四章线系统的根轨迹法

pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
0
i 1
j 1
n
(s pi ) 0
i 1
s pi
又从
1 K*
n
(s
i 1
m
pi ) (s
j 1
z
j)
0
K*
m
(s z j ) 0
j 1
s zj
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终 止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m)
j 1
3 2.3 1 0
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
n
(s
pl
)
i 1
j 1
l 1
sn
n
(
pi
)s n1
(1) n
n
pi
K
*[s m
(
z
j
)s m1
(1) m
n
z
j
]
i 1
i 1
l 1
sn
(
pl
)s
n1
(1) n
n
pl
l 1
nm 2
n
n
pi pl
i 1
l 1
(1)
n
n
pi
K * (1) m
s(s 4)(s 2 2s 2)
（1） p1 0, p2 4 , p3 1 j
p4 1 j, z1 1
（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴
（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线
与实轴夹角
a
(2k 1)180o nm
(2k 1)180o 4 1
60o , 60o , 180o
可变参数为根轨迹增益 K *
相角条件： 180o相轨迹
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
(2k 1)180o , (k 0,1,2,)
规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点， 终止于开环零点。
简要证明：
1 G(s)H (s) 0
K* 0
n
(s
由闭环传递函数 (s) G(s)
1 G(s)H (s)
m
(s z j )
1 G(s)H (s) 0 K * j1
1
n
(s pi )
i 1
当 K* 0 K*
根轨迹方程
求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。
根轨迹方程可以进一步表示为
m
m
(s z j )
szj
K * j 1
K
* G
(s zi )
i 1
q
(s pi )
i 1
K
* G
KG
1 2
T1T22
l
(s z j )
和
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s p j )
j 1
KG ：前向通路增益
K
* G
：前向通道根轨迹增益
K
* H
：反馈通道根轨迹增益
f
l
m
(s zi ) (s z j )
(s z j )
1 , K * j1
e j 1e j(2k 1)
n
n
(s pi )
s pi
i 1
i 1
相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
,
(k 0,1,2,)
j 1
i 1
n
s pi
模值条件（幅值条件）：
K * i1
m
szj
j 1
4-2 根轨迹绘制的基本法则
规则3：根轨迹渐近线
当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角 和交点来确定。
与实轴夹角 与实轴交点
a
(2k 1)180o nm
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例1 设单位反馈系统的前向传递函数为
K * (s 1) G(s)
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角 pi 。
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的
切线与实轴的夹角 zi 。
pi
180o
m
j 1
z
j
pi
n
j 1
p j pi
ji
zi
180o
m
j 1
z
j
zi
n
j 1
p j zi
ji
例4 p4 180o 1 2 3 1 2 3
j 1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹
增益。
（2）闭环系统的零点 开环前向通道传递函数的零点和
反馈通道传递函数的极点所组成。
（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 K * 均有关。
根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益， 用图解方法确定闭环极点。
根轨迹方程
ห้องสมุดไป่ตู้
j i (2k 1)
j 1
i 1
图示证明： P.136 图4-7
规则5：根轨迹分离点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。
分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
m
(1)
1
n
1
j1d z j i1 d pi
dK * (3) ds sd 0
本章主要内容
本章阐述了控制系统 的根轨迹分析方法。包 括根轨迹的基本概念、 绘制系统根轨迹的基本 条件和基本规则,参量根 轨迹和零度根轨迹的概 念和绘制方法，以及利 用根轨迹如何分析计算 控制系统的性能（稳定 性、暂态特性和稳态性 能指标等）。
本章重点
学习本章内容, 应重点掌握根轨迹的 基本概念、绘制根轨 迹的条件、系统根轨 迹的绘制规则和利用 根轨迹分析系统的稳 定性、暂态特性和稳 态性能, 参量根轨迹 的概念和绘制方法, 理解零度根轨迹的基 本概念和绘制方法。
K*
5
s (204 25K * ) / 34 0
s0 K*
204 25K * 0 K * 8.16
由辅助方程
(8 6)s 2 8.16 0 5
s1,2 j1.095
规则 8：闭环极点之和、闭环 极点之积与根轨迹分支的走向
j
1 G(s)H(s) 0
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
0
i 1
或
K *M (s)
dG(s)H (s)
1 G(s)H(s) 1
0 (2)
N (s)
ds
sd 0
注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了 重根。
（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包 括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段 根轨迹上必有分离点。
（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
（3）分离点
1 1 1
d 2 d 1 j d 1 j
d 2 4d 2 0 d1 3.414 d 2 0.586 d 3.414
（分，4）圆由心相为角（条-2件，可j0以)，证半明径复为平面2 上的根轨迹是圆的一部
( 2) ( 2)
22
2
4 2 0
22
1 (( 1)) /(2 )(1 ) 1
例 2 绘制图示系统大致的根轨迹
解（1）开环零点 z1 1
R(s)
K * (s 1) C(s)
s(s 2)(s 3)
