广东深圳盐田高级中学2024年高二10月月考数学试题+答案

2024年10月深圳市盐田高级中学高二年级月考数学试卷
班级：高二（ ）班 姓名： 命题人：俞兴保 审题人：陈斌
一、单选题（共40分，每题5分）
1．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于y 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4-
B ．()2,1,4--
C ．()2,1,4---
D ．()2,1,4-
2．已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，且AB a =，AD b =，AA c '=， 则()()
4+223a b c a b c -⋅-+=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．1-
3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11AC 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示BO ，则（ ） A ．12BO a b c =-+
B ．1
2BO a b c =+-
C ． 1
2
BO a b c =-++
D ．11
22
BO a b c =-++
4．若平面,αβ的法向量分别为()()2,1,0,1,2,0a b =-=--，则α与β的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．无法确定
5．已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=，若{}
123
,,n n n 不能构成空间的一个基底，
则m =（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
6．已知
()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，则b a -的最小值是（ ）
A
．1
B
C D 7．四棱锥P ABCD -，底面是平行四边形，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-， 则这个四棱锥的底面积为（ ）
A B ．C ．
52
D ．5
8．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0αα->”
是“120k k >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．充分必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
二、多选题（共18分，每题6分）
9．已知向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（ ） A ．向量a 与向量b 的夹角为
π
6
B ．()c a b ⊥-
C ．向量a 在向量b 上的投影向量为110,
,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．向量c 与向量a ，b 共面 10．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，
则下列选项一定正确的是（ ）
A ．132k k k <<
B ．321ααα<<
C ．231cos s c s co o ααα<<
D ．321sin n s n si i ααα<<
11．下列命题正确的是（ ）
A ．若p 是平面α的一个法向量，,A
B 是直线b 上不同的两点，则b α的充要条件 是0p AB ⋅=
B ．已知,,A B
C 三点不共线，对于空间中任意一点O ，若212
555
OP OA OB OC =++，
则,,,P A B C 四点共面
C ．已知()()1,1,2,0,2,3a b =-=，若ka b +与2a b -垂直，则3
4
k =-
D ．已知ABC 的顶点分别为()()()1,1,2,4,1,4,3,2,2A B C --，则AC 边上的高BD 的
三、填空题（共15分，每题5分）
12. 已知空间中的单位向量,,a b c ，其两两夹角均为60︒，则2a b c +-=_______ 13.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC 将△ACD 折起, 当二面角B-AC-D 的大小是600时，则B 、D 的两点间距离为_______.
14．下列说法正确的是 ．
①直线()24y ax a a =-+∈R 恒过定点()2,4-；
②若直线l 50my ++=的倾斜角为
π
3
，则实数m 的值为1-； ③已知直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为60x y +-=或
2y x =；
④设过原点的直线l 的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，得到直线1l 的倾斜角是45α+︒或135α-︒．
四、解答题（共77分）
15．（13分）如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥; （2）当
1
=2
AE AB 时，求直线1DA 与平面1CED 成角的大小.
16．（15分）在平面直角坐标系中有()0,3A ，()3,3B ，()2,0C ， (1)求直线AC 的一般方程；
(2)在三角形ABC 中，求AB 边的高线方程； (3)若直线x m =将△ABC 面积两等分，求m 的值
17．（15分）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2,∠A 1AC=60°, 且平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,点P ,Q 又分别是AB ,A 1C 1的中点, (1)求证：//PQ 平面
11BCC B ； (2) 求点B 1到平面1A PQ 的距离.
18. （17分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 190,1ABC AB BC BB ∠=︒===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AE BF B G ==． (1)求证：11A F C G ⊥；
(2)若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为1
3
，求BF ．
19．（17分）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，底面ABCD 为正方形，11π
3
D DA D DC ∠=∠=，点
E 为1BB 的中点，点
F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内.
(1)若AC 中点为O ，求证：1D O ⊥平面ABCD ；
(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值.
1．A 2．C
【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可.
【详解】根据题意知,,,90a b a c b c ===，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，所以原式=8a ⃗2−3b ⃗⃗2−2c ⃗2=8−3−2=3故选：C 3．D
【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解； 【详解】如图： 由平行六面体的性质可得 ()()
111111111
22222
BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+
=+-=+-=-++，故选：D. 4．B
【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.
