习
[中考·凉山州] 关于x的一元二次方程 (m-2)x2+2x+1=0 有实数根，求m的取值范围？
解： 由题意可得 ∆≥0
b2-4ac 来确定. 我们把 b2-4ac 叫做 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0)的 根的判别式，通常用符号“△”来表示，即 △=b2-4ac.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
当∆＞0时， 有两个不相等的实数根； 当∆＝0时，有两个相等的实数根； 当∆＜0时， 没有实数根.
解：(1) ∵ 方程有两个不相等的实数根
∴
∆>0 m≠0
即
[-3(m-1)]2-4m(2m-3)>0 m≠0
解得 m≠3 且 m≠0
4、已知：关于x的一元二次方程 mx2-3(m-1)x+2m-3=0 (m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2) 求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根； (3) 若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.
22-4(m-2)≥0 即
m-2≠0
m-2≠0
解得 m≤3 且 m≠2
注意： 一元二次方程有实数根，包括有两不相等的实数根和有两个
相等的实数根， 即 ∆≥0.
求字母的取值范围时，还要保证二次项系数不等于 0 .
巩固练习 3、已知关于 x 的一元二次方程 x2+(4m+1)x+2m-1=0.
求证：不论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根.