2011年宜宾市初高中数学衔接知识复习12

2011年宜宾市初高中数学衔接知识复习
三角形面积公式及三角函数
一.知识要点
1. 钝角、直角的三角函数值
2. 三角形面积公式C ab S sin 2
1=
3. 正弦定理R C
c B b A a 2sin sin sin === 4. 余弦定理A bc c b a cos 2222-+=
二.典型例题
[例1] 计算：︒
-︒+︒︒-︒+︒-150cot 120cos 135sin 150cos 135tan 120sin 2 解：原式︒
+︒-︒︒+︒-︒-=30cot 60cos 45sin 30cos 45tan 60sin 2 32
1)22(231232+-+--=
3
解：由ab c b a -=-+222可知2
122cos 222-=-=-+=
ab ab ab c b a C ∴ ︒=120C
[例5] ABC ∆三边a 、b 、c 与面积S 满足22)(b a c S --=，求C ∠的余弦值。

解：依题意，
C ab ab ab b a c C ab cos 222sin 2
1222-=+--= ∴ )cos 1(4sin C C -= 代入1cos sin 22=+C C ，得：1cos )cos 1(1622=+-C C ∴ 015cos 32cos 172=+-C C ∴ 1cos =C 或1715
又 ∵ ︒<<1800C ∴ 1cos ≠C ∴ 1715
cos =C
[例6]如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，
得 ABC S △=1
2bc·sin ∠A ． ①
即 三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图（2），在⊿ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠DCB=β．
∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△， 由公式①，得
1
2AC·BC·sin(α+β)= 12AC·CD·sin α+1
2BC·CD·sin β，
即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sin α+BC·CD·sin β． ②
你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、CD 吗？不能，
说明理由；能，写出解决过程．
（第6题图）
三.练习
1. 已知R 为ABC ∆外接圆半径，求证：面积R abc
S 4=
2. ABC ∆中面积)(41
222c b a S -+=，求C ∠大小。

3. ABC ∆中C B A 222sin 5sin sin =+，求C cos 的最小值。