【详解】∵()()2,1,0,1,2,0a
b =-=--，则()()()2112000a b ⨯-+--==⨯+⨯⋅，∴a b ⊥，故αβ⊥.故选：
B.5．A
【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.
【详解】若{}
123,,n n n 不能构成空间的一个基底，123,,n n n ∴共面，
∴
存在,λμ，使
123n n n λμ=+， 即1093212m λλμλμ-=+
⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得131m λμ=-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，故选：A. 6．D
【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出b a -的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，故()()2,,1,1,0(1,1,)b a t t t t t t -=--=+-，
则(1)t b a +
==-b a -的最小值是故选：D 7．B
【分析】平行四边形面积公式，S =AB ∙AD ∙sin∠BAD ，利用向量数量积，求解cos∠BAD ，进而转换成sin∠BAD
【详解】利用向量的数量积公式转换的夹角公 cos∠BAD =
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|∙|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=
√14∙√
5
=√5
√14
，sin∠BAD =√1−514=√9
14
S =AB ∙AD ∙sin∠BAD =√14∙√5∙√9
14
=3√5
故选：B ．
【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 8．C
【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫
∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾
斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.
【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ
,0,,π22
αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝
⎭
，
若取122ππ,33αα=
=，则有()1202ππ1
332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππ
tan tan 3033
k k ==-<；
若12
1212
12
sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>， 所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>， 综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件. 故选：C. 9．BCD
【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A ；由向量相乘为0可得向量垂直B 正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C 错误，c a b =+得出向量共面判断D.
【详解】因为1011101b a ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以cos ,1b a b a =， 可得221cos ,211b a =
=
++，则向量a 与向量b 的夹角为π
3
，故A 错误； 因为()
()()()1,2,11,0,11120110c a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯+⨯-=，所以()
c a b ⊥-，即B 正确；
根据投影向量的定义可知，向量a 在向量b 上的投影向量为()2
111cos ,0,1,10,,222b a b a a b b b b
⋅⎛⎫
⋅⋅
==
= ⎪⎝⎭
，所以C 正确； 由向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，可知c a b =+，向量c 与向量a ，b 共面， 所以D 正确.故选：BCD 10．ABC
【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.
【详解】由图可得1320k k k <<<，321ααα<<，cosα1<0<cosα2<cosα3故ABC 正确.故选：ABC. 11．BCD
【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A 的结论，利用共面向量的充要条件判断B 的结论，利用向量垂直的充要条件判定C 的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高BD 的值判定D 的结论．
【详解】若p 是平面α的一个法向量，直线b 上有不同的两点A ，B ，当b α⊂时， 即使0p AB ⋅=，也不能说明//b α，故A 错误；
若212
555
OP OA OB OC =++，则212()()()555OP OA OB OP OC OP -=-+-，
所以1
2
AP PB PC =
+，所以,,,P A B C 四点共面，故B 正确； 由题意可得()(),2,23,22,0,1ka b k k k a b +=-++-=-，若ka b +与2a b -垂直，则()()
22230ka b a b k k +⋅-=++=，解得3
4
k =-，故C 正确；
由题意可得(5,0,2),(4,3,0)AB AC ==-，则AC 边上的高BD 的长即为点B 到直线AC 的距
离2
2AC BD AB AB AC ⎛⎫ ⎪=-⋅= ⎪⎝⎭
D 正确． 故选：BCD. 12. √5
【分析】利用模长公式，集合数量积的计算，平方后再开根号
【详解】|a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗)2
=√a ⃗2+4b ⃗⃗2+c ⃗2+4a ⃗∙b ⃗⃗−2a ⃗∙c ⃗−4b ⃗⃗∙c ⃗
=√1+4+1+4×12−2×12−4×1
2
=√5
13．√2
【分析】理解异面直线夹角与方向向量之间的关系，结合基底转换和模长公式即可计算结果.
【详解】根据垂直关系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角，即为二面角B-AC-D 的平面角，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+1+1+2×(−1
2
)=√2
14．②③④
【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④.
