等差数列的求和公式

等差数列的求和公式
等差数列是指数列中的相邻两项之差都是一个常数的数列。

在数学中，求等差数列的和是一项基本的运算。

设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，总项数为$n$，则等差数列的求和公式为：
$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$
其中，$S_n$表示等差数列的前$n$项和，$a_n$表示等差数列的第$n$项。

该公式的推导过程如下：
首先，我们知道等差数列的一般项公式为：
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
利用等差数列的性质，我们可以将等差数列分为两组相等的项，首项和末项之间的差为$d$。

根据这个性质，我们可以将等差数列
的前$n$项和表示为两组项之和：
$$S_n = (a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \cdots + (a_1 + (n-1)d))$$
利用求和符号$\sum$来简化表示，上式可以写成：
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} (a_1 + (i-1)d)$$
展开求和符号，我们可以得到：
$$S_n = (a_1 + 0d) + (a_1 + 1d) + (a_1 + 2d) + \cdots + (a_1 + (n-1)d)$$
再观察等差数列的首项和末项，我们可以发现它们是等差数列
中相等的一对。

所以，我们可以将等差数列的求和式改写为：
$$S_n = \left[\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\right]$$
经过简化，我们最终得到了等差数列的求和公式：
$$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$
该公式可以方便地计算等差数列的前$n$项和，无论$n$的值如何。

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