人教版选修4-4综合检测卷(三)及答案

选修4-4综合检测卷(三)
(满分150分, 考试时间120分钟)
一、选择题
(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M 的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(0，－1)
2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，Q (2，π)，则有( )
A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上
B ．P ，Q 都不在曲线
C 上
C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上
D ．P ，Q 都在曲线C 上
3．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3x ′y ＝12
y ′
B.⎩
⎨⎧
x ′＝3xy ′＝1
2y C.⎩⎨⎧
x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎨⎧
x ′＝3x y ′＝2y
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4
D ．(x ＋2)2＋y 2＝4
5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A
1(4,0,5)，C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
6，π2，5，则此长方体的体积为( ) A ．100 B ．120 C ．160 D ．240
6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A ．π
B ．4π
C ．8π
D ．9π
7．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3 D ．215
8．极坐标方程θ＝π3，θ＝2
3π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A.163π
B.83π
C.43π
D.2
3π 9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π3关于( )
A ．θ＝π
3轴对称
B ．θ＝
5π
6
轴对称 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，π3中心对称 D ．极点中心对称
10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，π2的最近距离等于( )
A.2－1
B.5－1 C ．1
D. 2
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 12．点A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
332，92，3，则它的球坐标为________．
13．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为
________．
14．已知直线l 的方程为y ＝x ＋1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径 ρ＝________.
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x 3，y ′＝y 2
后的图形．
(1)x 2
－y 2
＝1； (2)x 29＋y 2
8
＝1.
16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，5π4，且△ABC 为等腰直角
三角形，如何求直角顶点C 的极坐标．
17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos θ－π
6
上的动点，试求|PQ |的最大值．
19．(本小题满分12分)已知线段BB ′＝4，直线l 垂直平分BB ′，交BB ′于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P 、P ′，使OP ·OP ′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP 与直线B ′P ′的交点M 的轨迹方程．
20．(本小题满分12分)已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
选修4-4综合检测卷(三)
答题卡 成绩：
一、选择题（本题满分60分）
二、填空题（本题满分20分）
13 . 14. 15.
16.
三、解答题（本题满分70分）
班级 姓名 座号
密 封 装 订 线
选修4-4综合检测卷(三)参考答案
一、选择题
(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M 的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(0，－1)
解析：选B x ＝1×cos π＝－1，y ＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．
2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，Q (2，π)，则有( )
A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上
B ．P ，Q 都不在曲线
C 上
C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上
D ．P ，Q 都在曲线C 上
解析：选C 当θ＝π
2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P 不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝
2cos 2π＝2，故点Q 在曲线上．
3．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3x ′y ＝12
y ′
B.⎩
⎨⎧
x ′＝3xy ′＝1
2y C.⎩⎨⎧
x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎨⎧
x ′＝3x y ′＝2y
解析：选B 将⎩⎨⎧
x ′＝λx ，
y ′＝μy 代入y ＝sin x ，得μy ＝sin λx ，
即y ＝1μsin λx ，与y ＝2sin 3x 比较，得μ＝1
2
，λ＝3，
即变换公式为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝3x ，y ′＝1
2y .
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4
D ．(x ＋2)2＋y 2＝4
解析：选B 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，故化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝4y ，即(y －2)2＋x 2＝4.
5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
6，π2，5，则此长方体的体积为( ) A ．100 B ．120 C ．160
D ．240
解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫
6，π2，5，可知|OA |＝4，|OC |
＝6，|OO 1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.
6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A ．π
B ．4π
C ．8π
D ．9π
解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.
故P 点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
7．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3
D ．215
解析：选C 圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.
8．极坐标方程θ＝π3，θ＝2
3π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A.16
3π B.83π C.43
π D.23
π 解析：选B 三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3
. ∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π
3
.
9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π3关于( ) A ．θ＝π
3轴对称
B ．θ＝
5π
6
轴对称 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，π3中心对称 D ．极点中心对称
解析：选B ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3可化为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π6，可知此曲线是以⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，5π6为圆心的
圆，故圆关于θ＝
5π
6
对称． 10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，π2的最近距离等于( )
A.2－1
B.5－1 C ．1
D. 2
解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝
|2－1|22＋0＝12
，设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22
，解得l ＝ 3.
答案： 3
12．点A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，3，则它的球坐标为________． 解析：r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫922＋32＝6.cos φ＝36＝12， ∴φ＝π3.tan θ＝9
2332
＝3，∴θ＝π3. ∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，π3，π3 13．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．
解析：由直线l 的方程可知直线l 过点(1,0)且与极轴垂直，设
A ′是点A 关于l 的对称点，则四边形OBA ′A 是正方形，∠BOA ′＝π4，且OA ′＝22，
故A ′的极坐标可以是⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，π4. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，π4 14．已知直线l 的方程为y ＝x ＋1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径 ρ＝________.
解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.
答案： 5
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y 2
后的图形． (1)x 2－y 2＝1；(2)x 29＋y 28
＝1. 解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，y ′＝y 2得⎩⎨⎧ x ＝3x ′，y ＝2y ′. ①
(1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1，
因此，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x 3，
y ′＝y 2后，
双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图(1)所示．
(2)将①代入x 29＋y 28＝1得x ′2＋y ′22
＝1，因此，经过伸缩变换错误!
后，椭圆x 29＋y 28＝1变成椭圆x ′2＋y ′22
＝1，如图(2)所示． 16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标．
解：对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为(2，2)，点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2)， 设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |，
∴AC ―→·BC ―→＝0，
即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0，
∴x 2＋y 2＝4.①
又|AC ―→|2＝|BC ―→|2，
于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，
∴y ＝－x ，代入①，得x 2＝2，
解得x ＝±2.
∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧
x ＝－2，y ＝2， ∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)，
∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4
， ∴点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，7π4. 17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，
即(x －1)2＋y 2＝1，
直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42
＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ
＝12cos θ－π6
上的动点，试求|PQ |的最大值． 解：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.
又∵ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，
∴(x －33)2＋(y －3)2＝36.
∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.
19．(本小题满分12分)已知线段BB ′＝4，直线l 垂直平分BB ′，交BB ′于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P 、P ′，使OP ·OP ′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP 与直线B ′P ′的交点M 的轨迹方程．
解：以O 为原点，BB ′为y 轴，l 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则B (0,2)，B ′(0，
－2)，设P (a,0)(a ≠0)，则由OP ·OP ′＝9，得P ′(9a ，0)，直线BP 的方程为x a ＋y 2
＝1，直线B ′P ′的方程为x 9a
＋y －2
＝1，即l BP ：2x ＋ay －2a ＝0，l B ′P ′：2ax －9y －18＝0. 设M (x ，y )，则由⎩⎨⎧ 2x ＋ay －2a ＝0，2ax －9y －18＝0，
解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝18a a 2＋9，
y ＝2a 2－18a 2＋9(a 为参数)．消去a ，可得4x 2＋9y 2＝36(x ≠0)，
所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B ，B ′)．
20．(本小题满分12分)已知曲线C 1的方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C 1的方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解：(1)将⎩⎨⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由⎩⎨⎧
x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π2.。