【详解】直线()24R y ax a a =-+∈即直线()()24R y a x a =-+∈，当2x =时，4y =， 即直线()24R y ax a a =-+∈恒过定点()2,4，①错误；
直线√3x +my +5=0，倾斜角为π
3，斜率为k =−√3
m =tan π
3=√3，所以m =−1,②正
确；
因为直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为
2y x =，
当截距不为0时，可设直线方程为1x y
a a +=，则241a a +=，即6a =，则直线方程为
60x y +-=，
所以直线l 的方程为2y x =或60x y +-=，③错正确.
若倾斜角小于135°，逆时针旋转，倾斜角加45°，即α+45°；若倾斜大于135°，逆时
针旋转45°，α＋45°大于180°，倾斜角为45°-（135°-α）=α-135° 故答案为：②③④ 15．（1）证明见解析；（2）
1
2
； 【分析】（1）连接1AD ，通过证明1DA ⊥平面1AED ，则可证明11DA ED ⊥； （2）建立空间直角坐标系，根据AE
AB
的值，计算平面1CED 的法向量，结合点到面的距离公式即可得出答案
【详解】（1）如图所示：连接1AD ，
因为AB ⊥平面11ADD A ，所以1AB DA ⊥，所以1AE DA ⊥， 又因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD DA ⊥，且1AE AD A =，
所以1DA ⊥平面1AED ，所以11DA ED ⊥；
（2）建立空间直角坐标系如图所示：E （1，1
2，0） 设平面1CED 一个法向量为(),,n x y z =， 又()()()()110,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1D A C D ，
所以()11,0,1DA =，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−12
,0), CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,1)，因为1
00CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，{
x −12y =0
−y +z =0,所以取x =1,所以法向量n ⃗⃗=(1,2,2) 所以|cos 〈DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n
⃗⃗〉|=|√
2∙3|=√22，所以向量夹角为45°，所以线面夹角为45° 16．（1）3x+2y-6=0;；（2）x=2；（3）m =√3【分析】（1
）斜截式求直线方程，化简即可
（2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再用点斜式方程求解
（3）先由两直线的交点坐标的求法求得,D E 的坐标， 再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：
（1）由题意的，直线AC 在x 轴和y 轴的截距分别为2和3，由截距式方程x
2+y
3=1，化简得3x +2y −6=0
（2）直线AB 的斜率k AB =3−3
3−0=0 ，根据垂直关系可得，边AB 上的高线，斜率不存在，由于高线过点C （2，0），所以边AB 上的高线方程为x=2 （3）设直线x m =与边AB ，AC 分别交于点,D E ．
由9
2
ABC
S
=
，得94
AED
S =
． 又直线AC 的方程为123x y +=，而点E 在边AC 上，故可设3,32m E m ⎛
⎫- ⎪⎝⎭．因此，
3||02
m
DE =>． 139224
AED
m S
m =⋅⋅=，
m ∴=
17.（1）略；（2）2√
15
5
【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系；（2）构建空间直角坐标系，计算平面A 1PQ 的法向量，结合点到面的距离公式进行求解 【详解】（1）取A 1B 1的中点M ，连接MQ ，MP
在△A
1B 1C 1中，A 1Q=QC 1，A 1M=MB 1，∴QM ∥B 1C 1
在四边形MPBB 1中，MB 1=PB 且MB 1∥PB ，
∴四边形MPBB 1是平行四边形，∴MP ∥BB 1，
∵BB 1∩B 1C 1=B 1，BB 1⊆面BCC 1B 1，B 1C 1⊆面BCC 1B 1
又∵MP ∩MQ=M ，MP ⊆面MQP ，MQ ⊆面MQO
∴面MQP ∥面BCC 1B 1
又∵PQ ⊆面MQP ，∴PQ ∥面BCC 1B 1
（2）取AC 中点O ，连接A 1O ，BO
△ABC 为等腰三角形，∴BO ⊥AC
∵面ACC 1A 1⊥面ABC ，面ACC 1A 1∩面ABC=AC ，
∴BO ⊥面ACC 1A 1，∴BO ⊥A 1O
在△A 1OA ，∠A 1AO=60°，A 1A=2，OA=1，易得AC ⊥A 1O
以O 为原点，OA ，OB ，OA 1分别为x,y,z 轴，以建立空间直角坐标系 A 1(0,0,√3)，A(1,0,0)，B(0,√3,0)，C(-1,0,0)，P(1
2,√32,0)，Q(-1,0,√3)，∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴B 1(-1,√3,√3)，
∴A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,0)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32,−√3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,0)
设平面A 1PQ 的法向量为 n ⃗⃗=（x,y,z ），
∴{n ⃗⃗∙A 1Q
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x =0n ⃗⃗∙A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12x +√32y −√3z =0
，设y=2，取 n ⃗⃗=（0,2,1）d =|n ⃗⃗∙A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗||=|2√3√5
=2√15518.(1)证明过程见解析；(2)1
2
【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；
（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .
