2.3 数学归纳法(1)
数学归纳法证明。
则ak +1 = ak + d
凑 假 设
= [ a1 + (k − 1)d ] + d
= a 1 + [ ( k + 1) − 1 ] d
= a1 + kd
∴当n=k+1时，结论也成立. n=k+1时 结论也成立. 凑结论 (1)和(2)知 等式对于任何n∈N 都成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。
2.3数学归纳法 数学归纳法(1) 数学归纳法
对 于 数 列 {a n } ,已 知 a 1 = 1， a n + 1 = 猜想其通项公式
问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？ 它们都是白色的？ 问题 2: a
n
1 + an
( n = 1, 2, ...
1 a1 = 1 1 a3 = 3
1+3+5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2k −3) +(2k −1) = k −1
2
那么 1+3+5+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2k −1) +(2k +1)
= k −1+ (2k +1) = (k +1) −1
2 2
时等式成立。 即n=k+1时等式成立。所以等式对 时等式成立 一切正整数n均成立 均成立。 一切正整数 均成立。
2
+a
3
例1.用数学归纳法证明 用数学归纳法证明
（ +1) 2n+1 nn （ ） ∗ 1 +2 +3 +L+n = （ ∈N ） n 6
2 2 2 2
1 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 3 n(n + 1)(n + 2) ＋n(n＋
第2章 2.3 数学归纳法
比较即可.
(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的
度.
【自主解答】
(1)当n＝k＋1时左边的代数式是
1 k＋2
＋
1 k＋3
＋…＋
1 2k＋1
＋
2k＋1 2，增加了两项2k＋1 1与2k＋1 2，但是少了一项k＋1 1，故不等式的左边增加的式
子是2k＋1 1＋2k＋1 2－k＋1 1＝2k＋112k＋2.
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[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋32n＋4(n∈N*)
时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________.(填序号)
①1；
②1＋2；
③1＋2＋3；
④1＋2＋3＋4.
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(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈ N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.
k
k＋1＋1 k＋1
<
k2＋ k＋k＋1 12＋1＝2kk＋＋11＝2
k＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.
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[再练一题] 2.试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式. 【证明】 ①当n＝2时，2＋1 1＋2＋1 2＝172>1234. ②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立， 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k>1234， 那么当n＝k＋1时， k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1
31-2.3数学归纳法(1)
2.3.1数学归纳法1教材分析人类对问题的研究，结论发现的认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明.猜想的结论对不对，证明是尤为关键的.运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握.对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用.一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶.根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假.课时分配本课时是数学归纳法的第一课时，主要解决的是数学归纳法的原理及作用.教学目标重点: 了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧.难点：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力.知识点：数学归纳法证题的方法与应用范畴．能力点：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情．教育点：培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神．自主探究点：计算，观察，归纳，猜想，证明.考试点：正确运用数学归纳法.易错易混点：在验证1+=k n 命题的正确性时，极易脱离归纳假设.拓展点：链接高考.教具准备 实物投影机和电脑.课堂模式 基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了.过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖.结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？答：因为有姓“万”的.对！有姓“万”的.员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”.通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？答：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的.）其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程.那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？答：有.例如等差数列通项公式的推导.很好.我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的.其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法.那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？答：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.特点：特殊→一般.对.（投影展示有关定义）像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？（齐答）可靠.用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？不可靠.这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性.是不可靠的.不妨再举一例()()()()1000321----=n n n n a n 容易验证01=a ，02=a ，03=a ，…，01000=a ，如果由此作出结论——对于任何*N n ∈，()()() 321---=n n n a n()01000=-n 都成立，那就是错误的.事实上，0!10001001≠=a .【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引发探究欲望，若时间允许也可看一段视频.二、探究新知请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？（没）玩过.（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下.（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？假设第()*N k k ∈张骨牌倒下，保证第1+k 张骨牌倒下.这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？不是.我们不知道第k 张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k 张骨牌倒下.若第k 张骨牌倒下，需要第1-k 张骨牌倒下；若第1-k 张骨牌倒下，需要第2-k 张骨牌倒下，……，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下.大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？是.上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k 张骨牌倒下，第1+k 张骨牌一定倒下.现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？