数列专题：数列的求和讲义-2023-2024学年高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

数列专题：数列的求和

一、分组求和法

（1）通项公式为n n n c b a ±=的数列，其中{}

{}n n c b 、为容易求和的数列； （2）通项公式为=n a {

为奇数，n b n 为偶数

，n c n 的数列，其中{}

{}n n c b 、为容易求和的数列。 例一：已知数列{}n a 的通项1

2-+=n n n a ，其前n 项和为n S ，则=10S _________。

例二：已知{}n a 是等差数列，.50181==a a ， （1）求{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}

n a 222

-的前n 项和为n S .

例三：已知数列{}n a 中，().2341

11++∈-=

=

N n a a a a n

n n ， （1）求证：⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧-11n a 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足=n b {

为奇数

，n n ()

为偶数，n a n n n n 213+，其前n 项和为n T ，求n T 2

二、裂项相消法 常用的裂项公式有： （1）

()⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=+11111n n k k n n ；

（2）

n n n

n -+=++111

；

（3）若数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，则

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=++111111n n n n a a d a a 例四：正项等差数列{}n a 满足82247421-+=a a a a ，

，，且成等比数列，{}n a 的前n 项和为n S 。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21+=n n S b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使2021

1009

<n T 的最大的n 的值。

例五：已知等差数列{}n a 的前n 项和为.910342==+S a a S n ，， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

+12n n a a 的前n 项和为n T ，求.1011T

例六：已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；

三、错位相减法

如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n b a 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解。 例七：在数列{}n a 中，.22,111+=-=+n a a a n n （1）证明：数列{}11--+n n a a 为常数列； （2）若14

-=n n

n a b ，求数列{}n b 的前n 项和为n T 。

例八：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且().312+∈=+N n a S n n （1）求n S ；

（2）求数列{}n na 的前n 项和为n T 。

例九：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()().1+∈+=N n n n S n （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1

313131333221++++++++=n

n bn

b b b a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()+∈=N n b a

c n

n n 4

，求数列{}n c 的前n 项和为n T 。

四、倒序相加法

若一个数列前n 项和中与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可采用正序与倒序相加。

例十：()x f 对任意R x ∈都有()()2

1

1=

-+x f x f ，数列{}n a 满足： ()()11210f n n f n f n f f a n +⎪⎭

⎫

⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ，则=n a ________.