【详解】（1）因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以1B B AB ⊥，1B B BC ，
又90ABC ∠=︒，故1,,B B AB BC 两两垂直，
以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤， 所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m -，
则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =-=--=--=--，则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=--⋅--=-=，
故11A F C G ⊥；
（2）()1,0,0E m -，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =---=--，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=--⋅--=-+-=，
则1A F EG ⊥，
又1C G EG G ⋂=，1,C G EG ⊂平面1EGC ，
所以1A F ⊥平面1EGC ，
故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，
又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =，
则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为
(111
1,1,cos ,A F n
A F n A F n m ⋅--==⋅
又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13
， 13=，解得12
m =，故12BF =. 19.(1)略 【分析】（1）利用几何关系求出1OD OD ==22211+OD OD DD =，得到线线垂
直关系，进而得到面面垂直关系；
（2）构造平面//DFH 平面1D
AE ，从而确定点P 必在DH 上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值.
【详解】
（1）连接OD 、1OD 、1D C ，
11π2,3
D D DA D DA ==∠=， 12D A ∴=，同理12D C =，
O 是正方形对角线AC 中点，
1D O AC ∴⊥，且AC =1OD OA OD ∴===
即22211+OD OD DD =，则1OD OD ⊥，
∵AC=AD,11π3
D DA D DC ∠=∠=∴△ADD 1≌△CDD 1，∴AD 1=CD 1，∴△ACD 1为等腰△，∴D 1O ⊥
AC ∵AC ∩DO=O ，AC ⊆面ABCD ，DO ⊆面ABCD ∴D 1O ⊥面ABCD
（2）法一：
取BC 中点H ，连接HD ，HF ，DF ，
易得//,DA E EF F DA =，故四边形EFDA 是平行四边形， //DF AE ∴，又DF ⊄ 平面1,D AE AE ⊂ 平面1D AE ，
//DF ∴平面1D AE ，同理11////FH BC D A ， FH ⊄平面 11D AE D A ⊂， 平面1D AE ， //FH ∴平面 1D AE ，且FH DF F ⋂=都在面DFH 内， 故平面//DFH 平面1D AE ，
则点P 必在DH 上，且当CP DH ⊥时取得CP 的最小长度，
DH CD ==
由等面积法得：1122CP DH DC CH ⨯=⨯，解得CP =
故CP
法二：
取1,,DA DC DD 为一组空间基底，则11D A DD DA =-+，11
2AE DC DD =+， //FP 平面1D AE ，
1FP mD A nAE ∴=+，代入整理得12
n FP m DD mDA nDC =++（-）， 故1111222
n CP FP CF FP DD m DD mDA nDC =+=+=+++（-）， 动点P 在平面ABCD 内，
1022
n m ∴+=-， 122
n m ∴=+，
故2||4CP mDA nDC =+=（）
当且仅当15n =-时，||CP 法三：
由第一问知11,,D O AC D O OD OD AC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，
则1D （
，D ）
，(0,C
，）
，(B ， 11DD CC =，
1(C ∴
，(F ， 同理11DD BB =，
1(B ∴-
，(E ，
1(0,D A =
，1(D E =， 设平面1D AE 的法向量为(,,)n x y z
=，
则1100002
2n DA n D E x z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令1x =-，得(1,3,3)n =-， 设点(,,0)P
m n
，(FP m n =，0n FP
⋅=，即3m n =
故||
CP m =
当且仅当n =||CP。