1=n 时结论正确2=⇒n 时结论正确3=⇒n 时，结论正确，k n =⇒⇒ 时结论正确1+=⇒k n 时结论正确 ⇒由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？假设k n =时结论正确1+=⇒k n 时结论也正确.这样就保证了递推.下面你能证明等差数列通项公式了吗？证明：（1）当1=n 时，左边1a =，右边110a d a =⋅+=，等式是成立的.（2）假设当k n =时等式成立，就是d k a a k )1(1-+=，下面看看是否能推出=n 1+k 时等式也成立，那么1+k a 等于什么？ []d k a a k 1)1(11-++=+.哦！看来1+=k n 时等式也成立，这样做对吗？（齐答）不对.注意在证1+=k n 时，一定要用到归纳假设，k n =时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么1+k a 与k a 有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）[]d d k a d a a k k +-+=+=+)1(11[]d k a 1)1(1-++=.这就是说，当1+=k n 时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？1=n 时等式成立2=⇒n 时等式成立3=⇒n 时等式成立⇒……所以n 取任何正整数等式都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）.（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确.根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确.所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法.概括起来就是“两个步骤，一个结论.”用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？递推思想.在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据.（此时投影上注明）这两步可以缺少哪一步吗？（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可.我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明.若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法.下面请同学们看一道例题.【设计意图】动手实践，体验“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”的深刻道理，准确计算，提高猜想的正确率，留一点时间让学生把例子再进行证明一下.三、理解新知1．归纳法⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法 特点：特殊→一般2．数学归纳法概念及证题步骤.3．数学归纳法实质是递推思想.【设计意图】应用整合，强化新知，让学生进一步熟悉数学归纳法证题原理，触类旁通，做到烂熟于心.四、应用新知例1：用数学归纳法证明：()212531n n =-++++ （师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”.）证明：①当1n =时，左边=1，右边=1，等式成立②假设*(,1)n k k N k =∈≥时等式成立,即：()213521k k ++++-=，当1n k =+时：()2213521[2(1)1]21(1)k k k k k ++++-++-=++=+，所以当1n k =+时等式也成立由①和②可知，对*n N ∈，原等式都成立例2：求证：1+≤n 111++…+n 232-1. 证明：①当1n =时,易知结论正确.②假设当*(,1)n k k N k =∈≥时结论正确,即: 12+≤k 111++…+k 32-1则当1n k =+时,1+-+++-k k k 1k k+11111++…1122+12+22++23211 +++-≤k k k k+1111122+12+22k +1 +++k k k k1111222<k +<2k +1.（适度放缩到目标非常关键） 故当1n k =+时,结论也正确. 根据①②知,对一切正整数n ,结论正确.练习：用数学归纳法证明： 1．()121321+=++++n n n . 2．12222112-=++++-n n .3．首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a .【设计意图】通过具体题目进一步熟悉数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”，提升认知境界，学会学习，为将来做好铺垫.五、课堂小结本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络.）（投影展示）小结：1．归纳法⎩⎨⎧完全归纳法不完全归纳法 特点：特殊→一般2．数学归纳法概念及证题步骤.3．数学归纳法实质是递推思想.六、布置作业1、必做题：96P 题1,2.2、选做题： 1.是否存在常数,a b ,使得等式:⋅⋅222212n an +n ++…+=1335(2n -1)(2n +1)bn +2对一切正整数n 都成立,并证明你的结论.2.求证：*11(2,)n n N +>+≥∈n 111n ++…+2322. 3.求证：当5n ≥时，2n n ≥2.七、反思提升1.本节课的亮点是课件制作精良，易于学生接受，课堂容量大，题型全面，举一反三，触类旁通.2.本节课的不足之处是用数学归纳法证明不等式需要适度放缩难度较大，且是考试重点，引导力度有点不足.八、板书设计。
数学归纳法(一)
an (n 1, 2,3,) ,通过对 ,已知 a1 1, an1 1 an
你 玩 过 多 米 诺 骨 牌 吗 ？
如何才能使所有的多米诺骨牌
全部倒下？
（1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 导致后一块倒下 无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立， 那么所有的骨牌一定可以全部倒下！ 用多米诺骨牌原理解决数学问题
2 2 2
2 2 2 2 那么， 1 2 k (k 1)
9
k ( k 1)(2k 1) (k 1) 2 6
k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2 6
( k 1)(2k 2 7 k 6) 6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
所以当
n k 1 时，猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任何 n N * 时都成立．
12
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不 能说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可 以了,没有必要验证命题对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有 第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步, 就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推 下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以 证明.
2.3 数学归纳法
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,
即ak= (k-1)-(k-2)a ,
k -(k -1)a
则当n=k+1时,ak+1=
1 2-ak
=
2-
1 (k -1)-(k -2)a
k -(k -1)a
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
=
k -(k -1)a
2[k -(k -1)a]-[(k -1)-(k -2)a]
2 | 数学归纳法的步骤
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( ✕ ) 2.数学归纳法的第一步中n0的初始值一定为1. ( ✕ ) 3.数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( √ ) 4.用数学归纳法证明命题时,归纳假设一定要用上. ( √ )
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选修2-2 人教A版
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2.3 数学归纳法
1 | 数学归纳法的概念 一般地,证明一个与① 正整数n 有关的命题,可按下列步骤进行: 1.证明当n取第一个值② n0(n0∈N*) 时命题成立; 2.假设③ n=k(k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明当④ n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
= k(2k 3) 1
(2k 1)(2k 3)
= 2k 2 3k 1
(2k 1)(2k 3)
= (2k 1)(k 1)
(2k 1)(2k 3)
= k 1 .
