【K12教育学习资料】[学习]2018-2019学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5.3

3.5.3 对数函数的图像和性质

[A 基础达标]

1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2，7] C ．[7，＋∞)

D ．(2，＋∞)

解析：选B.因为lg(2x －4)≤1，所以0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，所以x 的取值范围是(2，7]，故选B.

2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2

，c ＝lg e ，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b

D ．c ＞b ＞a

解析：选B.因为0＜lg e ＜1，所以(lg e)2

＜lg e ，故a ＞b .因为lg e ＝12lg e ＝lg

10·lg e ＞lg e ·lg e ＝(lg e)2

，所以c ＞b ，故a ＞c ＞b .

3．已知函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0，10]，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．10

C ．1 D.1

10

解析：选C.由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0，10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ，又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.

4．若函数f (x )＝a x

＋log a (x ＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )

A.14

B.12 C ．2

D ．4

解析：选B.当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，a ＝1

2，与a ＞1矛盾；当0＜a

＜1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，a ＝1

2

.

5．已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b )的图像不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选D.因为a ＞1，所以函数y ＝log a (x －b )(b ＜－1)的图像就是把函数y ＝log a x 的图像向左平移|b |个单位长度，如图．由图可知函数y ＝log a (x －b )不经过第四象限，所以

选D.

6．已知在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝x 3

＋lg x ，则其解析式为f (x )＝________．

解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3

＋lg(－x )＝－x 3

＋lg(－x )，又因为f (x )为奇函数，所以当x ＜0时，f (x )＝x 3

－lg(－x )．因为在R 上f (x )为奇函数，所以可得f (0)

＝0，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧x 3

＋lg x ，x ＞0，0，x ＝0，x 3－lg （－x ），x ＜0.

答案：⎩⎪⎨⎪

⎧x 3

＋lg x ，x ＞0，0，x ＝0，x 3－lg （－x ），x ＜0

7．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，若f (1)＜f (lg x )，则x 的取值范围是________．

解析：因为f (x )是R 上的偶函数且在[0，＋∞)上是递增的， 所以f (x )在(－∞，0]上是递减的，

又因为f (1)＜f (lg x )，所以|lg x |＞1，即lg x ＞1或lg x ＜－1，可得x ＞10或0＜

x ＜110

，所以x ∈⎝

⎛⎭

⎪⎫

0，110

∪(10，＋∞)．

答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 8．已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2

(x )＋f (x 2

)的最大值为________，最小值为________．

解析：由题意可得：⎩

⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，

1≤x 2

≤9.可得x ∈[1，3]，故g (x )的定义域为[1，3]． g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6，

令t ＝log 3x ，t ∈[0，1]，得g (t )＝t 2

＋6t ＋6，故当t ＝0时，g (t )取最小值g (0)＝6，当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝13.

答案：13 6

9．判断函数f (x )＝lg(x 2

＋1－x )的奇偶性． 解：法一：由x 2

＋1－x >0，得x ∈R ， 故f (x )的定义域为R ，关于原点对称．

因为f (－x )＝lg(x 2

＋1＋x )，

f (x )＝lg(x 2＋1－x )，

所以f (－x )＋f (x )

＝lg(x 2

＋1＋x )＋lg(x 2

＋1－x ) ＝lg[(x 2

＋1＋x )(x 2

＋1－x )] ＝lg[(x 2

＋1)－x 2

]＝lg 1＝0.

所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )是奇函数． 法二：由x 2

＋1－x >0，得x ∈R . 故f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝lg(x 2

＋1＋x )

＝lg （x 2

＋1＋x ）（x 2

＋1－x ）x 2＋1－x ＝lg 1x 2＋1－x

＝lg(x 2

＋1－x )－1

＝－lg(x 2

＋1－x ) ＝－f (x )，

所以f (x )是奇函数．

10．已知f (x )＝log a (a －a x

)(a ＞1)． (1)求f (x )的定义域、值域； (2)判断f (x )的单调性并证明．

解：(1)要使函数有意义，须满足a －a x

＞0，即a x

＜a . 因为a ＞1，所以x ＜1，从而定义域为(－∞，1)． 又因为a x

＞0，且当x ＜1时，a x

＜a ，所以0＜a x

＜a ， 所以0＜a －a x

＜a ，

所以log a (a －a x )＜log a a ＝1， 所以函数的值域为(－∞，1)． (2)设x 1＜x 2＜1，

因为a ＞1，所以ax 1＜ax 2＜a ，－ax 1＞－ax 2＞－a . 所以a －ax 1＞a －ax 2＞0，所以0＜

a －ax 2

a －ax 1

＜1. 所以f (x 2)－f (x 1)＝log a (a －ax 2)－log a (a －ax 1) ＝log a

a －ax 2

a －ax 1

＜log a 1＝0. 所以f (x 2)＜f (x 1)．

所以函数f (x )＝log a (a －a x

)在(－∞，1)上是减函数．

[B 能力提升]