浅谈2012年浙江高考(理)第17题的四种思路

浅谈2012年浙江高考（理）第17题的四种思路2012年浙江省高考理科数学第17题（填空题最后一题）：
设a R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x 2-ax-1）≥0，则a=_____.
这是一道有个函数的题型，有一定的难度，考查学生灵活运用知识的能力，是有关函数中恒成立的问题，也是高考重点考查的对象，恒成立问题一般会将参数分离，显然此题肯定行不通，于是学生想到用导数来研究，转换求函数的最小值，其实稍加思考这种方法也行不通，学生陷入了迷茫。

下面给出四种思路来寻求此题的解法：
思路一（函数分析法）：
因为y=x 2-ax-1在上有正有负，
根据所给的不等式特点，问题转换为：
，则在区间内，
，在区间内，
我们知道：函数y1=（a-1）x-1，y2=x 2-ax-1
都过定点P（0，1）.
分析函数y1=（a-1）x-1：令y=0，得M（，0），分析可得：a>1；
分析函数y2=x 2-ax-1：必须过点M（，0），代入得：，解之得：或，舍去，得：.
思路二（变更主元法）：
把看作自变量，则不等式等价于
考虑一次函数和，
若使恒成立，对于横坐标轴只能选择轴，即经过这两条直线的交点，记为A点，且的值只能取A点的横坐标，分别令，得到，解得=2或=-1（舍）所以=
思路三（因式分解法）：
因为无论取何值，对于y1=（a-1）x-1，在区间有正有负，要保证不等式恒大于或等于0，则y2=x 2-ax-1必须含有因子（a-1）x-1，且另外一个因子对于，恒大于或等于0，即x 2-ax-1=[（a-1）x-1]（bx+1），对比系数得：且，解得：，满足上述要求（时，，此时不恒大于或等于0）
思路四（试探法）：
对于恒成立问题，可以先取几个值来压缩的范围，当= 时，，所以，当时，，，如果存在满足题意，只能为，可以带入原不等式检验符合题意，所以，试探法的目的只是想压缩参数的范围，有利于问题的讨论，但有的时候居然可以得到意想不到的结果，比如08年江苏高考中的一道填空题：
（08江苏理14）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为
参考答案的解法采用参数分离法求解，这应该是大部分学生应该掌握的，实际上由，可得：，也有意想不到结果，真是无巧不成书啊.而且作为填空题小题小处理大大节省了考生的时间，为后续题目赢得了宝贵的时间.
该题的设计出题者应该花费了一番苦心，注重数学思想方法的考查，全面检测数学能力.对于思路一没有讨论就不能解题；对于思路二，采用变换主元，可谓柳暗花明；对于思路三，需要对不等式的特点作出科学分析，有一定的洞察力；对于思路四，很好地体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想，即便不能刚好算出答案，也可以把范围压缩在一个比较好讨论的区间.平时在教学过程中，一定要引导学生多悟，多体会新课程的思想.。