2(k 1) 1
故当n=k+1时,等式也成立.
§2.3 数学归纳法(一)
§2.3 数学归纳法（一）【教学目标】 姓名：___________1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法． 【重点难点】重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法． 难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【教学过程】 一.情境引入1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1）__________________________________________________； （2）__________________________________________________． 思考 你认为条件（2）的作用是什么？思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？ 2．我们知道对于数列{a n }，已知a 1＝1，且11nn na a a ＋＝＋（n ＝1，2，3…）通过对n ＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为1n a n＝，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立．思考？你认为证明数学的通项公式是1n a n＝，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多证明：（1） ． （2）假设 ，那么1111111k k k a k a a k k＝＝＝＋＋＋， 即n ＝k ＋1 时猜想也成立．根据（1）和（2），可知对任意的正整数n ，猜想都成立．这样，对于猜想，由已知n ＝1成立，就有n ＝2成立；n ＝2成立，就有n ＝3也成立；n ＝3成立， 就有n ＝4也成立……所以，对任意的正整数n ，猜想都成立，即数列的通项公式是1n a n＝． 二. 要点梳理数学归纳法的定义：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基） （2）（归纳递推） 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法． 用框图表示为：三、典型例题例1： 证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ．例2： 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．【变式】用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝1(1)(2)3n n n ＋＋．例3： 用数学归纳法证明 12＋22＋32＋…＋n 2＝(1)(21)6n n n ＋＋（n ∈N *）．【变式】用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1)2n n n n n －－＋－＋－＋＋－＝－L ．四、回顾小结重点：两个步骤、一个结论；注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.★基础训练★ 一、基础过关1．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则下列说法正确的是________．①该命题对于n >2的自然数n 都成立②该命题对于所有的正偶数都成立③该命题何时成立与k 取值无关 2．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________________________________________________________________________．3．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是________．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则f (n )共有________项，且f (2)＝________.5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为________．二、能力提升6．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为________．7．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)－f (k )＝________.8．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________________________________________________________________________．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立． 9．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．。
数学归纳法
2.3数学归纳法（第一课时）教材：江苏教育出版社，高中数学选修2-2，第二章，2.3节，数学归纳法。
课型：新授课一、教材分析《数学归纳法》既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。
它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数。
数学归纳法的学习是在学生学习了不完全归纳法与完全归纳法之后，对数学基本思想方法的进一步认识，也为今后不等式与数列等的学习提供了思想方法，在教材中起到承前启后的作用。
它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且是学生今后学习和工作中所必备的数学思想方法之一。
二、学情分析在本节课之前学生已经学习了不完全归纳法与完全归纳法的相关知识，作为中学生，他们的知识经验已较为丰富，智力发展水平已经达到了形式运算阶段，具有一定抽象思维能力和演绎推理能力，所以在教学过程中要注意引导和启发以符合这类学生心理发展的特点，从而促进学生思维发展水平的进一步提高。
但值得注意的是，虽然这个阶段的学生具有一定的分析问题和解决问题的能力，但逻辑思维能力，严谨推理能力，总结、归纳、演绎类比等思想方法还有待于进一步加强和提高。
三、教学目标1.知识与技能目标：理解数学归纳法原理；掌握数学归纳法证明命题的两个步骤；会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2.过程与方法目标：通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感、态度与价值观目标：通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。
初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
四、教学重难点1.教学重点：理解数学归纳法的实质；掌握数学归纳法证明命题的步骤；运用数学归纳法证明与自然数有关的命题。
2.3数学归纳法(第一课时)
2+4+6+8+„+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 ,
因此，对于任何nN*等式都成立。
1 1 (2) 1 2 2 3
1 n (n N * ) n (n 1) n 1 没有用上“假 1 1 证明 ①当n=1时,左边= 1 2 2 , 设”，故此法 不是数学归纳 1 1 右边= = 法 1+1 2 此时，原等式成立。
(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 目标： 1 2 3 4 k (k 1) * 综上①②可知，对任何nN 等式都成立。 6
2 2 2
即当n=k+1时,等式也成立。
凑结论
变式训练1：2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*) 证明 ：假设当n=k时等式成立，即
2+4+6+8+„+2k=k2+k+1(kN*) 那么，当n=k+1时，有
缺乏“递推基础”
事实上，我们可 以用等差数列求 和公式验证原等 式是不成立的！
2+4+6+8+„+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 ,
因此，对于任何nN*等式都成立。
变式训练2：
例中发现一般规律
缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的
课件9：2.3 数学归纳法
2．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示：不一定．
题型探究 题型一 用数学归纳法证明恒等式
例 1 已知 n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12， 等式成立； (2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 则当 n＝k＋1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋2k－1 1－21k＋2(k＋11)－1－2(k＋1 1)
故结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，即42k＋1＋3k＋2能被13 整除，则当n＝k＋1时， [42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－ (42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13＋2·(42k＋1＋3k＋2)， ∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除， ∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2)能被13整除， ∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．
即(1＋1)1＋14…1＋3k－1 21＋3(k＋11)－2＞3 3(k＋1)＋1成立． 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)和(2)可得不等式恒成立．
名师点评 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑： 一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比 较法、综合法、分析法、放缩法都可选用．
跟踪训练 2．设 n≥2，且 n∈N*，证明： (1)1＋131＋151＋17…1＋2n1－1＞ 2n2＋1； (2)n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n＞56.