开环极点 p1 0 , p2 2 , p3 3 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
（2）实轴上根轨迹 [3, 2] , [1, 0]
（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点
m
zj
(1)
n
n
pl
i 1
j 1
l 1
nm 2
n
n
pi pl
i1
l 1
(1)
n
n
pi
K * (1)m
m
zj
(1)
n
n
pl
i1
j 1
l 1
若开环传递函数的积分环节个数 1
n
pi
K
*
(1)
nm
m
z
j
n
pl
i1
j 1
l 1
结论：（1）若 n-m2
K
*
(1) nm
m
z
j
n
pl
j 1
l 1
（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点
a
(2k 1)180o
4
45o
, 135o
a
0 31 4
j 1
j
1.25
（3）分离点
1 1 1 1 0 d d 3 d 1 j d 1 j
K*
G(s)H (s)
D(s) 1 G(s)H (s) 0
s(s 3)(s 2 2s 2)
(s) C(s)
2K
,
R(s) s 2 2s 2K
s1,2 1 1 2K
D(s) s 2 2s 2K 0
开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环
极点的全部数值。
j K
K 2.5
2
s1,2 1 1 2K K 0
K 1 K 0
2 1
1
0
K 0.5
1
2
根轨迹与系统性能
s(s 3)(s 2 2s 2) K * s 4 5s 3 8s 2 6s K * 0
K * (s 4 5s3 8s 2 6s)
dK * ds
sd 0
4d 3 15d 2 16d 6 0
d 2.3
（4）起始角（出射角）
p3 180o (1 j) (1 j 3) 90o
( / 2 ) ( 1/1 ) 1
j
2
1
1
tg
1
tg 1 1 tg 1 1
2
1
1
s j ,
tg
1
tg 1 1 tg 1 1 2
1
(s 2) (s 1 j) (s 1 j) (2k3.411)1480
0
0
规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）
4-1 根轨迹方程
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
系统动态响应（稳定
根轨迹 开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化
到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为 根轨迹。
若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根 与闭环传递函数的极点是一一对应的。
例 二阶系统的根轨迹
K s(0.5s 1)
G(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i 1 q
j 1 h
K * j1
n
(s pi ) (s p j )
(s pi )
i 1
j 1
i 1
nqh
,
m f l
,
K*
K
* G
K
* H
(s)
G(s)
K
* G
f
(s
zi
)
h
(s
p
j
)
i 1
j 1
1 G(s)H (s)
n
(s
pi
)
K
*
m
(s
z
j
)
i 1
规则7：根轨迹与虚轴的交点
交点对应的根轨迹增益 K * 和
2
pj4
角频率 可以用劳斯判据
或闭环特征方程（ s j ）
确定。
2
3
1
1 3 0
例5 设系统开环传递函数
K* G(s)H (s)
s(s 3)(s 2 2s 2)
试绘制系统大致的根轨迹。
解（1）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹[-3，0]。 p1 0 , p2 3 , p3,4 1 j
180o (90o tg 11) tg 1 1 90o 71.6o 2
p4 71.6 o
（5）与虚轴的交点
运用劳斯判据
D(s) 1 G(s)H (s) 0 D(s) s 4 5s3 8s 2 6s K * 0
s4 1
8 K * 由第一列、第三行元素为零
s3 5
6
s2 8 6
例3：设单位反馈系统的传递函数为
K (0.5s 1) K * (s 2)
G(s)
0.5s 2 s 1 (s 2 2s 2)
z1 2 s1,2 1 j 试绘制系统的根轨迹。
K * 0.5K
解（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支； 有一个无穷远处的零点。
（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2]。
稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系
统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。 但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益， 根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。
动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估
计。
对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根 轨迹。
a (2k 1)180o /(3 1) 90o
j
a (0 2 3) (1) /(31) 2
2.47
（4）分离点（用试探法求解） 3 2 1 0
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 (1) d 2.5 1 0.67
d 1 (2) d 2.47
1 1 1 0.4 d d 2 d 3
根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，
通过图解法来求闭环系统根轨迹。
闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
设 控制系统如图所示
R(s) G(s) C(s)
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
H (s)
f
G(s)
KG
( 1 s
1)(
2 2
s
2
2 1
2s
1)
s (T1s 1)(T22 s 2 2 2T2 s 1)
与实轴交点
n
m
a
pi z j
i 1
j 1
nm
(0 4 1 j 1 j) (1) 1.67 4 1
图示P.135 4-6
规则4：实轴上的根轨迹 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。
由相角条件
m
n
个无限远（无穷）零点。
K* 0
nm
K* 0
nm
0
K* 有两个无穷远处的终 点
0
K* 有一个无穷远处的起 点
规则2：根轨迹的分支数和对称性
根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m）
或与开环有限零点数m相等（n<m)
根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续 变化。
实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数或 共轭复数。