知识归纳：二次函数和反比例函数五点通

二次函数和反比例函数五点通
二次函数和反比例函数是初中数学的重点、难点，也是中考的热点.学好二次函数和反比例函数，需要把握好如下五点.
一、了解二次函数的概念
一般地，形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数. 说明: (1)a≠0是二次函数定义的组成部分，不能忽视.但b ，c 可以是任意实数，特别地，当b=c=0时，就是y=ax 2.
(2)任何一个二次函数都可化为y=ax 2+bx+c 的形式，我们称之为一般式，其特征是:等号右边是关于自变量x 的二次多项式.
二、理解二次函数的图象和性质
1.二次函数的图象:二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，它的开口方向和大小是由a 决定的，而位置则是由a ，b ，c 共同决定的.
(1) a>0，抛物线开口向上; a<0， 抛物线开口向下.
(2)越大，开口越小; 越小，开口越大.
(3) c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标.c=0， 抛物线经过原点; c>0， 抛物线与y 轴正半轴相交; c<0， 抛物线与y 轴负半轴相交.
2.二次函数的性质:
(1) 顶点:二次函数图象的顶点坐标为(a
b a
c a b 44,22
--).当a>0时，顶点为最低点，此时函数有最小值，即当x=a
b 2-时，最小值为a b a
c 442-; a<0时，顶点为最高点，此时函数有最大值，即当x=a
b 2-时，最大值为a b a
c 442-. (2)对称性:二次函数的图象是轴对称图形，对称轴x=a
b 2-是过顶点且与y 轴平行的直线(b=0时， 对称轴为y 轴).当a ，b 同号时，对称轴在y 轴左侧;当a ，b 异号时，对称轴在y 轴右侧.
(3)增减性:①当a>0时，在对称轴的左侧，即x<a b 2-
时， y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，即x>a
b 2-时， y 随x 的增大而增大;②当a<0时，在对
称轴的左侧，即x<a b 2-时， y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，即x>a b 2-时， y 随x 的增大而减小.
三、掌握二次函数顶点坐标的求法
1.公式法: 先确定出a ，b ，c 的值，再分别将其代入公式a
b 2-和a b a
c 442-中，计算后即可得到顶点的横、纵坐标.
2.配方法:将二次函数关系式经过配方，化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，即可求得顶点坐标为(h ，k).
说明:上述两种方法都是确定顶点坐标的常用方法，应根据系数a ，b ，c 的特征灵活选用.
四、掌握二次函数关系式的求法
求二次函数关系式的基本方法是待定系数法，根据已知条件的不同，常用如下两种形式:
(1)一般式:y=ax 2+bx+c;(2)顶点式: y=a(x-h)2+k 来求函数关系式.
说明: (1)求二次函数关系式的实质是确定三个系数的值，因此需要三个独立的已知条件. (2)当已知抛物线上任意三点的坐标(或函数的三对对应值)时，可选用一般式;当当已知抛物线的顶点坐标时，常用顶点式.
五、反比例函数知识要点
1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式
2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=x
k （k 为常数，k 不等于0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.从y=
x k 中可知，x 作为分母，所以不能为零
3、画反比例函数图像时要注意以下几点
a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点
b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线
c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线
4、反比例函数的性质
反比例函数
()0≠=k x k y k 的取值范围 0>k 0<k
图像
性质 ①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y
②函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增
大而减小 ①x 的取值范围是0≠x ，
y 的取值范围是0≠y ②函数图像的两个分支
分别在第二、四象限，在
每一个象限内y 随x 的增大而增大 注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；
2）双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；
3）在利用图像性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。

5、反比例函数系数k 的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，所得矩形的面积为PN PM S ⋅=N M N M ⋅=⋅=
∵x
k y = ∴y x k ⋅= ∴N M S ⋅=， 即过双曲线上任一点作x 轴，y 轴的垂线，所得矩形的面积为k
注意：①若已知矩形的面积为k ，应根据双曲线的位置确定k 值的符号。

②在一个反比例函数图像上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2。