学案1：2.3数学归纳法
《数学归纳法》导学案【学习目标】了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.【重点难点】重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.难点：数学归纳法中递推思想的理解.模块一：自主学习，明确目标一．知识链接1综合法：2分析法:3反证法:阅读教材思考并回答以下问题1.多米诺骨牌全部的条件是什么:2.数学归纳法的定义？3.数学归纳法适用范围是什么?4.数学归纳法的步骤(原理)是什么?5.数学归纳法的步骤 (原理)中关键及难点是什么?6.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 你怎样理解这句话？. 模块二：合作释疑例1、在数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．模块三：巩固训练，整理提高例2. 用数学归纳法证明6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)．变式迁移2：数学归纳法证明13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2二．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思三．当堂检测：1．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n 过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 （ ）A. 2)2(kB.2)32(+kC. 2)12(+kD. 2)22(+k 2．数列｛a n ｝的通项公式为a n =()211+n ()N ∈n ，记f(n) =（1－a 1）（1－a 2）…（1－a n ），求f (1)，f (2)，f (3)．推测f (n)的表达式，并证明你的结论．(实验班)3．用数学归纳法证明不等式 )2(241321312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边（ ）A.增加了一项)1(21+kB. 增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C. 增加了一项)1(21121+++k k D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”【作业】答案例1【解析】a 2=12 ,a 3=13 ,a 4=14推测a n =1n 假设a k =1k 成立a k+1=a ka k +1=1k 1k +1=1k+1 由此可得a n =1n 对任意的n ∈N ∗都成立 例2【解析】n=1时，左边=右边，等式成立假设n=k 成立12+22+⋯+k 2=16k (k +1)(2k +1) 则n =k +112+22+⋯+k 2+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2=16(k +1)(2k 2+7k +6)=16(k +1)(k +2)(2k +3) =(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]综上6)12)(1(21222++=+++n n n n (nϵN ∗)变式迁移2【答案】n=1时，显然成立假设n =k 时， 13+23+33+⋯+k 3=14k 2(k +1)2 成立 则n =k +1时，13+23+33+⋯+k 3+(k +1)3=14k 2(k +1)2+(k +1)3 =14(k +1)2(k 2+4k +4)=14(k +1)2[(k +1)+1]2 综上13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2当堂检测1【答案】 C2【解析】f(1)=34, f(2)=23,f(3)=58推测f(n)=2+n2(n+1)n=1时显然成立，假设n=k时，f(k)=2+k2(k+1)成立，则n=k+1时, f(k+1)=2+k2(k+1)(1−a k+1)=2+k2(k+1)(1−1(k+2)2)=2+k2(k+1)(k+1)(k+3)(k+2)2=2+(k+1)2[(k+1)+1]综上f(n)=2+n2(n+1)成立3【答案】B。
学案12：2.3 数学归纳法
2.3数学归纳法学习目标：1．掌握数学归纳法的实质及归纳与猜想的关系．2．能运用数学归纳法解决实际问题．学习重难点：1．数学归纳法与函数、数列、不等式及几何问题相结合．(重点)2．能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．(难点)学习过程：自学导引数学归纳法用框图表示就是：名师点睛1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．归纳→猜想→证明(1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方法．(2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．(3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种极限的思想.例题讲解：题型一用数学归纳法证明不等式问题例1：用数学归纳法证明：1 22＋132＋142＋…＋1n2<1－1n(n≥2，n∈N*)．规律方法：用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．变式1：用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．题型二 用数学归纳法证明整除性问题例2：用数学归纳法证明：f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除．规律方法：应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n ＝k 时的项从n ＝k ＋1时的项中“硬提出来”，构成n ＝k 的项，后面的式子相对变形，使之与n ＝k ＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．变式2：用数学归纳法证明62n －1＋1(n ∈N *)能被7整除．题型三 用数学归纳法证明几何问题例3：用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条．规律方法：用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．变式3：平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.题型四 归纳—猜想—证明例4：在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列{n ∈N ＋}．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.题后反思：探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．变式4：已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．例5：用数学归纳法证明n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)．追本溯源：数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n (n 取无限多个值)有关的数学命题，但是，并不是所有与正整数n 有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1＋1n n (n ∈N *)的单调性就难以实现．一般说，从n ＝k 时的情形过渡到n ＝k ＋1时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.参考答案例1：证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1k ＋12<1－1k＋()211k +＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立． 变式1：证明：(1)当n ＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左>右，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k －1>2k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎣⎡⎦⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2(k ＋1)＋12，∴n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．例2：证明：①当n ＝1时，f (1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n ＝k 时，f (k )能被36整除，即(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除， 则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9 ＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)， 由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除， 所以f (k ＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n ∈N ＋，f (n )能被36整除． 变式2：证明：(1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，62k －1＋1能被7整除． 那么当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n ＝k ＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．例3：证明：①当n ＝3时，12n (n －3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N ＋)时结论正确， 即凸k 边形的对角线有12k (k －3)条，则当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点， 设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1. ∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3] 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立． 变式3：证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立． 例4：解： (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可以得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立． 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1) ＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②，可知a n ＝n (n ＋1)， b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)证明：1a 1＋b 1＝16＜512.n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立． 变式4：解：S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n3n ＋1(n ∈N *)．下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k3k ＋1，那么， 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立． 例5：证明：(1)当n ＝1时，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立． 即k 2＋k ＜k ＋1，∴k 2＋k ＜(k ＋1)2. 则当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2 ＝k 2＋k ＋2k ＋2＜(k ＋1)2＋2k ＋2＝k 2＋4k ＋3＜k 2＋4k ＋4＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. ∴(k ＋1)2＋k ＋1＜(k ＋1)＋1， 故当n ＝k ＋1时，原不等式成立． 由(1)(2)知，原不等式对n ∈N *成立． 即n 2＋n ＜n ＋1.。
