Edmonds-karp算法

1. 最大流最小割定理介绍：
把一个流网络的顶点集划分成两个集合S和T，使得源点s ∈S且汇点t ∈T，割(S,T)的容量C(S,T) =∑Cuv, 其中u∈S且v∈T。

从直观上看，截集(S,T)是从源点s到汇点t的必经之路，如果该路堵塞则流从s无法到达t。

于是我们可以得到下面的定理：
最大流最小割定理：
任意一个流网络的最大流量等于该网络的最小的割的容量。

这个定理的证明这里就不给出了，可以参考图论方面的资料。

2. 求最大流的Edmonds-Karp算法简介：
若给定一个可行流F=(Fij)，我们把网络中使Fij=Cij的弧称为饱和弧，Fij<Cij的弧称为未饱和弧。

如果流网络中从i到j没有弧，我们添加一条从i到j且容量Cij=0的弧，这样整个流网络变成一个完全图。

如果从i到j有流量Fij，则从j到i的流量定义为Fji = -Fij 。

考虑一条从源点s出发到汇点t的路径p，如果对于每一段弧(i,j)属于p都有Fij < Cij，即每一条属于p的弧都是未饱和弧，则我们可以向这条路径上压入更多的流，使得其中的一条弧达到饱和。

这样的路径p叫做可改进路，可压入的流量叫做该可改进路的可改进流量。

重复这个过程，直到整个网络找不到一条可改进路，显然这时候网络的流量达到最大。

Edmonds-Karp算法就是利用宽度优先不断地找一条从s到t的可改进路，然后改进流量，一直到找不到可改进路为止。

由于用宽度优先，每次找到的可改进路是最短的可改进路，通过分析可以知道其复杂度为O(VE2)。

Edmonds-Karp算法的伪代码如下：
设队列Q--存储当前未检查的标号点，队首节点出队后，成为已检查的标点；
path -- 存储当前已标号可改进路经；
repeat
path置空;
源点s标号并进入path和Q;
while Q非空and 汇点t未标号do
begin
移出Q的队首顶点u;
for 每一条从u出发的弧(u,v) do
if v未标号and 弧(u,v)的流量可改进
then v进入队列Q和path;
end while
if 汇点已标号
then 从汇点出发沿着path修正可改进路的流量;
until 汇点未标号;
Edmonds-Karp算法有一个很重要的性质：当汇点未标号而导致算法结束的时候，那些已经标号的节点构成集合S，未标号的节点构成集合T，割(S,T)恰好是该流网络的最小割；且这样求出的最小割(S,T)中集合S的元素数目一定是最少的。

寻找最大流的基本方法是Ford-Fulkerson方法，该方法有多种实现，其基本思想是从某个可行流F出发，找到关于这个流的一个可改进路经P，然后沿着P调整F，对新的可行流试图寻找关于他的可改进路经，如此反复直至求得最大流。

现在要找最小费用的最大流，可以证明，若F 是流量为V(F)的流中费用最小者，而P是关于F的所有可改进路中费用最小的可改进路，则沿着P去调整F,得到的可行流F'一定是流量为V(F')的所有可行流中的最小费用流。

这样，当F 是最大流时候，他就是所要求的最小费用最大流。

注意到每条边的单位流量费用B(i,j)≥0，所以F=0必是流量为0的最小费用流，这样总可以从F=0出发求出最小费用最大流。

一般的，设已知F是流量V(F)的最小费用流，余下的问题就是如何去寻找关于F的最小费用可改进路。

为此我们将原网络中的每条弧<u,v>变成两条方向相反的弧：
1。

前向弧<u,v>，容量C和费用B不变，流量F为0；
2。

后向弧<v,u>，容量C为0，费用为-B，流量F为0；
每一个顶点上设置一个参数CT，表示源点至该顶点的通路上的费用和。

如果我们得出一条关于F的最小费用可改进路时，则该路上的每一个顶点的CT值相对于其它可改进路来说是最小的。

每一次寻找最小费用可改进路时前，源点的CT为0，其它顶点的CT为+∞。

设cost为流的运输费用，初始时由于F=0,则cost=0,我们每求出一条关于F的最小费用可改进路，则通过cost ←cost + ∑B(e)*d, （其中e∈P,d为P的可改进量）来累积流的运输费用的增加量。

显然，当求出最小费用最大流时，cost便成为最大流的运输费用了。

另外设置布尔变量break为最小费用可改进路的延伸标志，在搜索了网络中的每一个顶点后，若break=true表示可改进路还可以延伸，还需要重新搜索网络中的顶点；否则说明最小费用的可改进路已经找到或者最大流已经求出。

本人说明:
这个模版的代码完全按照BFS从源点逐个遍历增广路径,得到最大增广容量,通过不断调整,最后求得最大流量,值得注意的是,最后一次BFS后所标的路线即为最小截集,即所谓的瓶颈,据此很容易求出最小截集的容量。

const limit=1000;
var ca:array[1..limit,1..limit]of longint;
n,m,total:longint;
function min(a,b:longint):longint;
begin
if a<b then min:=a else min:=b;
end;
procedure init;
var i,j,x,y:longint;
begin
readln(n,m);
fillchar(ca,sizeof(ca),0);
for i:=1 to n do
begin
readln(x,y,j);
inc(ca[x,y],j);
end;
end;
procedure work;
var pre,flow:array[1..limit]of longint;
visited:array[1..limit]of boolean;
max,maxl,i,j,path:longint;
begin
total:=0;
repeat
fillchar(pre,sizeof(pre),0);
fillchar(flow,sizeof(flow),0);
fillchar(visited,sizeof(visited),0);
flow[1]:=maxlongint;
while true do
begin
max:=0;
maxl:=0;
for i:=1 to m do
if (not visited[i])and(flow[i]>max) then begin
max:=flow[i];
maxl:=i;
end;
if (maxl=0)or(maxl=m) then break;
visited[maxl]:=true;
for i:=1 to m do
if flow[i]<min(max,ca[maxl,i]) then
begin
pre[i]:=maxl;
flow[i]:=min(max,ca[maxl,i]);
end;
end;
if maxl=0 then break;
path:=flow[m];
inc(total,path);
i:=m;
while i<>1 do
begin
j:=pre[i];
dec(ca[j,i],path);
inc(ca[i,j],path);
i:=j;
end;
until false; end;
procedure print; begin
writeln(total); end;
begin
init;
work;
print;
end.。