2019届全国高考仿真试卷(五)数学(文)

2019届全国高考仿真试卷（五）
数学（文）
本试题卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，所以，所以. 故选B
2. ，( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 12
【答案】B
【解析】易知，，所以，故选
3. 已知命题：命题“”的否定是“”；命题：在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】命题“”的否定应是“”，故p 为假命题，
对于命题：,同时
，故为真命题
由复合命题真假性的判断方法可知，为真命题，
故选A.
4. 若sinθcosθ＞0，则θ在（）
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第一、四象限
D. 第二、四象限
【答案】B
【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.
当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B. 5. 若实数满足恒成立，则函数的单减区间为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
要使得恒成立，必须满足
而
所以1，作出的图像如下，由函数的定义域及复合函数的单调性，易知函数的单减区间为，故选D
6. 已知函数在是增函数，则的最大值是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】由题意，易知在
单调递增，在单调递减，要使函数在
是增函数
必有，即，解之得, 则的最大值是3
故选D
7. 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点
的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题应用复数法解决，记，，由题意，，由于向量
为向量按逆时针旋转得到，所以
所以的坐标是，故选B
8. 函数的图像可以由函数的图像经过（）
A. 向左平移个单位长度得到
B. 向左平移个单位长度得到
C. 向右平移个单位长度得到
D. 向右平移个单位长度得到
【答案】B
【解析】因为，且==，
所以由=，知，即只需函数的图像向左平移个单位即可得函数的图像，故选B
9. 设函数的最大值为,最小值为,则（） .
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】函数,
记，易知为R上的奇函数，由奇函数图像关于原点对称可知，
而1，，所以1
故选B
10. 在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线，于不同两点，若，，均为正数，则的最小值为（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意作出图形如下：
易知
由于M、O、N三点共线，可知，
所以，故选C
点睛：注意若、、三点共线，且，则，这一结论的应用.
11. 若在单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由在单调递增，易知
在，即，
经整理有，令，则，
即有在恒成立，作出的图像如下：
由上图可知，只需，即，解之得.故选D
点睛：将问题转化为不等式恒成立问题是解决本题的关键.
12. 是定义在R上的奇函数，当时，则函数
在上的所有零点之和为（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】B
【解析】试题分析：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．又∵函数g （x）=xf（x）-1，∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g （x）在（6，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，f（x）=2|x-1|-1，即，∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1，又∵当x＞2时，f （x）=f(x-2)，∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[]，函数f（x）在（4，6]上的值域为[]，函数f（x）在（6，8]上的值域为[]，当且仅当x=8时，f（x）=，函数f（x）在（8，10]上的值域为[]，当且仅当x=10时，f（x）=，故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点，同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零
点，依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点，综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8，故选B
考点：本题考查了函数的零点及性质
点评：此类问题综合了函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理
二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.
13. 已知则______。

【答案】
【解析】
14. 14、在中，，则______
【答案】
【解析】在中，由，可知，且B为锐角，而，又有
，故A也为锐角，所以cos
而
15. 定义域为的可导函数的导函数，满足且
的解集为___________________。

【答案】
【解析】由，可变形为,令,
则,因为，所以,
单调递增，且，故则所以不等式等价于
由的单调性可知，的解集为.
点睛：对原不等式进行适当变形后构造函数，通过研究函数的单调性解出不等式的解集. 16. 已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的
一个动点,则的取值范围是______________________．
【答案】
【解析】设正四面体的边长为，O为球心，由下图可得在可知，
，因为内切球半径为1，即，解得，所以
而又
由题意M，N是直径的两端点，可得,,
由此可知，要求出的取值范围，只需求出，的范围即可．
当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；
当P位于A处时，OP取得最大值3．
综上可得的最小值为11=0，最大值为91=8．
则的取值范围是[0，8]．
再由，知取值范围是
故答案为：．
点睛：将转化为，是解决本题的关键.
三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，
每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知函数,
（I）求函数的最小值和最小正周期；
（II）设的内角的对边分别为，且，，若向量
与向量共线，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】本试题主要考查了三角函数与解三角形的综合运用。