2.3 数学归纳法(1)
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
例：已知数列{a n }为等差，公差为d,
求证:通项公式为a n = a1 +(n -1)d 证明：
1）当n = 1式，a1 = a1 +(1-1)d = a1 ,结论成立
2)假设n = k式结论成立，即a k = a1 +(k -1)d ∵ a k+1 = a k + d 那么 ∴ a k+1 = a1 +(k -1)d + d = a1 + kd = a1 +[(k +1)-1]d 所以n=k+1时结论也成立 综合1）、2）知a n = a1 +(n -1)d成立.
一、归纳法：对于某类事物，由它 的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归 纳法。
归纳法
｛ 不完全归纳法
一般
完全归纳法
特点: 由特殊
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2
(n∈N*)
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 验证n=n0时命 题成立 若当n=k(kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立
请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
第二章 2.3 数学归纳法
§2.3 数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点 数学归纳法 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示思考 数学归纳法的第一步n 0的初始值是否一定为1?答案 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值n 0＝3.1．与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × )2．在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．( × ) 3．用数学归纳法证明等式时，由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的项数不一定增加了一项．( √ ) 4．用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )一、用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ≥1，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ≥1，n ∈N *，等式均成立． 反思感悟 数学归纳法证明等式需要注意： (1)搞清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；(2)弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n ＝k ＋1时证明目标的表达式进行变形． 跟踪训练1 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝121×3，右边＝1×22×3，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可得，对于任意的n ∈N *等式都成立． 二、用数学归纳法证明不等式例2 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 反思感悟 用数学归纳法证明不等式需要注意(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．(2)在推证“n ＝k ＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，便于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 跟踪训练2 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n>2(n ＋1－1)(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，不等式显然成立， (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，1＋12＋ (1)>2(k ＋1－1)，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋1－1)＋1k＋1，∵2(k＋2－1)－2(k＋1－1)－1k＋1＝2k＋2－2k＋1－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2(k＋1)－1k＋1＝2(k＋1)(k＋2)－2k－3k＋1＝4k2＋12k＋8－4k2＋12k＋9k＋1<0，∴2(k＋1－1)＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴1＋12＋…＋1k＋1k＋1>2(k＋2－1)，∴当n＝k＋1时，不等式也成立，综上，对任意n∈N*，原不等式都成立．归纳—猜想—证明典例已知数列{a n}满足关系式a1＝a(a>0)，a n＝2a n－11＋a n－1(n≥2，n∈N*)，(1)用a表示a2，a3，a4；(2)猜想a n的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明．解(1)a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝2×2a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a 4＝2a 31＋a 3＝2×4a 1＋3a 1＋4a 1＋3a ＝8a1＋7a.(2)因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ，a 2＝21a1＋(21－1)a ，…，猜想a n ＝2n －1a1＋(2n －1－1)a .下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，因为a 1＝a ＝20a1＋(20－1)a ， 所以当n ＝1时猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝2k －1a 1＋(2k －1－1)a，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k1＋a k ＝2k a1＋(2k －1－1)a1＋2k －1a1＋(2k －1－1)a＝2k a1＋(2k －1－1)a ＋2k －1a ＝2k a1＋2×2k －1a －a ＝2(k ＋1)－1a1＋[2(k ＋1)－1－1]a，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据①与②可知，猜想对一切n ∈N *都成立． [素养提升] (1)“归纳—猜想—证明”的一般步骤(2)归纳—猜想—证明，就是先得出数学结论，再进行严格证明，让学生学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养．1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<4答案 B解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 所取的第一个正整数为2，故第一步应验证1＋12＋13<2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3 D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C. 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 答案 D解析 当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.4．用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________． 答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除， ∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任意n ∈N *，等式都成立． 上述证明，错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立的基础上证明n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．1．知识清单：数学归纳法的定义，证题步骤．2．方法归纳：归纳猜想证明，数学归纳法． 3．常见误区：(1)证题时搞错n ＝n 0时的情况． (2)归纳假设没有使用．1．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3D ．n ＝42．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立 C ．当n ＝4时命题不成立 D ．当n ＝4时命题成立 答案 B3．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时成立，则有n ＝k ＋1时命题也成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立．在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.4．用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n ，在验证n ＝2正确后，归纳假设应写成( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立 B ．假设n ≥k (k ∈N *)时命题成立 C ．假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立 D ．假设n ＝2(k ＋1)(k ∈N *)时命题成立 答案 C解析 因为题目要求n 为正偶数，所以应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立．5．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确解析 ∵n 为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：假设当n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出当n ＝2k ＋1时正确，故选B.6．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步应验证n ＝________.答案 3解析 由凸多边形的性质，应先验证三角形．7．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1左端需要增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．11．设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1答案 C 解析 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① 得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1). 故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1). 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出a n 的通项表达式为( )A.24n －3B.26n －5C.24n ＋3D.22n －1答案 B解析 结合题意，得a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5，故选B. 13．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2(n ∈N *)．假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3 解析 当n ＝k ＋1时，目标不等式为：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 14．数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1(n ∈N *)能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为______________________．答案 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2解析 当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2.15．设平面内有n 条直线(n ≥3，n ∈N *)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )－f (n －1)＝________(用含n 的数学表达式表示)．答案 5 n －1解析 最初的三条直线产生2个交点，即f (3)＝2.每增加1条直线，与前面的每条直线都产生1个交点，故f (4)＝f (3)＋3＝5，故新增加的第n 条直线与前面的(n －1)条直线产生(n －1)个交点，即f (n )－f (n －1)＝n －1.16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13. (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解 (1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26， 又a 1＝13，则a 2＝115， 类似地，求得a 3＝135. (2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，……， 猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1). 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由(1)可知猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1). 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，∵S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，∴a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1，∴k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，∴a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].∴当n＝k＋1时猜想也成立．由①②可知，猜想对任意n∈N*都成立．∴{a n}的通项公式为a n＝1(2n－1)(2n＋1).。
学案10：2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法问题导学一、用数学归纳法证明等式 活动与探究1(1)用数学归纳法证明对任何正整数n 有 13＋115＋135＋163＋…＋14n 2－1＝n 2n ＋1． (2)用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 迁移与应用1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．12n ＋1B ．12n ＋2C ．12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋22．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24(n ∈N *)． 名师点津应用数学归纳法的两个要点：(1)第一步验证是证明的基础，第二步递推是证明的关键，有一无二是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，递推就失去了基础，结论同样不可靠．即二者缺一不可． (2)在推证当n ＝k ＋1时命题也成立时，必须使用n ＝k 时的结论(即归纳假设)，否则就不是数学归纳法．二、用数学归纳法证明不等式 活动与探究2(1)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n ＞n (其中n ∈N *，n ＞1)． (2)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 迁移与应用1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，且n ＞1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＜2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n (n ≥2，n ∈N *)．名师点津运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，(1)中在第②步的证明过程中，运用了两种方法，方法1是利用了比较法，而方法2则是利用了放缩法．在实际证明中要结合不等式的具体情况灵活选用．三、用数学归纳法证明整除问题 活动与探究3用数学归纳法证明f (n )＝3×52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N *)能被17整除．迁移与应用1．用数学归纳法证明32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．2．证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *．名师点津用数学归纳法证明整除性问题时，证明n ＝k ＋1时成立是关键，将n ＝k ＋1时的被除式凑成一部分能利用归纳假设，另一部分能被除式整除的形式．证明整除性问题的关键是“凑项”，常采用的手段有增项、减项、拆项和因式分解等． 四、归纳、猜想、证明 活动与探究4在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ． (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．迁移与应用1．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，写出S 2，S 3，S 4，由此猜想S n ＝__________． 2．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式． 名师点津(1)由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．(2)在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法，例如活动与探究4中求a 2，a 3的过程与方法实际就是证明的第②步中采用的方法． 当堂检测1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A ．1 B ．1＋3 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( )A．1 B．1或2 C．1,2,3 D．1,2,3,43．已知1111133557(21)(21)nSn n=++++⨯⨯⨯-+，则S1＝__________，S2＝__________，S3＝__________，S4＝__________，猜想S n＝__________．4．用数学归纳法证明1111+2321nn+++<-(n∈N，且n＞1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是________．5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数(1)()2n nf n-=．参考答案问题导学活动与探究1思路分析：(1)根据数学归纳法证明步骤进行，注意由n＝k到n＝k＋1时的(2)要注意用数学归纳法证明n 的第一个取值不是1，而是2． 证明：(1)①当n ＝1时，左边＝13，右边＝12＋1＝13，∴等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＝k2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＋14(k ＋1)2－1 ＝k 2k ＋1＋14(k ＋1)2－1＝k 2k ＋1＋1(2k ＋3)(2k ＋1)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋3)(2k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)(2k ＋1)＝k ＋12(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知等式对任何正整数n 都成立．(2)①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 迁移与应用 1．【答案】D【解析】 f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2．2．