第一问中，利用化为单一三角函数，得到函数的最值和最小正周期。

第二问中，因为，得到，然后利用与
共线共线得到结论。

解：（I）∵-------2分
∴函数的最小值为-2，当且仅当时取得，最小正周期为．
（II）由题意可知，，
∵∴∴． ----------6分
∵与共线∴① ----8分
∵② ---10分
由①②解得，a=1,b=2．
18. 为迎接党的“十九”大的召开，某校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”党史知识竞赛，从参加考试的学生中抽出50名学生，将其成绩（满分100分，成绩均为整数）分成六段，
，…，后绘制频率分布直方图（如下图所示）
（Ⅰ）求频率分布图中的值；
（Ⅱ）估计参加考试的学生得分不低于80的概率；
（Ⅲ）从这50名学生中，随机抽取得分在的学生2人，求此2人得分都在的概率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：（1）由频率和为1，列方程可求出；（2）用样本得分不低于80的频率估计参加考试的学生得分不低于80的概率，（3）通过列举出所有可能结果，应用古典概型概率计算方法求出概率.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名学生得分不低于80的频率为
，
所以参加考试的学生得分不低于80的概率的估计值为.
（Ⅲ）所抽出的50名学生得分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为; 得分在[40,50)的有：50×0.004×40＝2（人），即为.
从这5名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为.
19. 如下图，在底面是菱形的四棱柱中，，，
，点在上．
（1）求证：平面；
（2）当为何值时，平面，并求出此时直线与平面之间的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）当时，平面，.
..................
试题解析：（1）证明：因为底面为菱形，，所以，在中，由知，
同理，
又因为，所以平面．
（2）解：当时，平面．证明如下：
连结交于，当时，即点为的中点时，连结，则，
所以平面，
所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离．
因为点为的中点，可转化为到平面的距离，，
设的中点为，连结，则，
所以平面，且，可求得，
所以，
又，，，，
所以（表示点到平面的距离），，
所以直线与平面之间的距离为．
考点：1.线面垂直的判定；2.线面平行的判定；3.等体积法.
20. 已知是椭圆的左右焦点，O为原点，在椭圆上，线段与轴的交点满足。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求。

【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由知,N为中点，而又为中点，所以
为的中位线，又由于，所以，由P坐标可知，可知c，在直角三角形中，由勾股定理得出，而，由此可求出，从而求出椭圆的标准方程.
（2）设出直线方程与椭圆联立，设出，应用韦达定理将
转化为的关系.
（2）设
设：，与联立得
同理
点睛:平面几何知识的运用大大简化了本题的运算，故求解解析几何题时需充分挖掘题目的几何关系.
21. 已知函数.
(Ⅰ) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当时,
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】试题分析：（I）求导，利用导数的符号变换研究函数的单调性和极值，再通过极值的符号进行求解；（II）将不等式恒成立问题转化为分别求两端函数的最值问题，再利用导数进行求解.
试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为.
由, 得.
因为,则时, ;时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 当时,
. 当, 即时, 又, 则函数有零点.
所以实数的取值范围为.
(Ⅱ) 要证明当时, ,
即证明当时, , 即
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, . 于是,当时, ① 令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
当时, . 于是, 当时, ②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时, .
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位，已知曲线的参数方程为，（为参数，且），曲线的极坐标方程为
(1)求的极坐标方程与的直角坐标方程；
(2))若P是上任意一点，过点P的直线交于点M,N，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）先将曲线的参数方程转化为一般方程，再化为极坐标方程；（2）先由题意求出直线参数方程，再联立直线与圆的方程，，运用韦达定理可求出的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）消参得,因，所以，所以
是在轴上方部分，所以极坐标方程，曲线直角坐标方程为
（Ⅱ）设，则，直线倾斜角为,则参数方程: (为参数). 代入，直角坐标方程得
=，，
点睛：直线参数方程的应用可以简化计算.
23. [选修4—5：不等式选讲]已知
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）将代入，再运用零点分段法化简不等式，解出即可.（2）应用零点分段法将函数转化为分段函数，画出函数图像，得出f(x)的图像与x轴围成的三角形面积函数，通过解不等式即可得出a的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）当时，f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，
等价于或或，解得
（Ⅱ）由题设得，
所以图像与轴围成三角形三顶点，，，
.由题设得，.。