证明：(1)当n ＝1时，左边＝13＝1，右边＝12×224＝1，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即13＋23＋33＋…＋k 3＝k 2(k ＋1)24， 则当n ＝k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝k 2(k ＋1)24＋(k ＋1)3＝(k ＋1)2·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)＋k 24＝ (k ＋1)2·k 2＋4k ＋44＝(k ＋1)2·(k ＋2)24，∴当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知原等式成立．活动与探究2 思路分析：(1)按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论． (2)先从特例入手探求正整数a 的最大值，再用归纳法证明． (1)证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1． (方法1)由于⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －k k ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1， 即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立．(2)解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624＞a24⇒a ＜26，且a ∈N *，所以取a ＝25．下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524． ①n ＝1时，已证结论正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛⎭⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8＞6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)，所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＞0，所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＞2524，即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524．故a 的最大值为25． 迁移与应用 1．【答案】B2．证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12．∵14＜12，∴不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k ． 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2＜1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1．∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．活动与探究3 思路分析：在应用归纳假设时通过添项，减项方法，凑出含有17的因数． 证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f (1)能被17整除．(2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即f (k )＝3×52k ＋1＋23k＋1能被17整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3×52k ＋3＋23k ＋4 ＝52×3×52k ＋1＋52×23k ＋1－52×23k ＋1＋23k ＋4 ＝25f (k )－17×23k ＋1，由假设知，f (k )能被17整除，且17×23k＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除． 迁移与应用1．证明：(1)当n ＝1时，34－8×1－9＝64，能被64整除， ∴当n ＝1时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，32k ＋2－8k －9能被64整除． 则当n ＝k ＋1时， 32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9·32k ＋2－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋72k ＋81－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋64k ＋64＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)． ∵32k ＋2－8k －9与64(k ＋1)都能被64整除， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，原命题都成立．2．证明：(1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋ (a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1．由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，对任意n ∈N *命题都成立．活动与探究4 思路分析：此题属探索性问题，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明． 解：(1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1．因为a n ＞0， 所以a 1＝1．S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， 得a 22＋2a 2－1＝0，又因为a n ＞0，所以a 2＝2－1． S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－2． (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 数学归纳法证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0．又因为a n ＞0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，对n ∈N *，a n ＝n －n －1． 迁移与应用 1．【答案】2n －12n －1【解析】由已知得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1，∴S 2＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1，∴S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1，∴S 4＝158．猜想S n ＝2n －12n －1．2．解：当n ＝1时，由(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得a 1＝1． 当n ＝2时，将a 2＝6代入(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·(a n －1)，得a 3＝15． 同理可得a 4＝28．将a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28分别代入b n ＝a n ＋n ， 得b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32， 由此猜想b n ＝2n 2．要证b n ＝2n 2，可证a n ＝b n －n ＝2n 2－n ． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，前面已求得a 1＝1， 所以猜想正确．(2)假设当n ＝k 时，a k ＝2k 2－k (k ∈N *)成立， 由已知(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝k ＋1k －1(a k －1)＝k ＋1k －1(2k 2－k －1)＝k ＋1k －1(2k ＋1)(k －1)＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时，a n ＝2n 2－n 成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 2－n 都成立． 所以{b n }的通项公式为b n ＝2n 2． 当堂检测 1．【答案】C 2．【答案】C【解析】逐个代入验证． 3．【答案】13 25 37 49 21nn + 【解析】分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝21nn +． 4．【答案】2k【解析】当n ＝k 时左端为1111+2321k+++-， 当n ＝k ＋1时左端为11111111+232122121k k k k ++++++++-+-，故增加的项数为2k项．5．证明：(1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个． 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ＞2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n∈N*(n≥2)命题都成立．。
数学归纳法教案
选修2-2 §2.3数学归纳法 (第一课时)教案时间：2014年4月班级：高二3班授课教师：文瑾一、教材分析1、教学内容数学归纳法是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第二章推理与证明第3节的内容，主要内容是了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、地位和作用数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M．那么M是全体正整数的集合，即M=N*）也叫做归纳公理。
不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质。
数学归纳法是高中数学中的一个较难理解的概念，也是一种重要的数学方法。
证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前n项和等）。
数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．3、教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，对于数学归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
4、教学难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设。
如果不会运用“假设当n=k,（k ≥n0，k∈N*）时，命题成立”这一条件，直接将n=k+1代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。
二、学情分析1、学生知识准备在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”。
这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。
2、能力储备学生具备一些的从特殊到一般的归纳能力，但对复杂的逻辑推理是模糊的。
数学归纳法一 课件苏教版选修.ppt
5+3+1=2n2-2n+1(n∈N*).
【解题指南】1.观察首项与末项及其联系可解. 2.观察f(n)与f(n+1)的关系可求. 3.正确应用数学归纳法，其中两步缺一不可，并注意项数的变 化. 【解析】1.因为当n=1时，an+1=a2,所以此时式子左边 =1+a+a2. 答案：1+a+a2
2. f n 1 f n
1
,
1 2
1 23 k
则n=k+1时，
左边 1 1 1 L
1 2 1 23
1
1 23L
k
1
2
3
L
1
k
k
1
.
由n=k到n=k+1左边增添的项是
1
2
3
L
1
k
k
1
k
2
1k
2
.
答案：
k
2
1 (k
2)
3.某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N*)时，该命题成立， 那么可推得n=k+1时该命题也成立.现在已知当n=5时，该命题 不成立，那么可推得_____(填序号). (1)当n=6时该命题不成立 (2)当n=6时该命题成立 (3)当n=4时该命题不成立 (4)当n=4时该命题成立 【解析】原命题正确，则逆否命题正确.故应填(3). 答案：(3)
【规律总结】
1.在由假设n=k成立，证明n=k+1成立时，左式进行了什么运
算，右式同样也进行此运算，例如左式增加了一项 k 11则2 ,
右式也增加同一项，根据不等式的性质，不等号方向不变.
2.右式(当n=k+1时，不等式右端的式子)推理前应先明确“证
2.3 数学归纳法(1)
2.3 数学归纳法(1)对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1na n =这个猜想吗? 反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.※ 典型例题例1 用数学归纳法证明变式：用数学归纳法证明小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n nS na d -=+. 变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n aa q -=,前n 项和的公式是1(1)1n na q S q -=-.(1q ≠) 小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题. ※ 动手试试练1. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,练2. 用数学归纳法证明:当n 为整数时,【学习反思】※ 学习小结1. 数学归纳法的步骤2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.※ 知识拓展意大利数学家皮亚诺总结了正整数的有关性质,并提出了关于正整数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理. 【基础达标】※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 A.1 B.21a a ++ C.1a + D.231a a a +++2. 用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为 A. 12+k B.)12(2+k C. 112++k k D. 132++k k 3. 设*111()()122f n n N n n n =+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. 121+n B.221+n C. 221121+++n n D. 221121+-+n n 4. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a 5. 数列}{n x 满足1221,3x x ==，且11112n n n x x x -++=（2≥n ），则=n x .【拓展提升】1. 用数学归纳法证明:2. 用数学归纳法证明:。
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2.3 数学归纳法（1）
教学目标：
1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．
2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法． 教学重点：
掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．
教学难点：
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
教学过程：
一、预习
1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．
思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：
（1）__________________________________________________；
（2）__________________________________________________． 思考 你认为条件（2）的作用是什么？
思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？
2．我们知道对于数列{a n }，已知a 1＝1，且11n n n
a a a ＋＝＋（n ＝1，2，3…）通过对n ＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为
1n a n
＝，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明． 要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5
开始一个个往下验证，
当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立． 思考？你认为证明数学的通项公式是1n a n
＝，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
证明：（1）
．
（2）假设 ，
那么1111111k k k a k
a a k k ＝＝＝＋＋＋， 即n ＝k ＋1 时猜想也成立．
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n ，猜想都成立．
这样，对于猜想，由已知n ＝1成立，就有n ＝2成立；n ＝2成立，就有n ＝3也成立；n ＝3成立，就有n ＝4也成立……
所以，对任意的正整数n ，猜想都成立，即数列的通项公式是1n a n
＝．
3．小结．
数学归纳法的定义：
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立．
（2）（归纳递推）假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
用框图表示为：
注 这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．
二、课堂训练
例1 证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ．
例2用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．
例3用数学归纳法证明12＋22＋32＋…＋n 2＝(1)(21)6
n n n ＋＋（n ∈N *）．
练习：
用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n (2n －1)＝(－1)n n ．
三、巩固练习
1．用数学归纳法证明：“()2
211111n n a a a a a n a +N ＋＋－＋＋＋＋＝≠∈－ ，”
在验证n ＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．
2．已知：1
1
1
()1231f n n n n ⋅⋅⋅＝＋＋＋＋＋＋，则(1)f k ＋等
于 ．
3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝
1
(1)(2)3n n n ＋＋．
4．用数学归纳法证明：
2222121(1)
1234(1)(1)2n n n n n －－＋－＋－＋＋－＝－ ．
四、小结
重点：两个步骤、一个结论；
注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
五、作业
课本P94第1，2，3题．。